10 41

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 41"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X5,12,6,13 X3,11,4,10 X11,3,12,2 X9,20,10,1 X15,19,16,18 X13,8,14,9 X17,6,18,7 X7,16,8,17 X19,15,20,14

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -2, 8, -9, 7, -5, 3, -4, 2, -7, 10, -6, 9, -8, 6, -10, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 16 20 2 8 18 6 14

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[221212]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(5,{1,−2,1,−2,−2,3,−2,−4,3,−4})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 5, 10, 5 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 7}, {1, 10}, {11, 8}, {7, 9}, {10, 12}, {6, 11}, {8, 2}, {3, 1}, {2, 5}, {4, 6}, {5, 3}, {9, 4}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_41.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q15−2q13 + 3q11−3q9 + 2q7−q5−q3 + 3q−2q−1 + 3q−3−2q−5 + q−7
2	q42−2q40 + 6q36−8q34−2q32 + 15q30−15q28−5q26 + 24q24−15q22−11q20 + 21q18−3q16−13q14 + 5q12 + 11q10−7q8−13q6 + 17q4 + 4q2−22 + 15q−2 + 12q−4−22q−6 + 5q−8 + 14q−10−12q−12−2q−14 + 8q−16−2q−18−2q−20 + q−22
3	q81−2q79 + 3q75 + q73−7q71−3q69 + 14q67 + 3q65−22q63−4q61 + 35q59 + 7q57−54q55−12q53 + 75q51 + 24q49−92q47−44q45 + 103q43 + 64q41−96q39−86q37 + 73q35 + 98q33−39q31−96q29−2q27 + 84q25 + 41q23−62q21−73q19 + 39q17 + 92q15−9q13−108q11−14q9 + 111q7 + 41q5−108q3−65q + 96q−1 + 87q−3−71q−5−103q−7 + 44q−9 + 103q−11−11q−13−92q−15−16q−17 + 70q−19 + 33q−21−45q−23−34q−25 + 20q−27 + 29q−29−4q−31−19q−33−2q−35 + 8q−37 + 3q−39−2q−41−2q−43 + q−45
4	q132−2q130 + 3q126−2q124 + 2q122−8q120 + 2q118 + 13q116−8q114 + 3q112−21q110 + 11q108 + 38q106−28q104−17q102−43q100 + 57q98 + 107q96−67q94−106q92−117q90 + 148q88 + 287q86−56q84−279q82−324q80 + 196q78 + 566q76 + 118q74−396q72−638q70 + 41q68 + 734q66 + 432q64−251q62−806q60−287q58 + 555q56 + 629q54 + 121q52−619q50−529q48 + 110q46 + 521q44 + 435q42−188q40−522q38−316q36 + 238q34 + 554q32 + 214q30−381q28−570q26−15q24 + 538q22 + 492q20−219q18−708q16−230q14 + 452q12 + 695q10−4q8−727q6−459q4 + 226q2 + 784 + 302q−2−531q−4−614q−6−142q−8 + 627q−10 + 539q−12−138q−14−519q−16−444q−18 + 253q−20 + 500q−22 + 200q−24−198q−26−448q−28−78q−30 + 226q−32 + 261q−34 + 75q−36−226q−38−153q−40−4q−42 + 119q−44 + 122q−46−36q−48−66q−50−54q−52 + 9q−54 + 53q−56 + 11q−58−4q−60−19q−62−9q−64 + 8q−66 + 3q−68 + 3q−70−2q−72−2q−74 + q−76
5	q195−2q193 + 3q189−2q187−q185 + q183−3q181 + q179 + 8q177−2q175−8q173 + 3q169 + 8q167 + 3q165−15q163−25q161 + 4q159 + 57q157 + 54q155−24q153−122q151−130q149 + 25q147 + 255q145 + 291q143−14q141−446q139−559q137−87q135 + 679q133 + 1001q131 + 338q129−928q127−1605q125−797q123 + 1064q121 + 2328q119 + 1542q117−983q115−3066q113−2521q111 + 580q109 + 3604q107 + 3607q105 + 227q103−3758q101−4635q99−1307q97 + 3405q95 + 5278q93 + 2520q91−2506q89−5400q87−3601q85 + 1259q83 + 4895q81 + 4283q79 + 144q77−3856q75−4468q73−1437q71 + 2519q69 + 4152q67 + 2398q65−1093q63−3476q61−3006q59−185q57 + 2666q55 + 3284q53 + 1215q51−1880q49−3381q47−1971q45 + 1209q43 + 3423q41 + 2571q39−722q37−3474q35−3065q33 + 267q31 + 3539q29 + 3608q27 + 194q25−3571q23−4120q21−816q19 + 3413q17 + 4641q15 + 1596q13−3003q11−4973q9−2494q7 + 2226q5 + 5006q3 + 3405q−1142q−1−4632q−3−4092q−5−130q−7 + 3773q−9 + 4413q−11 + 1406q−13−2576q−15−4216q−17−2395q−19 + 1172q−21 + 3521q−23 + 2931q−25 + 146q−27−2466q−29−2922q−31−1137q−33 + 1293q−35 + 2434q−37 + 1635q−39−230q−41−1667q−43−1674q−45−475q−47 + 861q−49 + 1333q−51 + 795q−53−192q−55−866q−57−787q−59−182q−61 + 409q−63 + 575q−65 + 321q−67−86q−69−338q−71−288q−73−60q−75 + 141q−77 + 182q−79 + 98q−81−23q−83−97q−85−74q−87−11q−89 + 33q−91 + 35q−93 + 20q−95−4q−97−19q−99−9q−101 + q−103 + 3q−105 + 3q−107 + 3q−109−2q−111−2q−113 + q−115

