10 54

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 54"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,10,4,11 X7,12,8,13 X11,8,12,9 X13,19,14,18 X5,17,6,16 X17,7,18,6 X15,1,16,20 X19,15,20,14 X9,2,10,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 10, -2, 1, -6, 7, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 9, -8, 6, -7, 5, -9, 8

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 16 12 2 8 18 20 6 14

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[23,3,2]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{1,1,1,−2,1,1,−2,−3,2,−3,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 4}, {3, 10}, {9, 11}, {10, 12}, {11, 8}, {6, 9}, {5, 7}, {4, 6}, {2, 5}, {1, 3}, {8, 2}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_54.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q9 + q7−2q5 + 2q3 + 2q−1 + q−3−q−5 + 2q−7−2q−9 + q−11−q−13
2	q28−q26−2q24 + 4q22 + q20−7q18 + 3q16 + 5q14−8q12−q10 + 7q8−4q6−4q4 + 7q2 + 2−4q−2 + 3q−4 + 6q−6−3q−8−3q−10 + 6q−12 + q−14−8q−16 + 3q−18 + 3q−20−6q−22 + 2q−24 + q−26−3q−28 + 2q−30−q−34 + q−36
3	−q57 + q55 + 2q53−5q49−3q47 + 7q45 + 9q43−5q41−15q39−2q37 + 19q35 + 11q33−15q31−20q29 + 6q27 + 25q25 + 3q23−22q21−16q19 + 16q17 + 20q15−8q13−26q11 + q9 + 23q7 + 9q5−23q3−9q + 24q−1 + 17q−3−20q−5−19q−7 + 18q−9 + 23q−11−8q−13−24q−15 + 20q−19 + 15q−21−14q−23−24q−25 + q−27 + 27q−29 + 6q−31−23q−33−16q−35 + 17q−37 + 13q−39−9q−41−10q−43 + 3q−45 + 6q−47−2q−51 + q−57 + q−59−q−61 + q−67−q−69
4	q96−q94−2q92 + q88 + 7q86 + q84−7q82−9q80−9q78 + 16q76 + 20q74 + 8q72−14q70−42q68−10q66 + 22q64 + 48q62 + 33q60−40q58−56q56−41q54 + 31q52 + 88q50 + 38q48−25q46−97q44−64q42 + 47q40 + 93q38 + 80q36−44q34−123q32−66q30 + 40q28 + 135q26 + 66q24−73q22−128q20−60q18 + 98q16 + 130q14 + 13q12−111q10−109q8 + 37q6 + 125q4 + 55q2−76−107q−2 + 9q−4 + 112q−6 + 60q−8−69q−10−104q−12−8q−14 + 111q−16 + 85q−18−41q−20−110q−22−70q−24 + 62q−26 + 120q−28 + 53q−30−55q−32−141q−34−67q−36 + 81q−38 + 149q−40 + 75q−42−118q−44−169q−46−34q−48 + 132q−50 + 164q−52−19q−54−149q−56−98q−58 + 44q−60 + 132q−62 + 35q−64−64q−66−70q−68−8q−70 + 62q−72 + 26q−74−15q−76−25q−78−12q−80 + 21q−82 + 6q−84−q−86−4q−88−7q−90 + 7q−92−q−94−3q−100 + 3q−102−q−104−q−110 + q−112
5	−q145 + q143 + 2q141−q137−3q135−5q133−q131 + 9q129 + 11q127 + 6q125−4q123−20q121−26q119−9q117 + 23q115 + 43q113 + 40q111 + 4q109−50q107−80q105−55q103 + 19q101 + 93q99 + 119q97 + 62q95−54q93−157q91−161q89−48q87 + 114q85 + 226q83 + 195q81 + 14q79−206q77−304q75−196q73 + 60q71 + 314q69 + 373q67 + 163q65−192q63−437q61−394q59−59q57 + 365q55 + 553q53 + 338q51−145q49−556q47−585q45−162q43 + 421q41 + 704q39 + 458q37−162q35−692q33−684q31−128q29 + 544q27 + 789q25 + 395q23−337q21−778q19−572q17 + 105q15 + 681q13 + 665q11 + 74q9−545q7−650q5−188q3 + 407q + 600q−1 + 224q−3−317q−5−511q−7−200q−9 + 280q−11 + 452q−13 + 162q−15−292q−17−443q−19−135q−21 + 321q−23 + 475q−25 + 181q−27−305q−29−541q−31−302q−33 + 212q−35 + 561q−37 + 477q−39 + 6q−41−497q−43−646q−45−308q−47 + 297q−49 + 732q−51 + 625q−53 + 16q−55−667q−57−877q−59−385q−61 + 473q−63 + 968q−65 + 687q−67−166q−69−903q−71−878q−73−117q−75 + 704q−77 + 887q−79 + 329q−81−449q−83−778q−85−416q−87 + 235q−89 + 588q−91 + 398q−93−84q−95−393q−97−316q−99 + 4q−101 + 241q−103 + 218q−105 + 20q−107−134q−109−128q−111−23q−113 + 67q−115 + 74q−117 + 16q−119−34q−121−38q−123−7q−125 + 13q−127 + 15q−129 + 6q−131−5q−133−9q−135−2q−137 + 4q−139 + 2q−145−2q−147 + 2q−151−q−153−q−155 + q−157 + q−163−q−165

