10 15

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 15"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,12,4,13 X9,14,10,15 X13,10,14,11 X15,1,16,20 X5,17,6,16 X7,19,8,18 X17,7,18,6 X19,9,20,8 X11,2,12,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 10, -2, 1, -6, 8, -7, 9, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 6, -8, 7, -9, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 12 16 18 14 2 10 20 6 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[4132]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{1,1,1,1,−2,1,−2,−3,2,−3,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 6}, {1, 10}, {9, 11}, {10, 12}, {11, 8}, {7, 9}, {8, 5}, {6, 4}, {5, 3}, {4, 2}, {3, 1}, {2, 7}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_15.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q9 + q7−q5 + 2q3−q + q−1 + q−3 + 2q−7−2q−9 + q−11−q−13
2	q28−q26−2q24 + 3q22 + q20−5q18 + 2q16 + 4q14−6q12 + 5q8−4q6−q4 + 6q2−3q−2 + 3q−4 + 3q−6−3q−8−2q−10 + 4q−12 + q−14−5q−16 + 4q−18 + q−20−5q−22 + 4q−24−4q−28 + 2q−30−q−34 + q−36
3	−q57 + q55 + 2q53−4q49−3q47 + 5q45 + 7q43−3q41−10q39−2q37 + 12q35 + 8q33−11q31−12q29 + 5q27 + 15q25−q23−15q21−6q19 + 11q17 + 8q15−6q13−9q11 + 5q9 + 11q7−11q3 + 12q−1 + 4q−3−13q−5−6q−7 + 13q−9 + 10q−11−8q−13−11q−15 + q−17 + 11q−19 + 5q−21−8q−23−10q−25 + 2q−27 + 13q−29−8q−33−4q−35 + 7q−37 + q−39−2q−41−3q−47 + 3q−51−3q−55 + 2q−59 + q−67−q−69
4	q96−q94−2q92 + q88 + 6q86 + q84−5q82−7q80−8q78 + 11q76 + 14q74 + 6q72−7q70−27q68−7q66 + 12q64 + 28q62 + 21q60−25q58−31q56−20q54 + 20q52 + 48q50 + 12q48−18q46−49q44−21q42 + 34q40 + 36q38 + 24q36−33q34−48q32−9q30 + 20q28 + 53q26 + 11q24−34q22−37q20−18q18 + 44q16 + 40q14−4q12−37q10−37q8 + 23q6 + 43q4 + 11q2−31−35q−2 + 18q−4 + 44q−6 + 11q−8−38q−10−36q−12 + 12q−14 + 48q−16 + 25q−18−31q−20−46q−22−19q−24 + 34q−26 + 47q−28 + 11q−30−24q−32−54q−34−19q−36 + 34q−38 + 54q−40 + 29q−42−51q−44−59q−46−7q−48 + 48q−50 + 64q−52−17q−54−53q−56−32q−58 + 13q−60 + 55q−62 + 6q−64−21q−66−25q−68−10q−70 + 27q−72 + 6q−74 + q−76−7q−78−12q−80 + 7q−82−q−84 + 6q−86 + 2q−88−6q−90 + 3q−92−3q−94 + 2q−96 + 2q−98−2q−100 + 2q−102−2q−104−q−110 + q−112
5	−q145 + q143 + 2q141−q137−3q135−4q133−q131 + 7q129 + 9q127 + 5q125−2q123−14q121−19q119−8q117 + 14q115 + 27q113 + 26q111 + 6q109−28q107−46q105−34q103 + 8q101 + 49q99 + 64q97 + 35q95−30q93−80q91−78q89−17q87 + 62q85 + 106q83 + 78q81−13q79−101q77−123q75−52q73 + 55q71 + 130q69 + 119q67 + 17q65−99q63−146q61−90q59 + 24q57 + 129q55 + 149q53 + 56q51−76q49−158q47−133q45−11q43 + 131q41 + 182q39 + 93q37−70q35−194q33−166q31−7q29 + 169q27 + 215q25 + 81q23−125q21−224q19−136q17 + 67q15 + 215q13 + 174q11−22q9−182q7−174q5−14q3 + 150q + 163q−1 + 21q−3−124q−5−137q−7−14q−9 + 117q−11 + 122q−13−q−15−129q−17−122q−19 + 11q−21 + 144q−23 + 143q−25 + 6q−27−146q−29−172q−31−52q−33 + 114q−35 + 190q−37 + 115q−39−41q−41−172q−43−187q−45−62q−47 + 116q−49 + 226q−51 + 168q−53−21q−55−213q−57−260q−59−88q−61 + 173q−63 + 297q−65 + 175q−67−88q−69−288q−71−245q−73 + 20q−75 + 249q−77 + 253q−79 + 45q−81−188q−83−244q−85−79q−87 + 133q−89 + 201q−91 + 92q−93−85q−95−157q−97−81q−99 + 43q−101 + 111q−103 + 70q−105−20q−107−71q−109−50q−111 + 2q−113 + 38q−115 + 37q−117 + 7q−119−19q−121−23q−123−7q−125 + 6q−127 + 12q−129 + 8q−131−7q−135−4q−137 + 2q−143 + 3q−145−2q−147−q−149−2q−153 + 2q−157 + q−163−q−165

