8 11

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 11"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X5,12,6,13 X3,11,4,10 X11,3,12,2 X9,16,10,1 X15,6,16,7 X7,14,8,15 X13,8,14,9

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -2, 6, -7, 8, -5, 3, -4, 2, -8, 7, -6, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 14 16 2 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[3212]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−2,1,−2,−2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{10, 5}, {1, 8}, {9, 6}, {5, 7}, {8, 10}, {4, 9}, {6, 3}, {2, 4}, {3, 1}, {7, 2}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_11.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q15−q13 + q11−2q9 + q5 + 2q−q−1 + q−3
2	q42−q40−q38 + 3q36−2q34−4q32 + 5q30−5q26 + 6q24 + 2q22−4q20 + q16−4q12 + 2q10 + 4q8−5q6 + q4 + 6q2−4−q−2 + 4q−4−q−6−q−8 + q−10
3	q81−q79−q77 + q75 + 2q73−2q71−5q69 + 2q67 + 8q65−11q61−2q59 + 14q57 + 8q55−15q53−11q51 + 12q49 + 14q47−13q45−15q43 + 8q41 + 13q39−q37−11q35 + 6q31 + 6q29−4q27−9q25−q23 + 14q21 + 3q19−16q17−6q15 + 16q13 + 10q11−14q9−12q7 + 11q5 + 14q3−7q−11q−1 + 2q−3 + 10q−5 + q−7−6q−9−q−11 + 3q−13 + q−15−q−17−q−19 + q−21
4	q132−q130−q128 + q126 + 2q122−4q120−3q118 + 4q116 + 3q114 + 8q112−8q110−13q108 + q106 + 9q104 + 25q102−5q100−28q98−20q96 + 3q94 + 49q92 + 19q90−28q88−47q86−23q84 + 56q82 + 47q80−7q78−54q76−47q74 + 43q72 + 53q70 + 12q68−39q66−49q64 + 15q62 + 36q60 + 22q58−16q56−33q54−7q52 + 17q50 + 24q48 + 6q46−15q44−31q42−5q40 + 30q38 + 29q36−2q34−52q32−25q30 + 32q28 + 51q26 + 18q24−60q22−43q20 + 16q18 + 54q16 + 40q14−43q12−48q10−11q8 + 35q6 + 49q4−13q2−29−23q−2 + 6q−4 + 32q−6 + 5q−8−6q−10−16q−12−6q−14 + 12q−16 + 3q−18 + 2q−20−4q−22−3q−24 + 3q−26 + q−30−q−32−q−34 + q−36
5	q195−q193−q191 + q189−2q181−2q179 + 4q177 + 6q175 + q173−4q171−9q169−8q167 + 4q165 + 18q163 + 18q161−q159−24q157−35q155−16q153 + 25q151 + 58q149 + 43q147−15q145−74q143−84q141−17q139 + 82q137 + 126q135 + 65q133−65q131−161q129−120q127 + 33q125 + 172q123 + 175q121 + 18q119−170q117−209q115−64q113 + 138q111 + 220q109 + 109q107−107q105−212q103−124q101 + 62q99 + 182q97 + 130q95−23q93−146q91−124q89 + 3q87 + 103q85 + 101q83 + 25q81−67q79−93q77−33q75 + 37q73 + 71q71 + 61q69−5q67−69q65−76q63−24q61 + 61q59 + 107q57 + 56q55−63q53−136q51−92q49 + 49q47 + 164q45 + 130q43−34q41−179q39−170q37 + 5q35 + 181q33 + 199q31 + 37q29−161q27−211q25−79q23 + 118q21 + 208q19 + 115q17−67q15−176q13−131q11 + 9q9 + 131q7 + 134q5 + 28q3−77q−106q−1−52q−3 + 28q−5 + 76q−7 + 55q−9−q−11−40q−13−43q−15−13q−17 + 16q−19 + 27q−21 + 16q−23−5q−25−13q−27−9q−29 + 3q−33 + 5q−35 + 2q−37−3q−39−q−41 + q−43 + q−49−q−51−q−53 + q−55

