10 78

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 78"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3849 X5,14,6,15 X11,17,12,16 X15,13,16,12 X17,20,18,1 X9,18,10,19 X19,10,20,11 X13,6,14,7 X7283

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 10, -2, 1, -3, 9, -10, 2, -7, 8, -4, 5, -9, 3, -5, 4, -6, 7, -8, 6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 14 2 18 16 6 12 20 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[21,21,2++]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(5,{−1,−1,−2,1,−2,−1,3,−2,−4,3,−4,−4})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 5, 12, 5 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{13, 3}, {2, 11}, {9, 12}, {11, 13}, {10, 4}, {3, 9}, {5, 10}, {4, 6}, {7, 5}, {6, 1}, {8, 2}, {12, 7}, {1, 8}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_78.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q21−2q19 + 2q17−4q15 + 2q13 + 3q7−2q5 + 3q3−2q + q−1
2	q58−2q56−q54 + 5q52−6q50 + 13q46−14q44−3q42 + 22q40−16q38−10q36 + 20q34−5q32−13q30 + 5q28 + 9q26−8q24−10q22 + 17q20 + 2q18−20q16 + 16q14 + 11q12−21q10 + 6q8 + 14q6−12q4−2q2 + 8−2q−2−2q−4 + q−6
3	q111−2q109−q107 + 2q105 + 3q103−3q101−3q99 + 8q97−q95−13q93 + q91 + 27q89−6q87−45q85 + 4q83 + 69q81 + 2q79−88q77−21q75 + 106q73 + 43q71−106q69−63q67 + 83q65 + 87q63−55q61−88q59 + 12q57 + 86q55 + 23q53−68q51−60q49 + 51q47 + 81q45−31q43−101q41 + 6q39 + 109q37 + 18q35−110q33−45q31 + 105q29 + 68q27−81q25−90q23 + 56q21 + 97q19−21q17−88q15−7q13 + 71q11 + 29q9−47q7−33q5 + 21q3 + 29q−4q−1−19q−3−2q−5 + 8q−7 + 3q−9−2q−11−2q−13 + q−15
4	q180−2q178−q176 + 2q174 + 6q170−6q168−2q166 + 3q164−10q162 + 12q160−6q158 + 12q156 + 13q154−43q152−7q150−4q148 + 71q146 + 65q144−107q142−104q140−41q138 + 196q136 + 227q134−152q132−308q130−204q128 + 316q126 + 519q124−45q122−500q120−523q118 + 241q116 + 772q114 + 266q112−440q110−779q108−87q106 + 687q104 + 551q102−71q100−692q98−424q96 + 268q94 + 557q92 + 319q90−316q88−527q86−187q84 + 349q82 + 523q80 + 69q78−467q76−485q74 + 134q72 + 582q70 + 352q68−366q66−672q64−61q62 + 564q60 + 582q58−195q56−760q54−308q52 + 397q50 + 748q48 + 115q46−645q44−538q42 + 44q40 + 690q38 + 427q36−283q34−542q32−325q30 + 358q28 + 491q26 + 109q24−266q22−424q20−13q18 + 262q16 + 243q14 + 36q12−241q10−143q8 + 13q6 + 126q4 + 118q2−41−68q−2−53q−4 + 10q−6 + 53q−8 + 11q−10−4q−12−19q−14−9q−16 + 8q−18 + 3q−20 + 3q−22−2q−24−2q−26 + q−28
5	q265−2q263−q261 + 2q259 + 3q255 + 3q253−5q251−7q249−3q245 + 6q243 + 16q241 + 8q239−8q237−25q235−28q233−6q231 + 47q229 + 81q227 + 28q225−87q223−151q221−88q219 + 108q217 + 303q215 + 223q213−168q211−509q209−440q207 + 148q205 + 817q203 + 838q201−65q199−1195q197−1407q195−211q193 + 1572q191 + 2190q189 + 730q187−1806q185−3106q183−1576q181 + 1789q179 + 3974q177 + 2663q175−1325q173−4556q171−3897q169 + 436q167 + 4664q165 + 4936q163 + 794q161−4138q159−5525q157−2164q155 + 3048q153 + 5537q151 + 3261q149−1587q147−4837q145−3983q143 + 26q141 + 3737q139 + 4139q137 + 1286q135−2316q133−3875q131−2296q129 + 1003q127 + 3322q125 + 2898q123 + 149q121−2715q119−3268q117−994q115 + 2180q113 + 3488q111 + 1657q109−1799q107−3696q105−2184q103 + 1487q101 + 3935q99 + 2738q97−1166q95−4170q93−3343q91 + 707q89 + 4279q87 + 4013q85−11q83−4165q81−4642q79−907q77 + 3685q75 + 5042q73 + 2003q71−2793q69−5134q67−3037q65 + 1563q63 + 4686q61 + 3831q59−121q57−3787q55−4162q53−1207q51 + 2473q49 + 3923q47 + 2205q45−1027q43−3155q41−2666q39−251q37 + 2062q35 + 2544q33 + 1116q31−891q29−1975q27−1480q25−21q23 + 1199q21 + 1354q19 + 562q17−450q15−973q13−715q11−35q9 + 510q7 + 583q5 + 265q3−145q−363q−1−278q−3−37q−5 + 156q−7 + 184q−9 + 93q−11−28q−13−99q−15−73q−17−10q−19 + 33q−21 + 35q−23 + 20q−25−4q−27−19q−29−9q−31 + q−33 + 3q−35 + 3q−37 + 3q−39−2q−41−2q−43 + q−45