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q12 + q4−q2 + 1 + q−2 + q−4 + 3q−6 + q−10−q−12−q−14−q−18
1,1	q36−2q34 + 6q32−14q30 + 23q28−36q26 + 52q24−64q22 + 69q20−70q18 + 62q16−46q14 + 20q12 + 4q10−32q8 + 54q6−79q4 + 98q2−102 + 112q−2−97q−4 + 92q−6−68q−8 + 50q−10−27q−12 + 10q−14 + 2q−16−12q−18 + 20q−20−28q−22 + 28q−24−34q−26 + 36q−28−38q−30 + 34q−32−30q−34 + 26q−36−22q−38 + 16q−40−12q−42 + 9q−44−6q−46 + 4q−48−2q−50 + q−52
2,0	q34−q30−q28 + q26 + q24−2q22−q20 + 2q18 + 2q16−3q14−3q12−2q6 + 4q2 + 1 + 2q−2 + 4q−4 + q−6 + 2q−10 + 4q−12−2q−14 + 4q−18 + 2q−20−5q−22−2q−24 + q−26−2q−28−2q−30−q−32−q−36 + q−40 + q−46

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q26−q24 + q22−3q18 + 2q16−q14−3q12 + 2q10−q8−4q6 + 4q4−3 + 6q−2 + 3q−4 + 4q−8 + 5q−10 + 3q−12−2q−14 + 2q−16 + q−18−6q−20−2q−22 + 3q−24−6q−26−2q−28 + 5q−30−3q−32−2q−34 + 3q−36−q−40 + q−42
1,0,0	−q15−q11 + q9−q7 + q5−q3 + q + 2q−3 + 2q−5 + 2q−7 + 3q−9 + q−13−2q−15−2q−19−q−23

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q32 + q26−q22−q18−3q16−q14−2q12−4q10−3q8 + 2q6 + q4−3q2 + 3 + 7q−2 + q−4 + 7q−8 + 6q−10 + 3q−12 + 7q−14 + 7q−16 + 4q−18 + 2q−22−3q−24−8q−26−5q−28−2q−30−6q−32−5q−34 + q−36 + q−38−q−40−q−42 + 2q−44 + 2q−46 + q−52
1,0,0,0	−q18−q14−q8 + q6−q4 + q2 + q−2 + 2q−4 + 2q−6 + 3q−8 + 2q−10 + 3q−12 + q−16−2q−18−q−20−q−22−2q−24−q−28

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q26 + q24−3q22 + 4q20−5q18 + 6q16−7q14 + 7q12−6q10 + 5q8−2q6 + 4q2−7 + 10q−2−11q−4 + 14q−6−12q−8 + 13q−10−9q−12 + 8q−14−4q−16 + q−18 + 2q−20−4q−22 + 5q−24−6q−26 + 6q−28−7q−30 + 5q−32−4q−34 + 3q−36−2q−38 + q−40−q−42
1,0	q44−q40−q38 + 2q36 + 2q34−3q32−4q30 + q28 + 5q26 + q24−6q22−4q20 + 4q18 + 6q16−q14−8q12−3q10 + 5q8 + 6q6−2q4−6q2 + 6q−2 + 3q−4−2q−6−q−8 + 5q−10 + 3q−12−2q−14−2q−16 + 5q−18 + 5q−20−q−22−5q−24 + 5q−28 + 2q−30−5q−32−5q−34 + q−36 + 5q−38−6q−42−5q−44 + 2q−46 + 6q−48−4q−52−3q−54 + q−56 + 3q−58 + q−60−q−62−q−64 + q−68

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q34−q32 + 2q30−3q28 + 4q26−5q24 + 4q22−6q20 + 5q18−7q16 + 3q14−5q12 + 3q10−2q8−q6 + 2q4−2q2 + 7−6q−2 + 10q−4−7q−6 + 13q−8−7q−10 + 14q−12−5q−14 + 11q−16−4q−18 + 6q−20−3q−22−2q−26−5q−28−5q−32 + 3q−34−6q−36 + 3q−38−5q−40 + 6q−42−4q−44 + 2q−46−3q−48 + 3q−50−q−52 + q−54−q−56 + q−58

