10 21

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 21"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X5,14,6,15 X3,13,4,12 X13,3,14,2 X7,16,8,17 X11,20,12,1 X15,6,16,7 X19,8,20,9 X9,18,10,19 X17,10,18,11

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -2, 7, -5, 8, -9, 10, -6, 3, -4, 2, -7, 5, -10, 9, -8, 6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 12 14 16 18 20 2 6 10 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[3412]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−2,1,−2,−2,−2,−2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 5}, {1, 10}, {11, 6}, {5, 7}, {10, 12}, {6, 8}, {7, 9}, {4, 11}, {8, 3}, {2, 4}, {3, 1}, {9, 2}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_21.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q21−q19 + q17−3q15 + q13 + 2q7−q5 + 2q3−q + q−1
2	q58−q56−q54 + 2q52−2q50−q48 + 4q46−4q44−q42 + 9q40−5q38−3q36 + 7q34−3q32−5q30 + q28 + 3q26−3q24−3q22 + 6q20−7q16 + 6q14 + 4q12−7q10 + 3q8 + 6q6−5q4−q2 + 4−q−2−q−4 + q−6
3	q111−q109−q107 + 2q103−2q99−q97 + q95 + 2q93 + q89−3q87−2q85 + 4q83 + 9q81−6q79−14q77−q75 + 21q73 + 2q71−24q69−6q67 + 20q65 + 16q63−15q61−14q59 + 5q57 + 17q55 + 2q53−13q51−12q49 + 12q47 + 15q45−11q43−21q41 + 7q39 + 22q37−3q35−23q33−3q31 + 23q29 + 9q27−18q25−16q23 + 13q21 + 20q19−4q17−19q15−3q13 + 17q11 + 10q9−11q7−10q5 + 4q3 + 10q−6q−3−q−5 + 3q−7 + q−9−q−11−q−13 + q−15
4	q180−q178−q176 + 4q170−2q168−2q166−2q164−3q162 + 10q160 + 2q158−q156−7q154−12q152 + 13q150 + 10q148 + 9q146−10q144−31q142 + 2q140 + 17q138 + 36q136 + 5q134−55q132−34q130 + 6q128 + 75q126 + 54q124−56q122−79q120−44q118 + 83q116 + 113q114−12q112−94q110−101q108 + 34q106 + 115q104 + 45q102−41q100−98q98−28q96 + 58q94 + 61q92 + 22q90−48q88−54q86−8q84 + 45q82 + 57q80−5q78−63q76−47q74 + 36q72 + 75q70 + 23q68−73q66−78q64 + 30q62 + 89q60 + 51q58−69q56−102q54 + 3q52 + 79q50 + 86q48−27q46−100q44−42q42 + 29q40 + 93q38 + 32q36−50q34−58q32−38q30 + 50q28 + 57q26 + 16q24−21q22−62q20−9q18 + 25q16 + 38q14 + 25q12−33q10−25q8−12q6 + 14q4 + 30q2−1−7q−2−15q−4−4q−6 + 12q−8 + 2q−10 + 2q−12−4q−14−3q−16 + 3q−18 + q−22−q−24−q−26 + q−28
5	q265−q263−q261 + 2q255 + 2q253−2q251−4q249−q247 + 5q243 + 8q241−9q237−9q235−4q233 + 8q231 + 18q229 + 10q227−12q225−25q223−17q221 + 9q219 + 31q217 + 33q215−3q213−50q211−51q209−5q207 + 59q205 + 89q203 + 36q201−78q199−139q197−79q195 + 77q193 + 209q191 + 162q189−63q187−273q185−273q183−5q181 + 327q179 + 402q177 + 96q175−324q173−507q171−250q169 + 271q167 + 574q165 + 384q163−155q161−554q159−477q157−q155 + 466q153 + 518q151 + 126q149−322q147−461q145−231q143 + 152q141 + 378q139 + 265q137−22q135−241q133−264q131−91q129 + 138q127 + 235q125 + 146q123−45q121−209q119−193q117 + q115 + 201q113 + 226q111 + 34q109−218q107−266q105−52q103 + 238q101 + 320q99 + 86q97−261q95−383q93−135q91 + 264q89 + 437q87 + 213q85−230q83−477q81−299q79 + 155q77 + 474q75 + 376q73−40q71−421q69−439q67−87q65 + 316q63 + 438q61 + 207q59−167q57−386q55−285q53 + 18q51 + 273q49 + 297q47 + 108q45−128q43−246q41−178q39−4q37 + 148q35 + 177q33 + 94q31−31q29−124q27−128q25−49q23 + 49q21 + 101q19 + 91q17 + 25q15−56q13−84q11−55q9 + 4q7 + 50q5 + 60q3 + 27q−18q−1−40q−3−32q−5−3q−7 + 17q−9 + 23q−11 + 13q−13−6q−15−12q−17−7q−19 + 2q−23 + 5q−25 + 2q−27−3q−29−q−31 + q−33 + q−39−q−41−q−43 + q−45