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q32 + q30−2q28−q26−q24−3q22 + 2q20 + 2q16 + 2q14−q12 + 3q10−2q8 + q6 + q4−q2 + 1
2,0	q80 + q78−q76−4q74−2q72 + 2q70−2q66 + 5q64 + 10q62−7q58 + 3q56 + 8q54−10q52−10q50 + 4q48 + 3q46−9q44−4q42 + 8q40−3q38−4q36 + 7q34 + 2q32−8q30 + 4q28 + 9q26−5q24−6q22 + 9q20 + 8q18−7q16−4q14 + 9q12 + 2q10−5q8−q6 + 3q4 + 2q2−2−q−2 + q−4

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q68−2q66 + 4q62−7q60−2q58 + 12q56−7q54−5q52 + 22q50−6q48−12q46 + 14q44−9q42−16q40 + 3q38 + q36−4q34−3q32 + 11q30 + 8q28−13q26 + 9q24 + 12q22−16q20 + 4q18 + 12q16−13q14 + 4q12 + 7q10−7q8 + 3q6 + 2q4−2q2 + 1
1,0,0	q43 + q41 + q39−2q37−q35−4q33−q31−3q29 + 3q27 + 3q23 + 2q21 + q19 + q17−q15 + 2q13−2q11 + 2q9−q7 + 2q5−q3 + q

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q68−2q66 + 4q64−6q62 + 9q60−12q58 + 16q56−19q54 + 19q52−20q50 + 14q48−10q46 + 9q42−20q40 + 29q38−35q36 + 40q34−39q32 + 37q30−28q28 + 21q26−9q24 + 10q20−16q18 + 20q16−21q14 + 20q12−17q10 + 13q8−9q6 + 6q4−2q2 + 1
1,0	q110−2q106−2q104 + 2q102 + 5q100−8q96−7q94 + 5q92 + 14q90 + 4q88−14q86−12q84 + 9q82 + 23q80 + 3q78−19q76−12q74 + 13q72 + 15q70−9q68−20q66−2q64 + 14q62 + 2q60−15q58−8q56 + 11q54 + 9q52−8q50−9q48 + 10q46 + 14q44−4q42−17q40 + q38 + 21q36 + 11q34−17q32−19q30 + 8q28 + 23q26 + 4q24−18q22−12q20 + 11q18 + 14q16−2q14−10q12−3q10 + 6q8 + 4q6−2q4−2q2 + q−2

