8 4

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 4"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X6271 X14,10,15,9 X10,3,11,4 X2,13,3,14 X12,5,13,6 X16,8,1,7 X4,11,5,12 X8,16,9,15

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

1, -4, 3, -7, 5, -1, 6, -8, 2, -3, 7, -5, 4, -2, 8, -6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

6 10 12 16 14 4 2 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[413]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,2,−1,2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{2, 10}, {1, 3}, {4, 2}, {3, 5}, {9, 4}, {10, 6}, {5, 7}, {6, 8}, {7, 9}, {8, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_4.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q11−q9 + q7−q−1 + q−3 + q−7
2	q30−q28 + 2q24−2q22 + q18−2q16 + q12−q8 + q6 + 2q4 + 2q−2−2q−6 + q−8−2q−12 + q−14 + q−16−q−18 + q−22
3	q57−q55 + q51−q47−q45 + q43−q41−q39 + 2q37 + q35−2q33−q31 + 3q29 + 2q27−q25−2q23−q21 + 2q19 + 2q17−3q13 + 3q9−3q5−q3 + 2q + q−1−q−3−q−5 + 2q−7 + 2q−9−2q−13 + q−15 + 3q−17 + q−19−3q−21−2q−23 + 2q−25 + 2q−27−q−29−3q−31 + 2q−35 + q−37−q−39−q−41 + q−45
4	q92−q90 + q86−q84 + q82−2q80−2q74 + 4q72−2q66−4q64 + 5q62 + 4q60 + 2q58−5q56−8q54 + 3q52 + 7q50 + 6q48−2q46−9q44−3q42 + 2q40 + 5q38 + 3q36−2q34−3q32−5q30 + 5q26 + 4q24−q22−6q20−3q18 + 3q16 + 6q14 + q12−4q10−2q8 + 4q6 + 6q4−q2−3−2q−2 + 3q−4 + 5q−6−2q−8−4q−10−5q−12 + 6q−16 + q−18−5q−22−4q−24 + 4q−26 + 4q−28 + 5q−30−2q−32−6q−34−2q−36 + q−38 + 7q−40 + 3q−42−3q−44−4q−46−4q−48 + 3q−50 + 4q−52 + 2q−54−q−56−5q−58−q−60 + q−62 + 2q−64 + 2q−66−q−68−q−70−q−72 + q−76
5	q135−q133 + q129−q127−q121−q119 + q115 + 2q113 + 2q111−q109−5q107−4q105 + 4q103 + 8q101 + 5q99−3q97−12q95−8q93 + 5q91 + 16q89 + 11q87−4q85−17q83−17q81−q79 + 18q77 + 20q75 + 4q73−14q71−21q69−11q67 + 7q65 + 19q63 + 14q61−q59−11q57−13q55−7q53 + 4q51 + 11q49 + 12q47 + 4q45−3q43−11q41−11q39 + 10q35 + 11q33 + 3q31−9q29−11q27−3q25 + 7q23 + 9q21 + 2q19−7q17−7q15 + 8q11 + 8q9−2q7−10q5−10q3 + q + 12q−1 + 12q−3−11q−7−13q−9−2q−11 + 11q−13 + 16q−15 + 7q−17−5q−19−13q−21−11q−23 + 2q−25 + 12q−27 + 11q−29 + 4q−31−7q−33−13q−35−10q−37 + q−39 + 9q−41 + 10q−43 + 6q−45−4q−47−11q−49−10q−51−q−53 + 7q−55 + 11q−57 + 8q−59−q−61−9q−63−10q−65−4q−67 + 4q−69 + 9q−71 + 8q−73 + q−75−5q−77−8q−79−5q−81 + q−83 + 5q−85 + 6q−87 + 3q−89−2q−91−5q−93−3q−95−q−97 + q−99 + 3q−101 + 2q−103−q−107−q−109−q−111 + q−115
6	q186−q184 + q180−q178−q174 + q172−2q170−q168 + 3q166 + 2q162 + q160−q158−7q156−3q154 + 6q152 + 5q150 + 7q148 + q146−7q144−16q142−5q140 + 13q138 + 15q136 + 13q134−4q132−21q130−28q128−6q126 + 24q124 + 30q122 + 22q120−6q118−35q116−42q114−15q112 + 26q110 + 43q108 + 38q106 + 8q104−32q102−52q100−35q98 + 5q96 + 37q94 + 49q92 + 31q90−5q88−38q86−44q84−23q82 + 3q80 + 28q78 + 35q76 + 24q74 + q72−19q70−25q68−24q66−10q64 + 9q62 + 26q60 + 25q58 + 12q56−8q54−25q52−25q50−11q48 + 13q46 + 22q44 + 18q42−16q38−17q36−7q34 + 12q32 + 16q30 + 7q28−9q26−16q24−9q22 + 5q20 + 22q18 + 20q16 + 2q14−19q12−24q10−15q8 + 6q6 + 28q4 + 30q2 + 10−18q−2−30q−4−28q−6−6q−8 + 24q−10 + 38q−12 + 24q−14−6q−16−27q−18−37q−20−23q−22 + 7q−24 + 34q−26 + 35q−28 + 13q−30−9q−32−31q−34−33q−36−15q−38 + 15q−40 + 32q−42 + 28q−44 + 17q−46−9q−48−27q−50−30q−52−12q−54 + 7q−56 + 19q−58 + 28q−60 + 16q−62−q−64−20q−66−23q−68−18q−70−7q−72 + 14q−74 + 21q−76 + 21q−78 + 7q−80−5q−82−18q−84−23q−86−11q−88 + q−90 + 15q−92 + 17q−94 + 17q−96 + 4q−98−11q−100−15q−102−15q−104−6q−106 + 2q−108 + 14q−110 + 14q−112 + 7q−114−7q−118−10q−120−11q−122−q−124 + 4q−126 + 7q−128 + 7q−130 + 4q−132−6q−136−4q−138−3q−140−q−142 + q−144 + 3q−146 + 3q−148−q−154−q−156−q−158 + q−162