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q30−2q22−2q18 + q14 + 3q10 + q6 + 1
1,1	q84−2q82 + 4q80−8q78 + 13q76−18q74 + 22q72−30q70 + 37q68−40q66 + 42q64−48q62 + 57q60−54q58 + 52q56−56q54 + 47q52−30q50 + 8q48 + 24q46−56q44 + 96q42−128q40 + 154q38−174q36 + 170q34−160q32 + 132q30−102q28 + 54q26−6q24−32q22 + 67q20−90q18 + 106q16−98q14 + 88q12−72q10 + 56q8−34q6 + 23q4−12q2 + 6−2q−2 + q−4
2,0	q76−q70−q64−q62−2q60 + 2q56 + 3q54−2q52 + 3q50 + 6q48 + 2q46−5q44−3q42 + 2q40−4q38−5q36 + q32−3q30 + q28 + q26−q24 + q22 + 5q20 + q18−3q16 + 2q14 + 5q12−q10−3q8 + 2q6 + 3q4−1 + q−4

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q68−q66 + q62−4q60−q58 + 4q56−3q54−q52 + 10q50−q48−3q46 + 6q44−2q42−5q40 + q38−3q34−4q32 + q30−7q26 + 3q24 + 5q22−4q20 + 3q18 + 6q16−3q14 + 3q12 + 3q10−2q8 + 2q6 + q4−q2 + 1
1,0,0	q39 + q35−q33 + q31−2q29−3q25−q23−q21 + 2q17 + q15 + 3q13 + 2q9−q7 + q5 + q

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q86−q82 + q80 + q78−4q76−4q74 + q72−4q68 + 9q64 + 5q62 + q60 + 7q58 + 6q56−3q54−2q52−6q48−8q46−2q44−3q42−9q40−4q38 + 4q36−q34−4q32 + 5q30 + 5q28 + q26 + q24 + 4q22 + 3q20 + 2q18 + 2q16 + 2q14 + q12 + q10 + q8 + q2
1,0,0,0	q48 + q44 + q38−2q36−3q32−2q30−2q28−q26 + q22 + 3q20 + q18 + 3q16 + 2q12 + q6 + q2

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q68−q66 + 2q64−3q62 + 4q60−5q58 + 6q56−7q54 + 7q52−8q50 + 5q48−3q46 + 4q42−7q40 + 11q38−14q36 + 15q34−16q32 + 13q30−12q28 + 9q26−5q24 + q22 + 4q20−5q18 + 8q16−7q14 + 9q12−7q10 + 6q8−4q6 + 3q4−q2 + 1
1,0	q110−q106−q104 + q102 + 2q100−q98−4q96−3q94 + 2q92 + 5q90 + q88−5q86−4q84 + 4q82 + 10q80 + 2q78−6q76−4q74 + 5q72 + 6q70−3q68−7q66−q64 + 5q62 + q60−6q58−4q56 + 3q54 + 3q52−4q50−4q48 + 2q46 + 4q44−2q42−7q40 + 8q36 + 5q34−6q32−7q30 + 3q28 + 10q26 + 3q24−6q22−5q20 + 5q18 + 6q16−4q12−q10 + 3q8 + 2q6−q4−q2 + q−2

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q94−q92 + q90−2q88 + 2q86−4q84 + 2q82−4q80 + 5q78−5q76 + 5q74−4q72 + 9q70−3q68 + 4q66−2q64 + 2q62 + 2q60−4q58 + 4q56−8q54 + 9q52−11q50 + 10q48−15q46 + 9q44−13q42 + 7q40−11q38 + 5q36−4q34 + 3q32 + 2q30 + 7q26−3q24 + 7q22−5q20 + 9q18−5q16 + 6q14−4q12 + 5q10−2q8 + 2q6−q4 + q2