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q60−q58 + 3q56−5q54 + 4q52−3q50−2q48 + 9q46−15q44 + 17q42−14q40 + q38 + 10q36−22q34 + 25q32−20q30 + 8q28 + 7q26−17q24 + 21q22−16q20 + 5q18 + 6q16−11q14 + 10q12−5q10−2q8 + 12q6−14q4 + 15q2−8−7q−2 + 18q−4−26q−6 + 27q−8−16q−10 + 3q−12 + 15q−14−23q−16 + 29q−18−19q−20 + 6q−22 + 8q−24−13q−26 + 15q−28−6q−30 + q−32 + 7q−34−6q−36 + 5q−38−7q−42 + 9q−44−9q−46 + 7q−48−2q−50−4q−52 + 7q−54−12q−56 + 14q−58−13q−60 + 5q−62−9q−66 + 11q−68−13q−70 + 11q−72−6q−74 + q−76 + 3q−78−7q−80 + 6q−82−5q−84 + 4q−86−2q−88 + q−92−2q−94 + 2q−96−q−98 + q−100

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 15"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t3−6t2 + 9t−9 + 9t−1−6t−2 + 2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z6 + 6z4 + 3z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 43, 2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q6 + 2q5−4q4 + 6q3−6q2 + 7q−6 + 5q−1−3q−2 + 2q−3−q−4

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z6a−2 + z6−a2z4 + 4z4a−2−z4a−4 + 4z4−3a2z2 + 5z2a−2−3z2a−4 + 4z2−a2 + 3a−2−2a−4 + 1