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q16 + q10 + q6−q4−q2−1−q−2 + q−4 + q−6 + q−8 + q−10
1,1	q44−2q42 + 2q40−2q38 + 5q36−4q34 + 4q32−4q30 + 5q28−4q26 + 2q24−4q22 + 2q20−2q18−2q16 + 2q14−6q12 + 10q10−10q8 + 16q6−10q4 + 16q2−8 + 8q−2−7q−4−6q−10 + 5q−12−8q−14 + 10q−16−8q−18 + 6q−20−4q−22 + 4q−24 + q−28
2,0	q40 + q34 + q32−q28−q24−3q22 + q18−q14 + 2q6 + 3q4 + 3q2 + 2 + 3q−2−2q−6−2q−8−2q−10−2q−12−2q−14 + q−18 + q−20 + q−24 + q−26 + q−28
3,0	q72 + q66 + q64 + q62−2q60−q58−q54−2q52−3q50 + q48 + 3q46−4q42−4q40 + 3q38 + 6q36 + 4q34−q32 + 3q28 + 3q26 + q24−2q22 + q18−q14−2q8−5q6−3q4−q2−1−3q−2−3q−4 + 2q−6 + 5q−8 + 6q−10 + 2q−12 + 3q−14 + 5q−16 + 6q−18 + 3q−20−2q−22−4q−24−3q−26−q−28−2q−32−3q−34−2q−36 + 2q−40 + q−42−q−46 + q−50 + q−52 + q−54

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q36−q34−q32 + 2q30−q26 + 2q24−q20 + q18 + q16 + q12 + q10−2q6−q4 + q2−2 + q−4−q−6 + q−10 + q−14 + 2q−16 + q−20
1,0,0	q21 + q17 + q13 + q9−q5−q3−2q−q−1−q−3 + q−5 + q−7 + 2q−9 + q−11 + q−13

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q46−q42 + q38 + q36 + q32 + 2q30−q26−2q20 + q10 + 2q8 + 2q4 + 3q2 + 1−2q−2−q−4−2q−6−4q−8−3q−10−q−12 + q−14 + q−16 + 3q−18 + 3q−20 + 2q−22 + q−24 + q−26
1,0,0,0	q26 + q22 + q20 + q16 + q12−q6−q4−2q2−2−q−2−q−4 + q−6 + q−8 + 2q−10 + 2q−12 + q−14 + q−16

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q36−q34 + q32−2q30 + 2q28−q26 + 2q24 + q20 + q18−q16 + 2q14−3q12 + 3q10−4q8 + 2q6−3q4 + q2−2 + q−4−q−6 + 2q−8−q−10 + 2q−12−q−14 + 2q−16 + q−20
1,0	q58−q54−q52 + 2q48 + q46−q44−q42 + 2q38−q34−q32 + q30 + q28−q24 + 2q20 + q18−q16−q14 + q12−q8−q6 + q4 + q2−2q−2 + 2q−6 + q−8−q−10−2q−12 + q−16 + q−18−q−20−q−22 + q−24 + 2q−26 + q−34

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q50−q48−q44 + 2q42−q40 + q38−q36 + 2q34 + q30 + q24 + 2q20−q18 + 3q16−2q14 + 3q12−3q10 + q8−3q6−3q2−q−2−q−4−q−8 + 2q−10 + 2q−14 + 3q−18 + 2q−22 + q−26

