10 19

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 19"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1627 X3,12,4,13 X15,1,16,20 X7,17,8,16 X19,9,20,8 X9,19,10,18 X17,11,18,10 X5,14,6,15 X11,2,12,3 X13,4,14,5

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 9, -2, 10, -8, 1, -4, 5, -6, 7, -9, 2, -10, 8, -3, 4, -7, 6, -5, 3

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

6 12 14 16 18 2 4 20 10 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[41113]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,−1,2,−1,2,2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 7}, {2, 8}, {1, 6}, {7, 3}, {4, 2}, {3, 5}, {6, 4}, {5, 9}, {8, 10}, {9, 11}, {10, 12}, {11, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_19.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q13 + 2q11−2q9 + 2q7−q5 + q−q−1 + 3q−3−q−5 + q−7−q−9
2	q36−2q34 + 4q30−6q28 + q26 + 7q24−9q22 + q20 + 8q18−7q16−q14 + 7q12−q10−5q8 + 2q6 + 5q4−5q2−4 + 9q−2−q−4−8q−6 + 8q−8 + 3q−10−8q−12 + 5q−14 + 4q−16−6q−18 + 3q−22−2q−24−q−26 + q−28
3	−q69 + 2q67−2q63 + 3q59 + q57−7q55 + 2q53 + 7q51−4q49−9q47 + 7q45 + 10q43−11q41−11q39 + 15q37 + 14q35−16q33−17q31 + 13q29 + 20q27−5q25−21q23−7q21 + 18q19 + 16q17−12q15−22q13 + 5q11 + 29q9 + 2q7−25q5−10q3 + 23q + 14q−1−19q−3−19q−5 + 14q−7 + 23q−9−8q−11−25q−13 + 2q−15 + 28q−17 + 5q−19−24q−21−14q−23 + 21q−25 + 18q−27−11q−29−21q−31 + 4q−33 + 17q−35 + 3q−37−12q−39−7q−41 + 6q−43 + 6q−45−2q−47−4q−49 + 2q−53 + q−55−q−57
4	q112−2q110 + 2q106−2q104 + 3q102−5q100 + 2q98 + 5q96−6q94 + 8q92−10q90 + 2q88 + 6q86−13q84 + 18q82−4q80−11q76−29q74 + 40q72 + 26q70 + 5q68−44q66−69q64 + 48q62 + 75q60 + 42q58−62q56−122q54 + 11q52 + 89q50 + 96q48−14q46−123q44−56q42 + 26q40 + 100q38 + 64q36−44q34−80q32−66q30 + 36q28 + 99q26 + 51q24−48q22−106q20−32q18 + 77q16 + 97q14−12q12−96q10−57q8 + 52q6 + 103q4−77−68q−2 + 29q−4 + 106q−6 + 20q−8−57q−10−92q−12−12q−14 + 101q−16 + 59q−18−4q−20−97q−22−75q−24 + 51q−26 + 80q−28 + 70q−30−49q−32−105q−34−28q−36 + 37q−38 + 102q−40 + 29q−42−62q−44−67q−46−34q−48 + 61q−50 + 62q−52 + 8q−54−36q−56−59q−58 + 2q−60 + 32q−62 + 31q−64 + 8q−66−31q−68−17q−70−2q−72 + 14q−74 + 16q−76−5q−78−6q−80−6q−82 + 6q−86 + q−88−2q−92−q−94 + q−96
5	−q165 + 2q163−2q159 + 2q157−q155−q153 + 2q151−4q147 + 2q143 + 2q141 + 4q139 + 2q137−4q135−14q133−7q131 + 10q129 + 19q127 + 27q125−51q121−59q119−4q117 + 76q115 + 110q113 + 37q111−115q109−192q107−77q105 + 152q103 + 280q101 + 152q99−166q97−387q95−260q93 + 150q91 + 477q89 + 387q87−77q85−517q83−524q81−49q79 + 497q77 + 622q75 + 207q73−382q71−648q69−370q67 + 195q65 + 578q63 + 484q61 + 21q59−412q57−513q55−235q53 + 195q51 + 457q49 + 380q47 + 28q45−330q43−440q41−214q39 + 188q37 + 435q35 + 323q33−68q31−385q29−358q27−17q25 + 336q23 + 362q21 + 34q19−310q17−338q15−39q13 + 309q11 + 349q9 + 28q7−329q5−372q3−47q + 346q−1 + 422q−3 + 103q−5−326q−7−471q−9−194q−11 + 263q−13 + 494q−15 + 305q−17−144q−19−470q−21−407q−23−13q−25 + 381q−27 + 463q−29 + 180q−31−231q−33−447q−35−325q−37 + 42q−39 + 363q−41 + 395q−43 + 144q−45−197q−47−391q−49−290q−51 + 24q−53 + 294q−55 + 339q−57 + 153q−59−141q−61−317q−63−250q−65−14q−67 + 204q−69 + 271q−71 + 141q−73−78q−75−216q−77−191q−79−40q−81 + 119q−83 + 177q−85 + 107q−87−24q−89−118q−91−119q−93−38q−95 + 50q−97 + 88q−99 + 63q−101 + q−103−48q−105−56q−107−22q−109 + 14q−111 + 32q−113 + 27q−115 + 4q−117−16q−119−17q−121−6q−123 + 2q−125 + 8q−127 + 8q−129−4q−133−3q−135−q−137 + 2q−141 + q−143−q−145