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q22−q18 + 2q16−2q14 + q10−2q8 + 2q6−2q4 + 2q2 + 1−q−2 + 2q−4−q−6 + q−10
1,1	q60−4q58 + 10q56−20q54 + 40q52−70q50 + 110q48−162q46 + 227q44−302q42 + 372q40−436q38 + 485q36−506q34 + 478q32−394q30 + 262q28−66q26−170q24 + 432q22−689q20 + 904q18−1060q16 + 1128q14−1105q12 + 994q10−798q8 + 548q6−275q4 + 6q2 + 240−432q−2 + 554q−4−602q−6 + 588q−8−524q−10 + 427q−12−316q−14 + 218q−16−134q−18 + 74q−20−36q−22 + 14q−24−4q−26 + q−28
2,0	q56−q52 + 2q48−5q44 + q42 + 6q40−5q38−8q36 + 6q34 + 11q32−7q30−9q28 + 11q26 + 8q24−10q22−3q20 + 8q18−4q16−4q14 + 4q12 + q10−7q8 + 3q6 + 10q4−7q2−6 + 10q−2 + 6q−4−11q−6−4q−8 + 8q−10 + 4q−12−6q−14−3q−16 + 6q−18 + 3q−20−2q−22−2q−24 + q−28

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q48−2q46 + 5q42−7q40−2q38 + 14q36−10q34−7q32 + 20q30−9q28−12q26 + 18q24−4q22−11q20 + 8q18 + 3q16−4q14−7q12 + 9q10 + 5q8−17q6 + 9q4 + 12q2−17 + 5q−2 + 12q−4−14q−6 + 4q−8 + 7q−10−7q−12 + 3q−14 + 2q−16−2q−18 + q−20
1,0,0	q29 + q25−q23 + 2q21−3q19 + q17−2q15 + q13−q11 + q9 + q7−q5 + 2q3−q + 2q−1−2q−3 + 2q−5−q−7 + q−9 + q−13

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q48−2q46 + 4q44−7q42 + 11q40−14q38 + 18q36−20q34 + 21q32−20q30 + 15q28−8q26−2q24 + 12q22−23q20 + 32q18−39q16 + 42q14−41q12 + 37q10−29q8 + 19q6−7q4−2q2 + 11−17q−2 + 22q−4−22q−6 + 20q−8−17q−10 + 13q−12−9q−14 + 6q−16−2q−18 + q−20
1,0	q78−2q74−2q72 + 2q70 + 6q68 + q66−9q64−8q62 + 6q60 + 16q58 + 3q56−17q54−14q52 + 10q50 + 22q48 + q46−21q44−11q42 + 15q40 + 17q38−8q36−18q34 + 2q32 + 17q30 + 3q28−15q26−6q24 + 12q22 + 8q20−11q18−10q16 + 10q14 + 13q12−8q10−19q8 + 2q6 + 22q4 + 10q2−18−19q−2 + 9q−4 + 24q−6 + 3q−8−19q−10−12q−12 + 11q−14 + 14q−16−2q−18−10q−20−3q−22 + 6q−24 + 4q−26−2q−28−2q−30 + q−34