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q22 + q16−2q14−q12−q10 + 2q6 + 2q2 + q−4
1,1	q60−2q58 + 4q56−8q54 + 15q52−20q50 + 26q48−38q46 + 43q44−44q42 + 40q40−34q38 + 20q36 + 4q34−26q32 + 50q30−66q28 + 84q26−88q24 + 86q22−79q20 + 56q18−38q16 + 14q14 + 6q12−26q10 + 42q8−44q6 + 44q4−40q2 + 36−22q−2 + 17q−4−10q−6 + 6q−8−2q−10 + q−12
2,0	q56 + q48−q46−4q44−q42 + 2q40−3q36 + 2q34 + 5q32 + 3q30−q28 + 2q26−4q22−q20−q18−2q16−q14 + 3q12−2q8 + q6 + 4q4−q2−2 + 3q−2 + 3q−4−q−8 + q−12

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q48−q46 + q42−4q40 + 4q36−3q34 + 2q32 + 7q30−2q28 + q24−3q22−4q20−3q18 + q16−q14−2q12 + 5q10 + 2q8−4q6 + 5q4 + 2q2−2 + 3q−2 + q−4−q−6 + q−8
1,0,0	q29 + q25 + q21−2q19−q17−2q15−q13 + q9 + 2q7 + 2q3 + q−1 + q−5

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q62−q58 + q56 + q54−3q52−3q50 + q48 + q46−3q44 + 7q40 + 4q38 + q36 + 5q34 + 4q32−4q30−4q28−3q26−6q24−7q22−q20 + 2q18−3q16 + q14 + 6q12 + 2q10−2q8 + 3q6 + 4q4 + q2 + 2q−2 + 2q−4 + q−10
1,0,0,0	q36 + q32 + q30 + q26−2q24−q22−2q20−2q18−q16 + q12 + q10 + 2q8 + 2q4 + 1 + q−2 + q−6

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q48−q46 + 2q44−3q42 + 4q40−4q38 + 4q36−3q34 + 2q32−q30−2q28 + 4q26−7q24 + 7q22−8q20 + 7q18−7q16 + 5q14−2q12 + q10 + 2q8−2q6 + 5q4−4q2 + 4−3q−2 + 3q−4−q−6 + q−8
1,0	q78−q74−q72 + q70 + 2q68−q66−4q64−2q62 + 3q60 + 4q58−q56−4q54 + 5q50 + 4q48−2q46−2q44 + 2q42 + 3q40−2q38−4q36−q34 + 2q32−q30−4q28−2q26 + 2q24 + 2q22−2q20−2q18 + 2q16 + 5q14−4q10−2q8 + 5q6 + 4q4−q2−3 + 3q−4 + 2q−6−q−8−q−10 + q−14

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q66−q64 + q62−2q60 + 2q58−4q56 + 2q54−3q52 + 4q50−2q48 + 3q46 + q44 + 4q42 + 3q40−2q38 + 3q36−5q34 + 4q32−9q30 + 2q28−9q26 + 4q24−5q22 + 3q20−3q18 + 3q16 + 2q14 + q12 + 2q10−2q8 + 5q6−2q4 + 4q2−2 + 4q−2−q−4 + 2q−6−q−8 + q−10

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q114−q112 + 2q110−3q108 + q106−q104−3q102 + 7q100−8q98 + 8q96−6q94 + 2q92 + 7q90−13q88 + 16q86−13q84 + 7q82 + 3q80−10q78 + 13q76−9q74 + 8q72 + 4q70−10q68 + 7q66−2q64−8q62 + 14q60−18q58 + 10q56−3q54−9q52 + 18q50−25q48 + 19q46−14q44−q42 + 11q40−17q38 + 16q36−9q34 + 4q32 + 6q30−9q28 + 7q26−7q22 + 14q20−11q18 + 5q16 + 6q14−11q12 + 17q10−14q8 + 9q6−2q4−7q2 + 10−9q−2 + 8q−4−3q−6 + q−8 + 2q−10−3q−12 + 3q−14−q−16 + q−18

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 11"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−2t2 + 7t−9 + 7t−1−2t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−2z4−z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 27, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−2 + 4q−1−4q−2 + 5q−3−5q−4 + 3q−5−2q−6 + q−7

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a6 + a6−z4a4−2z2a4−2a4−z4a2−z2a2 + a2 + z2 + 1