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q18 + q16 + q10−2q8 + q6−q4 + q2 + 2 + 2q−4−q−12
1,1	q52−4q50 + 8q48−12q46 + 20q44−32q42 + 42q40−52q38 + 64q36−78q34 + 86q32−88q30 + 90q28−86q26 + 74q24−56q22 + 29q20 + 4q18−44q16 + 88q14−132q12 + 180q10−210q8 + 228q6−229q4 + 216q2−186 + 136q−2−85q−4 + 32q−6 + 24q−8−66q−10 + 107q−12−124q−14 + 136q−16−130q−18 + 111q−20−92q−22 + 66q−24−44q−26 + 25q−28−14q−30 + 6q−32−2q−34 + q−36
2,0	q46−q44−q42 + q40 + q34−4q30−2q28 + 4q26 + q24−5q22 + 3q20 + 7q18−q16−3q14 + 3q12 + 2q10−4q8−2q6 + q4−2q2−2 + 4q−2 + q−4−2q−6 + 4q−8 + 5q−10−3q−14 + 3q−16 + 3q−18−2q−20−4q−22 + q−26−q−28−q−30 + q−34

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q42−2q40−q38 + 5q36−3q34−4q32 + 8q30−2q28−7q26 + 8q24−7q20 + 4q18 + q16−5q14−q12 + 3q10 + 2q8−4q6 + 3q4 + 8q2−5 + q−2 + 8q−4−5q−6 + q−8 + 5q−10−4q−12−q−14 + 2q−16−4q−18 + q−22−q−24 + q−26
1,0,0	−q23 + q21−q19 + 2q17−q15 + q13−2q11−q7 + 2q3 + q + 3q−1 + 2q−5−q−7 + q−9−q−11−q−15

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q52−q50−2q48 + 2q46 + 2q44−3q42−2q40 + 4q38 + 3q36−4q34−q32 + 6q30−q28−6q26 + q24 + q22−6q20−q18 + 3q16−2q14−3q12 + 4q10 + 4q8−5q6 + q4 + 10q2 + 3−q−2 + 6q−4 + 7q−6−q−8−q−10−q−14−4q−16−2q−18−q−20−2q−22 + q−26 + q−32
1,0,0,0	−q28 + q26−q24 + q22 + q20−q18 + q16−2q14−2q10 + 2q4 + 2q2 + 2 + 3q−2 + 2q−6−q−8−q−14−q−18