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q12−q8−q6 + q4 + 3 + 2q−2 + q−4 + 2q−6−q−8 + q−10−q−12−q−14−q−18
1,1	q36−2q34 + 8q32−18q30 + 33q28−54q26 + 76q24−96q22 + 108q20−108q18 + 90q16−62q14 + 18q12 + 24q10−78q8 + 116q6−150q4 + 170q2−172 + 172q−2−134q−4 + 112q−6−56q−8 + 28q−10 + 15q−12−40q−14 + 50q−16−62q−18 + 49q−20−48q−22 + 38q−24−36q−26 + 30q−28−28q−30 + 26q−32−26q−34 + 22q−36−18q−38 + 16q−40−12q−42 + 9q−44−6q−46 + 4q−48−2q−50 + q−52
2,0	q34−q30 + 2q26 + q24−2q22−2q20 + 2q18−4q14−3q12−q10−q8−5q6−q4 + 4q2 + 3 + 4q−2 + 7q−4 + 4q−6 + 3q−8 + 5q−10 + 5q−12−q−14−q−16 + 2q−18−q−20−9q−22−4q−24−3q−28−2q−30 + 2q−34 + q−40 + q−46

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q26−q24 + 2q22 + q20−3q18 + 2q16−3q14−7q12−4q8−4q6 + 7q4 + 3q2 + 2 + 9q−2 + 5q−4 + 3q−8 + 3q−10 + 2q−12−4q−14 + q−16 + q−18−8q−20−q−22 + 3q−24−6q−26−q−28 + 5q−30−3q−32−2q−34 + 3q−36−q−40 + q−42
1,0,0	−q15−2q11−2q7 + q5 + 3q + 2q−1 + 3q−3 + 2q−5 + q−7 + 2q−9−q−11 + q−13−2q−15−2q−19−q−23

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q32 + q28 + 3q26 + q24 + 2q20−3q18−8q16−6q14−8q12−12q10−8q8 + 3q6 + 4q4 + 2q2 + 13 + 19q−2 + 7q−4 + 6q−6 + 12q−8 + 4q−10−2q−12 + 3q−14 + 2q−16−3q−18−4q−20 + q−22−4q−24−9q−26−3q−28−6q−32−4q−34 + 2q−36 + q−38−q−40−q−42 + 2q−44 + 2q−46 + q−52
1,0,0,0	−q18−2q14−q12−q10−2q8 + q6 + 3q2 + 2 + 3q−2 + 3q−4 + 2q−6 + 2q−8 + q−10 + 2q−12−q−14 + q−16−2q−18−q−20−q−22−2q−24−q−28