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q86−q84 + q82−q80−q74 + 3q72−2q70 + 2q68−2q66 + q62−2q60 + 3q58−2q56 + q54 + q50 + 2q48−q46 + 2q44 + 2q38−q36 + q34 + 2q32−2q30 + 3q28−3q26 + 2q22−6q20 + 5q18−5q16 + 2q12−4q10 + 3q8−4q6 + q4−q2−2 + q−2−2q−4 + q−6 + 2q−8−2q−10 + q−12−q−14 + q−16 + 3q−18−4q−20 + 4q−22−2q−24 + q−26 + 4q−28−4q−30 + 4q−32−q−34 + q−36 + q−38−2q−40 + 2q−42 + q−46

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 4"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−2t2 + 5t−5 + 5t−1−2t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−2z4−3z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 19, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q3−q2 + 2q−3 + 3q−1−3q−2 + 3q−3−2q−4 + q−5

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a4 + a4−z4a2−2z2a2−z4−3z2−2 + z2a−2 + 2a−2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az7 + z7a−1 + 2a2z6 + z6a−2 + 3z6 + 3a3z5−az5−4z5a−1 + 3a4z4−3a2z4−5z4a−2−11z4 + 2a5z3−5a3z3−3az3 + 4z3a−1 + a6z2−3a4z2−a2z2 + 7z2a−2 + 10z2 + 2a3z + az−za−1 + a4−2a−2−2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 4"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −2t2 + 5t−5 + 5t−1−2t−2, q3−q2 + 2q−3 + 3q−1−3q−2 + 3q−3−2q−4 + q−5 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q10−q9−q8 + 3q7−q6−4q5 + 5q4−7q2 + 7q + 2−9q−1 + 7q−2 + 4q−3−10q−4 + 5q−5 + 5q−6−9q−7 + 4q−8 + 3q−9−6q−10 + 3q−11 + q−12−2q−13 + q−14
3	q21−q20−q19 + 3q17−3q15−3q14 + 5q13 + 3q12−3q11−7q10 + 4q9 + 7q8−q7−9q6 + q5 + 9q4 + q3−9q2−2q + 9 + 3q−1−8q−2−5q−3 + 7q−4 + 6q−5−5q−6−8q−7 + 4q−8 + 9q−9−3q−10−8q−11 + q−12 + 8q−13−2q−14−5q−15 + 2q−16 + 4q−17−3q−18−2q−19 + 3q−20 + q−21−3q−22 + q−24 + q−25−2q−26 + q−27
4	q36−q35−q34 + 4q31−q30−2q29−2q28−4q27 + 8q26 + 2q25−3q23−11q22 + 8q21 + 3q20 + 6q19 + q18−17q17 + 5q16−q15 + 10q14 + 8q13−18q12 + 5q11−9q10 + 9q9 + 13q8−17q7 + 10q6−15q5 + 4q4 + 14q3−15q2 + 17q−17−q−1 + 13q−2−13q−3 + 24q−4−19q−5−7q−6 + 11q−7−8q−8 + 29q−9−22q−10−13q−11 + 8q−12−3q−13 + 34q−14−21q−15−18q−16 + 3q−17−q−18 + 35q−19−16q−20−16q−21−6q−23 + 29q−24−9q−25−8q−26 + q−27−10q−28 + 18q−29−6q−30−q−31 + 3q−32−9q−33 + 9q−34−4q−35 + q−36 + 3q−37−5q−38 + 3q−39−2q−40 + q−41 + q−42−2q−43 + q−44
5	q55−q54−q53 + q50 + 3q49−3q47−2q46−2q45−q44 + 6q43 + 5q42−3q40−6q39−7q38 + 3q37 + 8q36 + 6q35 + 4q34−5q33−12q32−5q31 + 2q30 + 7q29 + 12q28 + 4q27−9q26−9q25−6q24−2q23 + 11q22 + 11q21 + q20−5q19−7q18−10q17 + 8q15 + 7q14 + 6q13−9q11−10q10−5q9 + 5q8 + 14q7 + 12q6−15q4−18q3−6q2 + 16q + 23 + 12q−1−15q−2−29q−3−17q−4 + 16q−5 + 31q−6 + 22q−7−15q−8−37q−9−24q−10 + 16q−11 + 40q−12 + 29q−13−17q−14−47q−15−32q−16 + 18q−17 + 52q−18 + 37q−19−18q−20−57q−21−43q−22 + 18q−23 + 60q−24 + 44q−25−10q−26−58q−27−50q−28 + 7q−29 + 54q−30 + 46q−31−43q−33−45q−34−5q−35 + 36q−36 + 36q−37 + 7q−38−25q−39−29q−40−7q−41 + 17q−42 + 20q−43 + 7q−44−12q−45−14q−46−2q−47 + 6q−48 + 7q−49 + 3q−50−3q−51−6q−52 + q−53 + 2q−54−q−55 + 2q−56 + q−57−3q−58 + q−59 + q−60−2q−61 + q−62 + q−63−2q−64 + q−65
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