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q162−2q160 + 4q158−6q156 + 4q154−3q152−4q150 + 12q148−18q146 + 25q144−24q142 + 17q140−19q136 + 43q134−58q132 + 62q130−53q128 + 24q126 + 19q124−62q122 + 98q120−102q118 + 79q116−33q114−31q112 + 75q110−98q108 + 78q106−31q104−31q102 + 66q100−68q98 + 24q96 + 39q94−100q92 + 120q90−93q88 + 18q86 + 76q84−150q82 + 184q80−149q78 + 68q76 + 34q74−116q72 + 160q70−143q68 + 84q66−3q64−64q62 + 99q60−81q58 + 29q56 + 38q54−84q52 + 89q50−52q48−18q46 + 89q44−129q42 + 125q40−73q38−4q36 + 76q34−115q32 + 116q30−79q28 + 25q26 + 22q24−54q22 + 58q20−43q18 + 24q16−2q14−9q12 + 12q10−10q8 + 6q6−2q4 + q2

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 78"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 7t2−16t + 21−16t−1 + 7t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6 + z4 + 3z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 69, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

1−3q−1 + 6q−2−8q−3 + 11q−4−11q−5 + 11q−6−9q−7 + 5q−8−3q−9 + q−10

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

a10−3z2a8−4a8 + 3z4a6 + 7z2a6 + 4a6−z6a4−3z4a4−3z2a4−a4 + z4a2 + 2z2a2 + a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a12−z2a12 + 3z5a11−4z3a11 + 2za11 + 4z6a10−3z4a10 + z2a10−a10 + 4z7a9−7z3a9 + 6za9 + 3z8a8 + 2z6a8−10z4a8 + 10z2a8−4a8 + z9a7 + 7z7a7−15z5a7 + 5z3a7 + 2za7 + 6z8a6−8z6a6−7z4a6 + 11z2a6−4a6 + z9a5 + 6z7a5−21z5a5 + 15z3a5−3za5 + 3z8a4−5z6a4−4z4a4 + 6z2a4−a4 + 3z7a3−9z5a3 + 7z3a3−za3 + z6a2−3z4a2 + 3z2a2−a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 78"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 7t2−16t + 21−16t−1 + 7t−2−t−3, 1−3q−1 + 6q−2−8q−3 + 11q−4−11q−5 + 11q−6−9q−7 + 5q−8−3q−9 + q−10 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n98, K11n105,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q2−3q + 11q−1−13q−2−10q−3 + 37q−4−21q−5−37q−6 + 69q−7−16q−8−73q−9 + 91q−10−q−11−100q−12 + 93q−13 + 16q−14−104q−15 + 75q−16 + 24q−17−79q−18 + 45q−19 + 18q−20−41q−21 + 20q−22 + 7q−23−14q−24 + 7q−25 + q−26−3q−27 + q−28
3	q6−3q5 + 5q3 + 6q2−13q−17 + 20q−1 + 39q−2−21q−3−71q−4 + 6q−5 + 115q−6 + 21q−7−149q−8−75q−9 + 182q−10 + 139q−11−190q−12−221q−13 + 191q−14 + 288q−15−153q−16−371q−17 + 126q−18 + 416q−19−62q−20−474q−21 + 19q−22 + 486q−23 + 50q−24−504q−25−92q−26 + 478q−27 + 141q−28−441q−29−166q−30 + 378q−31 + 174q−32−299q−33−170q−34 + 232q−35 + 131q−36−150q−37−107q−38 + 105q−39 + 64q−40−60q−41−40q−42 + 40q−43 + 15q−44−21q−45−7q−46 + 14q−47 + q−48−9q−49 + 2q−50 + 3q−51 + q−52−3q−53 + q−54