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q162−q160 + 2q158−3q156 + q154−q152−3q150 + 6q148−7q146 + 7q144−6q142 + 3q140 + 4q138−9q136 + 12q134−14q132 + 12q130−7q128 + q126 + 6q124−12q122 + 24q120−18q118 + 14q116−7q114−4q112 + 15q110−20q108 + 17q106−9q104−3q102 + 12q100−15q98 + 5q96 + 6q94−20q92 + 21q90−20q88 + 2q86 + 16q84−33q82 + 38q80−32q78 + 13q76 + 8q74−28q72 + 36q70−34q68 + 22q66−4q64−13q62 + 25q60−21q58 + 13q56 + 4q54−15q52 + 19q50−13q48−q46 + 19q44−28q42 + 30q40−16q38−2q36 + 21q34−29q32 + 30q30−21q28 + 7q26 + 6q24−16q22 + 18q20−13q18 + 9q16−q14−2q12 + 4q10−4q8 + 3q6−q4 + q2

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 21"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−2t3 + 7t2−9t + 9−9t−1 + 7t−2−2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−2z6−5z4 + z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 45, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

1−2q−1 + 4q−2−5q−3 + 7q−4−7q−5 + 7q−6−6q−7 + 3q−8−2q−9 + q−10

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4a8 + 3z2a8 + a8−z6a6−4z4a6−5z2a6−3a6−z6a4−3z4a4 + 2a4 + z4a2 + 3z2a2 + a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a12−2z2a12 + 2z5a11−4z3a11 + 2za11 + 2z6a10−2z4a10 + 2z7a9−2z5a9 + 3za9 + 2z8a8−5z6a8 + 9z4a8−5z2a8 + a8 + z9a7−z7a7 + 2z3a7−za7 + 4z8a6−14z6a6 + 20z4a6−14z2a6 + 3a6 + z9a5−z7a5−3z5a5 + 3z3a5−2za5 + 2z8a4−6z6a4 + 4z4a4−3z2a4 + 2a4 + 2z7a3−7z5a3 + 5z3a3 + z6a2−4z4a2 + 4z2a2−a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 21"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −2t3 + 7t2−9t + 9−9t−1 + 7t−2−2t−3, 1−2q−1 + 4q−2−5q−3 + 7q−4−7q−5 + 7q−6−6q−7 + 3q−8−2q−9 + q−10 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n69,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q2−2q + 6q−1−7q−2−4q−3 + 17q−4−10q−5−14q−6 + 28q−7−8q−8−27q−9 + 35q−10−2q−11−36q−12 + 35q−13 + 4q−14−38q−15 + 29q−16 + 6q−17−28q−18 + 19q−19 + 4q−20−14q−21 + 9q−22 + q−23−6q−24 + 4q−25−2q−27 + q−28
3	q6−2q5 + 2q3 + 3q2−6q−5 + 8q−1 + 13q−2−12q−3−19q−4 + 7q−5 + 34q−6−5q−7−39q−8−9q−9 + 49q−10 + 19q−11−46q−12−38q−13 + 47q−14 + 46q−15−32q−16−64q−17 + 27q−18 + 66q−19−7q−20−79q−21−q−22 + 76q−23 + 19q−24−82q−25−25q−26 + 75q−27 + 34q−28−67q−29−37q−30 + 56q−31 + 33q−32−36q−33−33q−34 + 30q−35 + 15q−36−10q−37−14q−38 + 8q−39 + 2q−40−2q−41 + q−42 + 3q−43−4q−44−3q−45 + 5q−46 + 2q−47−2q−48−4q−49 + 3q−50 + q−51−2q−53 + q−54
4	q12−2q11 + 2q9−q8 + 4q7−8q6−q5 + 8q4−q3 + 14q2−24q−12 + 16q−1 + 5q−2 + 45q−3−40q−4−38q−5 + 3q−6−3q−7 + 103q−8−27q−9−51q−10−31q−11−56q−12 + 144q−13 + 10q−14−10q−15−38q−16−144q−17 + 124q−18 + 18q−19 + 72q−20 + 23q−21−208q−22 + 53q−23−40q−24 + 145q−25 + 136q−26−215q−27−23q−28−145q−29 + 178q−30 + 256q−31−177q−32−82q−33−253q−34 + 183q−35 + 352q−36−125q−37−121q−38−336q−39 + 167q−40 + 410q−41−63q−42−133q−43−389q−44 + 121q−45 + 416q−46 + 7q−47−94q−48−392q−49 + 35q−50 + 346q−51 + 64q−52−8q−53−322q−54−46q−55 + 211q−56 + 71q−57 + 74q−58−197q−59−76q−60 + 84q−61 + 36q−62 + 97q−63−87q−64−55q−65 + 15q−66−4q−67 + 76q−68−27q−69−24q−70−4q−71−19q−72 + 43q−73−6q−74−5q−75−3q−76−16q−77 + 18q−78−q−79 + q−80−8q−82 + 5q−83 + q−85−2q−87 + q−88