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q42 + 2q40−3q38 + 5q36−7q34 + 8q32−10q30 + 10q28−9q26 + 8q24−4q22 + q20 + 4q18−9q16 + 13q14−17q12 + 19q10−20q8 + 18q6−15q4 + 12q2−7 + 3q−2 + 4q−4−5q−6 + 9q−8−9q−10 + 10q−12−9q−14 + 8q−16−6q−18 + 4q−20−3q−22 + q−24−q−26
1,0	q68−2q64−2q62 + q60 + 5q58 + 2q56−5q54−6q52 + q50 + 9q48 + 4q46−7q44−8q42 + 2q40 + 10q38 + 2q36−8q34−6q32 + 5q30 + 7q28−3q26−8q24−q22 + 7q20 + 3q18−5q16−3q14 + 5q12 + 4q10−4q8−4q6 + 5q4 + 8q2−2−10q−2−2q−4 + 11q−6 + 7q−8−5q−10−10q−12 + 2q−14 + 10q−16 + 5q−18−6q−20−7q−22 + 2q−24 + 6q−26−5q−30−3q−32 + 2q−34 + 2q−36−q−38−q−40 + q−44

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q58−2q56 + q54−2q52 + 5q50−5q48 + 4q46−6q44 + 9q42−7q40 + 6q38−8q36 + 7q34−4q32 + 3q30−2q28−2q26 + 4q24−7q22 + 8q20−13q18 + 12q16−15q14 + 15q12−15q10 + 15q8−10q6 + 13q4−6q2 + 9 + q−2 + 2q−4 + 3q−6−4q−8 + 7q−10−7q−12 + 6q−14−9q−16 + 7q−18−8q−20 + 5q−22−6q−24 + 4q−26−3q−28 + 2q−30−q−32 + q−34

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q100−2q98 + 3q96−4q94 + 2q92−q90−2q88 + 8q86−11q84 + 14q82−13q80 + 7q78 + q76−11q74 + 21q72−26q70 + 25q68−19q66 + 3q64 + 12q62−23q60 + 30q58−27q56 + 18q54−5q52−10q50 + 20q48−21q46 + 13q44−q42−12q40 + 18q38−13q36 + q34 + 17q32−33q30 + 38q28−29q26 + 2q24 + 27q22−49q20 + 57q18−43q16 + 17q14 + 13q12−36q10 + 47q8−42q6 + 21q4 + 4q2−20 + 28q−2−18q−4 + 7q−6 + 14q−8−24q−10 + 24q−12−15q−14−3q−16 + 28q−18−39q−20 + 40q−22−24q−24 + q−26 + 23q−28−38q−30 + 38q−32−29q−34 + 9q−36 + 7q−38−20q−40 + 22q−42−17q−44 + 9q−46−q−48−4q−50 + 4q−52−5q−54 + 3q−56−q−58 + q−60

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 19"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t3−7t2 + 11t−11 + 11t−1−7t−2 + 2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z6 + 5z4 + z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 51, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q4 + 2q3−3q2 + 6q−7 + 8q−1−8q−2 + 7q−3−5q−4 + 3q−5−q−6

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

a2z6 + z6−a4z4 + 3a2z4−z4a−2 + 4z4−2a4z2 + a2z2−3z2a−2 + 5z2−a2−a−2 + 3

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az9 + z9a−1 + 3a2z8 + 2z8a−2 + 5z8 + 5a3z7 + 3az7−z7a−1 + z7a−3 + 6a4z6−3a2z6−10z6a−2−19z6 + 5a5z5−7a3z5−15az5−8z5a−1−5z5a−3 + 3a6z4−8a4z4−4a2z4 + 16z4a−2 + 23z4 + a7z3−4a5z3 + 11az3 + 13z3a−1 + 7z3a−3−a6z2 + 3a4z2−9z2a−2−13z2 + a5z + a3z−2az−4za−1−2za−3 + a2 + a−2 + 3