4	q12−3q11 + 5q9 + 6q7−20q6−10q5 + 20q4 + 15q3 + 48q2−63q−73 + 5q−1 + 42q−2 + 207q−3−55q−4−186q−5−151q−6−56q−7 + 484q−8 + 152q−9−167q−10−426q−11−467q−12 + 642q−13 + 527q−14 + 215q−15−559q−16−1150q−17 + 425q−18 + 786q−19 + 925q−20−296q−21−1796q−22−157q−23 + 679q−24 + 1685q−25 + 337q−26−2147q−27−862q−28 + 227q−29 + 2250q−30 + 1114q−31−2165q−32−1487q−33−384q−34 + 2556q−35 + 1832q−36−1935q−37−1935q−38−1003q−39 + 2574q−40 + 2368q−41−1481q−42−2109q−43−1539q−44 + 2234q−45 + 2579q−46−846q−47−1871q−48−1828q−49 + 1542q−50 + 2311q−51−225q−52−1249q−53−1692q−54 + 768q−55 + 1619q−56 + 114q−57−543q−58−1186q−59 + 237q−60 + 855q−61 + 137q−62−88q−63−622q−64 + 34q−65 + 335q−66 + 33q−67 + 68q−68−243q−69 + 3q−70 + 98q−71−30q−72 + 65q−73−71q−74 + 9q−75 + 23q−76−33q−77 + 29q−78−15q−79 + 8q−80 + 5q−81−15q−82 + 7q−83−2q−84 + 3q−85 + q−86−3q−87 + q−88
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6	q30−3q29 + 5q27−7q24 + 6q23−13q22−10q21 + 29q20 + 15q19 + 15q18−27q17 + 4q16−67q15−73q14 + 59q13 + 86q12 + 135q11 + 15q10 + 72q9−230q8−365q7−121q6 + 67q5 + 422q4 + 376q3 + 666q2−130q−844−955q−1−799q−2 + 100q−3 + 744q−4 + 2323q−5 + 1444q−6−63q−7−1674q−8−2939q−9−2571q−10−1234q−11 + 3406q−12 + 4632q−13 + 4209q−14 + 1127q−15−3451q−16−7082q−17−8074q−18−771q−19 + 5024q−20 + 10428q−21 + 9987q−22 + 3545q−23−7307q−24−16786q−25−12513q−26−4203q−27 + 10689q−28 + 20320q−29 + 19700q−30 + 4209q−31−17836q−32−25635q−33−23755q−34−2739q−35 + 21464q−36 + 37278q−37 + 27093q−38−3643q−39−28813q−40−44708q−41−28428q−42 + 6501q−43 + 44747q−44 + 51694q−45 + 23351q−46−16022q−47−55896q−48−56423q−49−21155q−50 + 37030q−51 + 67591q−52 + 53235q−53 + 8682q−54−53313q−55−77196q−56−51845q−57 + 18441q−58 + 71658q−59 + 77422q−60 + 36285q−61−41293q−62−88186q−63−77893q−64−3050q−65 + 67801q−66 + 93735q−67 + 60290q−68−26534q−69−92520q−70−97465q−71−22458q−72 + 61055q−73 + 104478q−74 + 79605q−75−12244q−76−93390q−77−112292q−78−39902q−79 + 52519q−80 + 111176q−81 + 95965q−82 + 3219q−83−89748q−84−122656q−85−57530q−86 + 38902q−87 + 110931q−88 + 108825q−89 + 22424q−90−76852q−91−124197q−92−73977q−93 + 17489q−94 + 98016q−95 + 112533q−96 + 42840q−97−52366q−98−110636q−99−82112q−100−7603q−101 + 71011q−102 + 100433q−103 + 55677q−104−22378q−105−81793q−106−74838q−107−25953q−108 + 38032q−109 + 73539q−110 + 53566q−111 + 1206q−112−47522q−113−53940q−114−30082q−115 + 11806q−116 + 42539q−117 + 38927q−118 + 11098q−119−20559q−120−29958q−121−22676q−122−1132q−123 + 19006q−124 + 21589q−125 + 10109q−126−6202q−127−12561q−128−12368q−129−3839q−130 + 6575q−131 + 9300q−132 + 5608q−133−1184q−134−3864q−135−5131q−136−2622q−137 + 1863q−138 + 3229q−139 + 2249q−140−160q−141−773q−142−1700q−143−1236q−144 + 513q−145 + 947q−146 + 724q−147−75q−148−10q−149−466q−150−507q−151 + 164q−152 + 240q−153 + 206q−154−56q−155 + 86q−156−105q−157−192q−158 + 53q−159 + 45q−160 + 57q−161−31q−162 + 56q−163−16q−164−64q−165 + 16q−166 + 16q−168−12q−169 + 20q−170 + q−171−17q−172 + 5q−173−3q−174 + 3q−175−2q−176 + 3q−177 + q−178−3q−179 + q−180