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q114−2q112 + 4q110−6q108 + 5q106−4q104−2q102 + 12q100−21q98 + 30q96−32q94 + 22q92−3q90−23q88 + 55q86−74q84 + 80q82−61q80 + 20q78 + 31q76−80q74 + 112q72−114q70 + 80q68−22q66−44q64 + 90q62−97q60 + 69q58−13q56−47q54 + 74q52−64q50 + 9q48 + 67q46−125q44 + 139q42−91q40 + 101q36−178q34 + 196q32−153q30 + 59q28 + 49q26−132q24 + 169q22−140q20 + 70q18 + 11q16−77q14 + 96q12−70q10 + 13q8 + 57q6−97q4 + 94q2−42−35q−2 + 106q−4−142q−6 + 126q−8−69q−10−11q−12 + 83q−14−120q−16 + 119q−18−77q−20 + 22q−22 + 24q−24−54q−26 + 57q−28−43q−30 + 24q−32−2q−34−9q−36 + 12q−38−10q−40 + 6q−42−2q−44 + q−46

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 41"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

t3−7t2 + 17t−21 + 17t−1−7t−2 + t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

z6−z4−2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 71, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q3−3q2 + 6q−8 + 11q−1−12q−2 + 11q−3−9q−4 + 6q−5−3q−6 + q−7

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a6 + a6−2z4a4−4z2a4−2a4 + z6a2 + 3z4a2 + 4z2a2 + 2a2−2z4−4z2−1 + z2a−2 + a−2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

a3z9 + az9 + 3a4z8 + 6a2z8 + 3z8 + 5a5z7 + 8a3z7 + 6az7 + 3z7a−1 + 5a6z6 + 4a4z6−7a2z6 + z6a−2−5z6 + 3a7z5−4a5z5−18a3z5−20az5−9z5a−1 + a8z4−6a6z4−14a4z4−8a2z4−3z4a−2−4z4−3a7z3 + a5z3 + 10a3z3 + 13az3 + 7z3a−1−a8z2 + 4a6z2 + 10a4z2 + 9a2z2 + 3z2a−2 + 7z2 + a7z−2a3z−2az−za−1−a6−2a4−2a2−a−2−1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 41"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ t3−7t2 + 17t−21 + 17t−1−7t−2 + t−3, q3−3q2 + 6q−8 + 11q−1−12q−2 + 11q−3−9q−4 + 6q−5−3q−6 + q−7 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n5,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{10_94,}

n	Jn
2	q10−3q9 + 11q7−13q6−10q5 + 37q4−22q3−37q2 + 71q−19−74q−1 + 97q−2−6q−3−104q−4 + 103q−5 + 12q−6−110q−7 + 85q−8 + 22q−9−86q−10 + 53q−11 + 18q−12−47q−13 + 24q−14 + 8q−15−17q−16 + 7q−17 + 2q−18−3q−19 + q−20
3	q21−3q20 + 5q18 + 6q17−13q16−17q15 + 20q14 + 39q13−22q12−71q11 + 9q10 + 117q9 + 15q8−157q7−67q6 + 198q5 + 129q4−216q3−214q2 + 230q + 287−207q−1−375q−2 + 187q−3 + 436q−4−137q−5−500q−6 + 93q−7 + 535q−8−36q−9−553q−10−19q−11 + 546q−12 + 67q−13−510q−14−105q−15 + 452q−16 + 124q−17−373q−18−130q−19 + 293q−20 + 114q−21−213q−22−91q−23 + 146q−24 + 66q−25−97q−26−40q−27 + 59q−28 + 24q−29−36q−30−12q−31 + 20q−32 + 6q−33−11q−34−q−35 + 3q−36 + 2q−37−3q−38 + q−39
4	q36−3q35 + 5q33 + 6q31−20q30−10q29 + 20q28 + 15q27 + 48q26−64q25−73q24 + 8q23 + 45q22 + 206q21−67q20−196q19−141q18−28q17 + 507q16 + 119q15−231q14−445q13−398q12 + 757q11 + 517q10 + 69q9−692q8−1095q7 + 682q6 + 898q5 + 746q4−604q3−1864q2 + 210q + 981 + 1579q−1−122q−2−2422q−3−475q−4 + 713q−5 + 2302q−6 + 577q−7−2665q−8−1157q−9 + 235q−10 + 2791q−11 + 1288q−12−2619q−13−1710q−14−320q−15 + 2980q−16 + 1883q−17−2279q−18−2026q−19−874q−20 + 2774q−21 + 2217q−22−1656q−23−1940q−24−1285q−25 + 2135q−26 + 2127q−27−916q−28−1432q−29−1359q−30 + 1293q−31 + 1608q−32−361q−33−749q−34−1057q−35 + 600q−36 + 929q−37−119q−38−235q−39−609q−40 + 230q−41 + 409q−42−74q−43−12q−44−266q−45 + 91q−46 + 144q−47−63q−48 + 27q−49−92q−50 + 41q−51 + 44q−52−37q−53 + 16q−54−26q−55 + 14q−56 + 12q−57−13q−58 + 5q−59−5q−60 + 3q−61 + 2q−62−3q−63 + q−64
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