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a8−2z2a8 + 2z5a7−4z3a7 + 2za7 + 2z6a6−3z4a6 + 2z2a6−a6 + z7a5 + z5a5−3z3a5 + 3za5 + 4z6a4−7z4a4 + 6z2a4−2a4 + z7a3 + z5a3−2z3a3 + za3 + 2z6a2−2z4a2−a2 + 2z5a−3z3a + z4−2z2 + 1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 11"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −2t2 + 7t−9 + 7t−1−2t−2, q−2 + 4q−1−4q−2 + 5q−3−5q−4 + 3q−5−2q−6 + q−7 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_147, K11n122,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q4−2q3 + 6q−7−3q−1 + 16q−2−12q−3−9q−4 + 25q−5−14q−6−15q−7 + 29q−8−13q−9−16q−10 + 25q−11−7q−12−12q−13 + 14q−14−2q−15−7q−16 + 5q−17−2q−19 + q−20
3	q9−2q8 + 2q6 + 3q5−6q4−5q3 + 9q2 + 12q−14−18q−1 + 13q−2 + 33q−3−17q−4−41q−5 + 11q−6 + 57q−7−11q−8−63q−9 + q−10 + 76q−11−78q−13−7q−14 + 81q−15 + 10q−16−78q−17−13q−18 + 70q−19 + 20q−20−64q−21−18q−22 + 47q−23 + 22q−24−37q−25−20q−26 + 24q−27 + 18q−28−14q−29−14q−30 + 8q−31 + 9q−32−3q−33−6q−34 + 2q−35 + 2q−36−2q−38 + q−39
4	q16−2q15 + 2q13−q12 + 4q11−8q10−q9 + 8q8 + 13q6−26q5−11q4 + 18q3 + 11q2 + 40q−52−40q−1 + 12q−2 + 27q−3 + 102q−4−66q−5−86q−6−25q−7 + 32q−8 + 185q−9−52q−10−124q−11−84q−12 + 15q−13 + 263q−14−19q−15−143q−16−141q−17−12q−18 + 313q−19 + 12q−20−142q−21−176q−22−38q−23 + 329q−24 + 33q−25−124q−26−183q−27−62q−28 + 303q−29 + 50q−30−86q−31−169q−32−83q−33 + 239q−34 + 60q−35−35q−36−128q−37−93q−38 + 149q−39 + 53q−40 + 12q−41−74q−42−84q−43 + 70q−44 + 29q−45 + 31q−46−27q−47−54q−48 + 24q−49 + 6q−50 + 23q−51−4q−52−24q−53 + 8q−54−2q−55 + 9q−56 + q−57−8q−58 + 3q−59−q−60 + 2q−61−2q−63 + q−64
5	q25−2q24 + 2q22−q21 + 2q19−4q18−2q17 + 7q16 + 2q15−2q14−q13−13q12−6q11 + 15q10 + 23q9 + 9q8−12q7−42q6−36q5 + 18q4 + 62q3 + 65q2 + 9q−90−116q−1−36q−2 + 91q−3 + 170q−4 + 115q−5−93q−6−238q−7−176q−8 + 46q−9 + 279q−10 + 297q−11−328q−13−373q−14−86q−15 + 329q−16 + 495q−17 + 162q−18−346q−19−549q−20−261q−21 + 320q−22 + 640q−23 + 326q−24−312q−25−664q−26−402q−27 + 276q−28 + 713q−29 + 445q−30−261q−31−710q−32−487q−33 + 224q−34 + 720q−35 + 509q−36−195q−37−700q−38−521q−39 + 154q−40 + 660q−41 + 535q−42−103q−43−624q−44−519q−45 + 54q−46 + 533q−47 + 513q−48 + 20q−49−471q−50−467q−51−66q−52 + 347q−53 + 425q−54 + 125q−55−255q−56−356q−57−148q−58 + 145q−59 + 280q−60 + 164q−61−67q−62−199q−63−151q−64 + 6q−65 + 127q−66 + 123q−67 + 29q−68−69q−69−90q−70−38q−71 + 28q−72 + 56q−73 + 39q−74−10q−75−32q−76−23q−77−5q−78 + 15q−79 + 20q−80 + q−81−9q−82−4q−83−5q−84 + q−85 + 8q−86−4q−88 + q−89−q−91 + 2q−92−2q−94 + q−95
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