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q26 + q24−4q22 + 5q20−7q18 + 8q16−9q14 + 9q12−8q10 + 6q8−2q6−q4 + 7q2−10 + 15q−2−15q−4 + 18q−6−15q−8 + 15q−10−10q−12 + 8q−14−3q−16−q−18 + 4q−20−7q−22 + 7q−24−8q−26 + 7q−28−7q−30 + 5q−32−4q−34 + 3q−36−2q−38 + q−40−q−42
1,0	q44−q40−q38 + 3q36 + 3q34−3q32−5q30 + q28 + 6q26 + q24−9q22−7q20 + 4q18 + 7q16−3q14−11q12−3q10 + 8q8 + 8q6−3q4−5q2 + 3 + 9q−2 + 3q−4−2q−6 + 7q−10 + 3q−12−4q−14−3q−16 + 6q−18 + 6q−20−3q−22−8q−24 + 7q−28 + q−30−8q−32−6q−34 + 3q−36 + 6q−38−q−40−7q−42−4q−44 + 3q−46 + 6q−48−4q−52−3q−54 + q−56 + 3q−58 + q−60−q−62−q−64 + q−68

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q34−q32 + 3q30−3q28 + 6q26−6q24 + 5q22−9q20 + 5q18−12q16 + q14−9q12 + 2q10−2q8 + 7q4 + 15−5q−2 + 16q−4−9q−6 + 16q−8−11q−10 + 14q−12−9q−14 + 10q−16−6q−18 + 5q−20−3q−22−2q−24−7q−28 + 2q−30−7q−32 + 5q−34−7q−36 + 4q−38−5q−40 + 6q−42−4q−44 + 2q−46−3q−48 + 3q−50−q−52 + q−54−q−56 + q−58

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q60−q58 + 4q56−6q54 + 6q52−5q50−3q48 + 13q46−22q44 + 24q42−19q40 + 2q38 + 16q36−34q34 + 38q32−29q30 + 7q28 + 12q26−30q24 + 29q22−18q20 + q18 + 15q16−22q14 + 17q12−q10−15q8 + 28q6−28q4 + 24q2−2−14q−2 + 35q−4−40q−6 + 40q−8−18q−10−5q−12 + 27q−14−36q−16 + 34q−18−16q−20−q−22 + 18q−24−22q−26 + 14q−28−15q−32 + 21q−34−16q−36 + 3q−38 + 11q−40−19q−42 + 21q−44−15q−46 + 7q−48 + q−50−11q−52 + 13q−54−14q−56 + 12q−58−8q−60 + 3q−62 + q−64−8q−66 + 9q−68−12q−70 + 9q−72−5q−74 + q−76 + 2q−78−6q−80 + 6q−82−5q−84 + 4q−86−2q−88 + q−92−2q−94 + 2q−96−q−98 + q−100

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 54"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t3−6t2 + 10t−11 + 10t−1−6t−2 + 2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z6 + 6z4 + 4z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 47, 2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q6 + 2q5−4q4 + 6q3−7q2 + 8q−6 + 6q−1−4q−2 + 2q−3−q−4

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z6a−2 + z6−a2z4 + 4z4a−2−z4a−4 + 4z4−3a2z2 + 5z2a−2−3z2a−4 + 5z2−2a2 + 2a−2−2a−4 + 3

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az9 + z9a−1 + 2a2z8 + 3z8a−2 + 5z8 + a3z7 + 3z7a−1 + 4z7a−3−9a2z6−5z6a−2 + 4z6a−4−18z6−5a3z5−13az5−18z5a−1−7z5a−3 + 3z5a−5 + 12a2z4−3z4a−2−6z4a−4 + 2z4a−6 + 17z4 + 8a3z3 + 20az3 + 17z3a−1 + 2z3a−3−2z3a−5 + z3a−7−6a2z2 + 5z2a−2 + 5z2a−4−z2a−6−7z2−4a3z−8az−5za−1 + za−3 + za−5−za−7 + 2a2−2a−2−2a−4 + 3