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az9 + z9a−1 + 2a2z8 + 2z8a−2 + 4z8 + a3z7−2az7 + 3z7a−3−10a2z6−z6a−2 + 4z6a−4−15z6−5a3z5−4az5−5z5a−1−3z5a−3 + 3z5a−5 + 15a2z4−8z4a−2−7z4a−4 + 2z4a−6 + 16z4 + 7a3z3 + 8az3 + z3a−1−3z3a−3−2z3a−5 + z3a−7−7a2z2 + 8z2a−2 + 7z2a−4−z2a−6−7z2−2a3z−3az + 3za−3 + za−5−za−7 + a2−3a−2−2a−4 + 1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 15"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t3−6t2 + 9t−9 + 9t−1−6t−2 + 2t−3, −q6 + 2q5−4q4 + 6q3−6q2 + 7q−6 + 5q−1−3q−2 + 2q−3−q−4 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q17−2q16 + q15 + 3q14−8q13 + 5q12 + 7q11−17q10 + 11q9 + 10q8−26q7 + 17q6 + 13q5−32q4 + 16q3 + 19q2−32q + 10 + 22q−1−26q−2 + 3q−3 + 19q−4−17q−5−2q−6 + 13q−7−7q−8−4q−9 + 6q−10−q−11−2q−12 + q−13
3	−q33 + 2q32−q31−q29 + 4q28−3q27−3q26 + 2q25 + 7q24−6q23−6q22 + 5q21 + 7q20−8q19−3q18 + 11q17−4q16−12q15 + 5q14 + 24q13−15q12−24q11 + 7q10 + 37q9−9q8−34q7−5q6 + 40q5 + 9q4−31q3−24q2 + 33q + 26−23q−1−36q−2 + 22q−3 + 37q−4−12q−5−42q−6 + 8q−7 + 40q−8 + 2q−9−39q−10−9q−11 + 31q−12 + 16q−13−23q−14−19q−15 + 14q−16 + 17q−17−4q−18−15q−19 + 9q−21 + 3q−22−5q−23−2q−24 + q−25 + 2q−26−q−27
4	q54−2q53 + q52−2q50 + 5q49−6q48 + 5q47−7q45 + 11q44−15q43 + 13q42 + 4q41−14q40 + 19q39−34q38 + 18q37 + 12q36−9q35 + 40q34−71q33 + 3q32 + 16q31 + 18q30 + 89q29−113q28−42q27−5q26 + 54q25 + 170q24−129q23−97q22−57q21 + 62q20 + 250q19−104q18−117q17−110q16 + 27q15 + 280q14−69q13−81q12−123q11−26q10 + 253q9−54q8−25q7−100q6−62q5 + 205q4−56q3 + 24q2−67q−88 + 152q−1−52q−2 + 66q−3−35q−4−108q−5 + 92q−6−52q−7 + 99q−8 + 9q−9−104q−10 + 30q−11−71q−12 + 102q−13 + 54q−14−62q−15−3q−16−100q−17 + 63q−18 + 69q−19−5q−20 + 9q−21−102q−22 + 8q−23 + 41q−24 + 26q−25 + 39q−26−66q−27−20q−28 + q−29 + 15q−30 + 45q−31−20q−32−13q−33−15q−34−4q−35 + 25q−36−7q−39−7q−40 + 6q−41 + q−42 + 2q−43−q−44−2q−45 + q−46
5	−q80 + 2q79−q78 + 2q76−2q75−3q74 + 4q73−2q72−q71 + 7q70−3q69−5q68 + 4q67−6q66−4q65 + 14q64 + 5q63−q62−2q61−19q60−20q59 + 18q58 + 31q57 + 29q56−q55−55q54−72q53−3q52 + 82q51 + 119q50 + 40q49−123q48−196q47−79q46 + 154q45 + 296q44 + 149q43−191q42−408q41−244q40 + 210q39 + 529q38 + 357q37−195q36−637q35−509q34 + 167q33 + 729q32 + 620q31−73q30−761q29−770q28−5q27 + 776q26 + 812q25 + 116q24−703q23−880q22−183q21 + 651q20 + 827q19 + 247q18−547q17−805q16−259q15 + 485q14 + 707q13 + 273q12−395q11−668q10−258q9 + 352q8 + 574q7 + 266q6−267q5−545q4−263q3 + 221q2 + 451q + 279−122q−1−403q−2−276q−3 + 57q−4 + 291q−5 + 271q−6 + 38q−7−207q−8−235q−9−91q−10 + 88q−11 + 183q−12 + 137q−13−q−14−101q−15−137q−16−88q−17 + 24q−18 + 109q−19 + 123q−20 + 62q−21−48q−22−139q−23−118q−24−13q−25 + 98q−26 + 144q−27 + 84q−28−46q−29−138q−30−118q−31−16q−32 + 88q−33 + 131q−34 + 70q−35−36q−36−107q−37−91q−38−19q−39 + 60q−40 + 92q−41 + 52q−42−16q−43−63q−44−63q−45−19q−46 + 31q−47 + 50q−48 + 34q−49 + 2q−50−34q−51−34q−52−10q−53 + 8q−54 + 22q−55 + 20q−56−14q−58−9q−59−5q−60 + 9q−62 + 5q−63−2q−64−2q−65−q−66−2q−67 + q−68 + 2q−69−q−70
6	q111−2q110 + q109−2q107 + 2q106 + 5q104−7q103 + 3q102 + q101−9q100 + 5q99 + q98 + 11q97−12q96 + 9q95 + q94−28q93 + 7q92 + 6q91 + 23q90−10q89 + 24q88−2q87−72q86−3q85 + 8q84 + 52q83 + 20q82 + 66q81−8q80−166q79−55q78−10q77 + 112q76 + 119q75 + 173q74−17q73−350q72−207q71−69q70 + 238q69 + 355q68 + 396q67−46q66−694q65−540q64−194q63 + 478q62 + 821q61 + 811q60−81q59−1249q58−1151q57−478q56 + 785q55 + 1552q54 + 1522q53 + 33q52−1889q51−2047q50−1078q49 + 904q48 + 2342q47 + 2515q46 + 522q45−2251q44−2949q43−1979q42 + 569q41 + 2759q40 + 3437q39 + 1334q38−2062q37−3380q36−2770q35−105q34 + 2563q33 + 3809q32 + 2013q31−1504q30−3173q29−3019q28−649q27 + 2009q26 + 3576q25 + 2210q24−1025q23−2653q22−2797q21−828q20 + 1513q19 + 3127q18 + 2098q17−769q16−2197q15−2500q14−861q13 + 1144q12 + 2758q11 + 2026q10−507q9−1810q8−2319q7−1011q6 + 700q5 + 2401q4 + 2064q3−72q2−1302q−2107−1250q−1 + 88q−2 + 1862q−3 + 2008q−4 + 432q−5−612q−6−1664q−7−1344q−8−554q−9 + 1099q−10 + 1656q−11 + 752q−12 + 109q−13−961q−14−1097q−15−958q−16 + 291q−17 + 990q−18 + 681q−19 + 577q−20−198q−21−510q−22−914q−23−239q−24 + 248q−25 + 229q−26 + 566q−27 + 271q−28 + 142q−29−461q−30−264q−31−182q−32−282q−33 + 154q−34 + 233q−35 + 449q−36 + 25q−37 + 90q−38−113q−39−439q−40−242q−41−117q−42 + 281q−43 + 143q−44 + 368q−45 + 196q−46−185q−47−264q−48−320q−49−40q−50−78q−51 + 283q−52 + 307q−53 + 113q−54−24q−55−188q−56−125q−57−260q−58 + 28q−59 + 138q−60 + 149q−61 + 118q−62 + 24q−63 + 9q−64−197q−65−82q−66−34q−67 + 25q−68 + 59q−69 + 74q−70 + 97q−71−52q−72−31q−73−53q−74−33q−75−22q−76 + 17q−77 + 67q−78 + 4q−79 + 15q−80−10q−81−14q−82−27q−83−12q−84 + 19q−85 + q−86 + 11q−87 + 4q−88 + 3q−89−9q−90−7q−91 + 4q−92−2q−93 + 2q−94 + q−95 + 2q−96−q−97−2q−98 + q−99