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 19"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t3−7t2 + 11t−11 + 11t−1−7t−2 + 2t−3, −q4 + 2q3−3q2 + 6q−7 + 8q−1−8q−2 + 7q−3−5q−4 + 3q−5−q−6 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q13−2q12−q11 + 6q10−5q9−7q8 + 16q7−4q6−20q5 + 27q4 + q3−36q2 + 34q + 11−49q−1 + 33q−2 + 21q−3−52q−4 + 26q−5 + 25q−6−44q−7 + 18q−8 + 19q−9−29q−10 + 11q−11 + 9q−12−13q−13 + 5q−14 + 2q−15−3q−16 + q−17
3	−q27 + 2q26 + q25−2q24−5q23 + 4q22 + 9q21−2q20−18q19−q18 + 24q17 + 12q16−31q15−26q14 + 34q13 + 41q12−28q11−61q10 + 24q9 + 70q8−5q7−87q6−3q5 + 87q4 + 26q3−96q2−36q + 87 + 59q−1−87q−2−69q−3 + 72q−4 + 86q−5−60q−6−93q−7 + 45q−8 + 96q−9−32q−10−91q−11 + 20q−12 + 82q−13−16q−14−66q−15 + 13q−16 + 52q−17−15q−18−36q−19 + 14q−20 + 26q−21−15q−22−15q−23 + 11q−24 + 10q−25−10q−26−4q−27 + 6q−28 + q−29−2q−30−2q−31 + 3q−32−q−33
4	q46−2q45−q44 + 2q43 + q42 + 6q41−8q40−7q39 + 2q38 + 2q37 + 27q36−10q35−23q34−13q33−12q32 + 66q31 + 13q30−22q29−43q28−73q27 + 89q26 + 57q25 + 32q24−44q23−168q22 + 56q21 + 62q20 + 123q19 + 29q18−233q17−9q16−15q15 + 179q14 + 148q13−223q12−38q11−141q10 + 157q9 + 241q8−160q7 + 4q6−254q5 + 77q4 + 276q3−83q2 + 90q−331−20q−1 + 267q−2−6q−3 + 193q−4−382q−5−129q−6 + 228q−7 + 78q−8 + 302q−9−402q−10−238q−11 + 154q−12 + 136q−13 + 401q−14−354q−15−301q−16 + 52q−17 + 122q−18 + 437q−19−246q−20−265q−21−22q−22 + 40q−23 + 370q−24−137q−25−155q−26−29q−27−38q−28 + 237q−29−77q−30−51q−31 + 4q−32−65q−33 + 120q−34−52q−35−2q−36 + 25q−37−51q−38 + 51q−39−34q−40 + 9q−41 + 21q−42−29q−43 + 20q−44−15q−45 + 5q−46 + 9q−47−11q−48 + 6q−49−4q−50 + 2q−51 + 2q−52−3q−53 + q−54
5	−q70 + 2q69 + q68−2q67−q66−2q65−2q64 + 6q63 + 9q62−2q61−7q60−10q59−13q58 + 7q57 + 29q56 + 21q55−2q54−28q53−49q52−27q51 + 37q50 + 70q49 + 60q48−3q47−87q46−115q45−44q44 + 71q43 + 154q42 + 128q41−17q40−173q39−203q38−80q37 + 129q36 + 266q35 + 202q34−43q33−270q32−298q31−107q30 + 199q29 + 378q28 + 251q27−84q26−343q25−377q24−115q23 + 277q22 + 445q21 + 257q20−92q19−409q18−436q17−90q16 + 323q15 + 473q14 + 319q13−126q12−518q11−484q10−71q9 + 410q8 + 645q7 + 323q6−329q5−715q4−528q3 + 133q2 + 790q + 752−10q−1−791q−2−921q−3−192q−4 + 833q−5 + 1109q−6 + 311q−7−831q−8−1269q−9−491q−10 + 861q−11 + 1453q−12 + 639q−13−857q−14−1622q−15−832q−16 + 834q−17 + 1770q−18 + 1030q−19−745q−20−1869q−21−1234q−22 + 608q−23 + 1880q−24 + 1388q−25−393q−26−1792q−27−1496q−28 + 178q−29 + 1602q−30 + 1489q−31 + 40q−32−1329q−33−1402q−34−205q−35 + 1037q−36 + 1211q−37 + 306q−38−740q−39−987q−40−330q−41 + 491q−42 + 736q−43 + 313q−44−300q−45−523q−46−240q−47 + 164q−48 + 326q−49 + 186q−50−79q−51−205q−52−112q−53 + 36q−54 + 97q−55 + 71q−56−2q−57−53q−58−39q−59 + 2q−60 + 17q−61 + 16q−62 + 6q−63−2q−64−12q−65−6q−66 + 8q−67−q−68−q−69 + 8q−70−6q−71−4q−72 + 6q−73−q−74−3q−75 + 4q−76−2q−77−2q−78 + 3q−79−q−80
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