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 54"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t3−6t2 + 10t−11 + 10t−1−6t−2 + 2t−3, −q6 + 2q5−4q4 + 6q3−7q2 + 8q−6 + 6q−1−4q−2 + 2q−3−q−4 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_12,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q17−2q16 + q15 + 3q14−7q13 + 5q12 + 4q11−15q10 + 14q9 + 4q8−26q7 + 23q6 + 9q5−35q4 + 23q3 + 18q2−38q + 16 + 24q−1−33q−2 + 5q−3 + 24q−4−22q−5−3q−6 + 17q−7−9q−8−5q−9 + 7q−10−q−11−2q−12 + q−13
3	−q33 + 2q32−q31−2q29 + 4q28−q27−q26−2q25 + 2q24 + q23 + 5q22−5q21−11q20 + 2q19 + 27q18−q17−44q16−5q15 + 56q14 + 20q13−70q12−30q11 + 66q10 + 49q9−65q8−50q7 + 42q6 + 65q5−34q4−55q3 + 5q2 + 64q + 3−48q−1−28q−2 + 50q−3 + 35q−4−34q−5−50q−6 + 23q−7 + 53q−8−6q−9−54q−10−9q−11 + 47q−12 + 19q−13−32q−14−28q−15 + 21q−16 + 24q−17−6q−18−20q−19 + 11q−21 + 4q−22−6q−23−2q−24 + q−25 + 2q−26−q−27
4	q54−2q53 + q52−q50 + 5q49−8q48 + 4q47−2q45 + 13q44−22q43 + 7q42 + 3q41 + 5q40 + 28q39−55q38−6q37 + 13q36 + 46q35 + 64q34−125q33−68q32 + 19q31 + 145q30 + 161q29−213q28−210q27−32q26 + 275q25 + 344q24−245q23−376q22−167q21 + 326q20 + 537q19−171q18−444q17−315q16 + 252q15 + 623q14−63q13−377q12−373q11 + 120q10 + 583q9 + 6q8−251q7−347q6 + q5 + 487q4 + 41q3−122q2−295q−102 + 371q−1 + 72q−2 + 9q−3−225q−4−190q−5 + 225q−6 + 70q−7 + 133q−8−108q−9−222q−10 + 67q−11 + 2q−12 + 188q−13 + 31q−14−153q−15−28q−16−104q−17 + 131q−18 + 110q−19−29q−20−15q−21−150q−22 + 20q−23 + 77q−24 + 43q−25 + 48q−26−100q−27−37q−28 + 5q−29 + 28q−30 + 64q−31−27q−32−22q−33−21q−34−4q−35 + 32q−36 + q−37−9q−39−8q−40 + 7q−41 + q−42 + 2q−43−q−44−2q−45 + q−46
5	−q80 + 2q79−q78 + q76−2q75−q74 + 5q73−3q72−2q71 + 5q70−4q69−q68 + 9q67−9q66−9q65 + 9q64 + 7q63 + 8q62 + 7q61−29q60−40q59 + 13q58 + 57q57 + 66q56−119q54−145q53 + 7q52 + 211q51 + 264q50 + 23q49−356q48−465q47−70q46 + 520q45 + 746q44 + 213q43−709q42−1116q41−432q40 + 849q39 + 1524q38 + 771q37−892q36−1937q35−1193q34 + 824q33 + 2261q32 + 1624q31−611q30−2432q29−2051q28 + 332q27 + 2471q26 + 2307q25−2q24−2325q23−2486q22−273q21 + 2133q20 + 2456q19 + 501q18−1854q17−2402q16−622q15 + 1619q14 + 2217q13 + 737q12−1368q11−2108q10−776q9 + 1163q8 + 1909q7 + 888q6−914q5−1818q4−948q3 + 683q2 + 1598q + 1082−373q−1−1442q−2−1141q−3 + 88q−4 + 1136q−5 + 1187q−6 + 246q−7−851q−8−1125q−9−488q−10 + 459q−11 + 981q−12 + 687q−13−119q−14−731q−15−733q−16−213q−17 + 425q−18 + 679q−19 + 411q−20−111q−21−487q−22−496q−23−158q−24 + 256q−25 + 440q−26 + 300q−27−4q−28−281q−29−346q−30−168q−31 + 105q−32 + 257q−33 + 241q−34 + 74q−35−136q−36−227q−37−149q−38 + q−39 + 133q−40 + 172q−41 + 84q−42−46q−43−118q−44−111q−45−29q−46 + 59q−47 + 88q−48 + 57q−49−2q−50−54q−51−55q−52−15q−53 + 14q−54 + 32q−55 + 28q−56−19q−58−12q−59−6q−60 + 11q−62 + 6q−63−3q−64−2q−65−q−66−2q−67 + q−68 + 2q−69−q−70
6	q111−2q110 + q109−q107 + 2q106−2q105 + 4q104−6q103 + 5q102−q101−8q100 + 9q99−3q98 + 8q97−11q96 + 14q95−6q94−28q93 + 20q92 + 3q91 + 18q90−11q89 + 30q88−30q87−78q86 + 31q85 + 30q84 + 66q83 + 19q82 + 45q81−125q80−226q79 + 23q78 + 144q77 + 278q76 + 181q75 + 28q74−473q73−699q72−111q71 + 491q70 + 996q69 + 803q68 + 48q67−1376q66−2011q65−785q64 + 1052q63 + 2660q62 + 2554q61 + 617q60−2788q59−4658q58−2817q57 + 1109q56 + 5048q55 + 5911q54 + 2738q53−3642q52−8100q51−6606q50−584q49 + 6652q48 + 9938q47 + 6682q46−2449q45−10386q44−10831q43−4152q42 + 5889q41 + 12395q40 + 10773q39 + 661q38−10008q37−13141q36−7669q35 + 3223q34 + 12044q33 + 12757q32 + 3635q31−7772q30−12726q29−9196q28 + 719q27 + 10012q26 + 12321q25 + 4956q24−5607q23−10963q22−8916q21−566q20 + 8026q19 + 10991q18 + 5165q17−4175q16−9334q15−8315q14−1347q13 + 6443q12 + 9918q11 + 5532q10−2727q9−7915q8−8143q7−2609q6 + 4544q5 + 8900q4 + 6380q3−563q2−5955q−7898−4355q−1 + 1812q−2 + 7113q−3 + 6961q−4 + 2077q−5−3006q−6−6632q−7−5650q−8−1381q−9 + 4114q−10 + 6224q−11 + 4103q−12 + 454q−13−3892q−14−5340q−15−3804q−16 + 495q−17 + 3739q−18 + 4257q−19 + 3031q−20−422q−21−3054q−22−4123q−23−2151q−24 + 464q−25 + 2278q−26 + 3337q−27 + 1982q−28−q−29−2245q−30−2439q−31−1640q−32−350q−33 + 1529q−34 + 2018q−35 + 1730q−36 + 91q−37−807q−38−1461q−39−1546q−40−442q−41 + 453q−42 + 1317q−43 + 933q−44 + 690q−45−80q−46−886q−47−890q−48−667q−49 + 99q−50 + 269q−51 + 759q−52 + 633q−53 + 131q−54−209q−55−512q−56−340q−57−403q−58 + 102q−59 + 328q−60 + 330q−61 + 242q−62 + 18q−63−52q−64−350q−65−178q−66−65q−67 + 57q−68 + 133q−69 + 142q−70 + 152q−71−76q−72−65q−73−95q−74−61q−75−27q−76 + 32q−77 + 98q−78 + 13q−79 + 20q−80−15q−81−23q−82−37q−83−14q−84 + 24q−85 + 2q−86 + 14q−87 + 5q−88 + 3q−89−11q−90−8q−91 + 5q−92−2q−93 + 2q−94 + q−95 + 2q−96−q−97−2q−98 + q−99