8 6

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 6"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X9,12,10,13 X3,11,4,10 X11,3,12,2 X5,14,6,15 X7,16,8,1 X15,6,16,7 X13,8,14,9

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -5, 7, -6, 8, -2, 3, -4, 2, -8, 5, -7, 6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 14 16 12 2 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[332]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,−1,−2,1,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{10, 3}, {4, 2}, {3, 9}, {1, 4}, {8, 10}, {9, 5}, {2, 6}, {5, 7}, {6, 8}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 8_6.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q15−q13 + q11−q9−q3 + 2q + q−3
2	q42−q40−q38 + 3q36−q34−4q32 + 3q30 + q28−4q26 + 3q24 + 2q22−2q20 + q16 + q14−3q12 + q10 + 4q8−4q6−q4 + 4q2−2−q−2 + 2q−4 + q−10
3	q81−q79−q77 + q75 + 2q73−q71−5q69 + 7q65 + 3q63−7q61−7q59 + 6q57 + 10q55−5q53−10q51 + 3q49 + 12q47−q45−10q43−q41 + 7q39 + q37−5q35−3q33 + q31 + 5q29 + q27−6q25−4q23 + 8q21 + 7q19−7q17−10q15 + 8q13 + 10q11−3q9−10q7 + q5 + 9q3 + q−5q−1−2q−3 + 3q−5 + q−7−q−9−q−11 + q−13 + q−21
4	q132−q130−q128 + q126 + 2q122−3q120−3q118 + 2q116 + 2q114 + 9q112−3q110−11q108−6q106−q104 + 20q102 + 10q100−7q98−19q96−19q94 + 20q92 + 26q90 + 9q88−21q86−36q84 + 6q82 + 28q80 + 24q78−11q76−39q74−5q72 + 20q70 + 25q68−q66−26q64−9q62 + 8q60 + 17q58 + 5q56−10q54−10q52−2q50 + 9q48 + 12q46 + 5q44−16q42−15q40 + 3q38 + 19q36 + 19q34−20q32−28q30−8q28 + 24q26 + 36q24−13q22−30q20−19q18 + 14q16 + 38q14 + 4q12−16q10−23q8−4q6 + 23q4 + 10q2−12q−2−9q−4 + 6q−6 + 4q−8 + 5q−10−2q−12−4q−14 + q−16−q−18 + 2q−20−q−24 + q−26−q−28 + q−36
5	q195−q193−q191 + q189−q181−2q179 + 2q177 + 5q175 + 2q173−q171−6q169−9q167−5q165 + 8q163 + 17q161 + 13q159−20q155−28q153−17q151 + 16q149 + 42q147 + 37q145 + 3q143−45q141−63q139−29q137 + 37q135 + 81q133 + 58q131−18q129−87q127−86q125−11q123 + 82q121 + 106q119 + 33q117−65q115−108q113−54q111 + 47q109 + 105q107 + 63q105−30q103−86q101−64q99 + 13q97 + 69q95 + 56q93−2q91−50q89−47q87−6q85 + 30q83 + 38q81 + 12q79−18q77−30q75−21q73 + 4q71 + 28q69 + 32q67 + 8q65−27q63−44q61−23q59 + 29q57 + 61q55 + 40q53−24q51−78q49−61q47 + 20q45 + 90q43 + 80q41−93q37−105q35−14q33 + 81q31 + 106q29 + 41q27−59q25−106q23−60q21 + 32q19 + 85q17 + 68q15−58q11−64q9−19q7 + 34q5 + 49q3 + 28q−7q−1−31q−3−26q−5−4q−7 + 14q−9 + 18q−11 + 10q−13−5q−15−10q−17−7q−19−2q−21 + 5q−23 + 6q−25 + q−27−q−29−q−31−3q−33 + 2q−37 + q−43−q−45−q−47 + q−55

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q22 + q16−q14−q10−q8−q4 + 2q2 + 1 + q−2 + q−4
1,1	q60−2q58 + 4q56−8q54 + 13q52−16q50 + 22q48−26q46 + 25q44−24q42 + 16q40−8q38−5q36 + 18q34−30q32 + 40q30−46q28 + 50q26−44q24 + 42q22−28q20 + 18q18−4q16−8q14 + 15q12−24q10 + 22q8−24q6 + 18q4−16q2 + 12−6q−2 + 8q−4−2q−6 + 4q−8 + q−12
2,0	q56 + q48−3q44−q42 + q40−2q36 + 2q32−q28 + 2q26 + 2q24 + 2q20 + 2q18−q16 + q12−q10−4q8−2q6 + q4−2q2−1 + 2q−2 + 3q−4 + q−6 + q−8 + q−10 + q−12
3,0	q102 + q92−2q90−2q88−3q86 + q84 + 5q82 + 2q80−2q78−7q76−q74 + 6q72 + 5q70−2q68−8q66 + 10q62 + 8q60−q58−7q56 + 6q52 + q50−7q48−7q46 + q42−3q40−4q38 + q36 + 3q34−2q32−2q30 + 2q28 + 7q26 + 3q24−6q22−q20 + 7q18 + 12q16 + q14−8q12−2q10 + 6q8 + 7q6−5q4−10q2−5 + 2q−2 + 3q−4−q−6−3q−8 + 2q−12 + 3q−14 + q−16 + q−18 + q−20 + q−22 + q−24

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q48−q46 + q42−3q40 + q38 + 3q36−3q34 + q32 + 3q30−2q28 + 2q24 + q22 + q16−2q14−5q12 + q10−2q8−4q6 + 4q4 + 2q2 + 1 + 3q−2 + 2q−4 + q−8
1,0,0	q29 + q25 + q21−q19−q15−q13−q11−q9−q5 + 2q3 + q + 2q−1 + q−3 + q−5

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q62−q58 + q56 + q54−2q52−q50 + 2q48 + q46−3q44−q42 + 2q40−q38−2q36 + 3q34 + 3q32 + 4q28 + 4q26 + q24−q22 + q20−2q18−7q16−5q14−2q12−4q10−4q8 + 2q6 + 3q4 + 3q2 + 3 + 4q−2 + 3q−4 + 2q−6 + q−8 + q−10
1,0,0,0	q36 + q32 + q30 + q26−q24−q20−q18−q16−q14−q12−q10−q6 + 2q4 + q2 + 2 + 2q−2 + q−4 + q−6

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q48−q46 + 2q44−3q42 + 3q40−3q38 + 3q36−q34 + q32 + q30−2q28 + 4q26−6q24 + 5q22−6q20 + 4q18−5q16 + 2q14−q12−q10 + 2q8−2q6 + 4q4−2q2 + 3−q−2 + 2q−4 + q−8
1,0	q78−q74−q72 + q70 + 2q68−q66−3q64−q62 + 3q60 + 3q58−2q56−3q54 + 3q50 + q48−2q46−q44 + 2q42 + 2q40−q38−q36 + q34 + 3q32−2q28−q26 + 2q24−3q20−3q18 + q16 + 2q14−2q12−4q10−q8 + 4q6 + 2q4−1 + q−2 + 2q−4 + 2q−6 + q−14

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q66−q64 + q62−2q60 + 2q58−3q56 + 2q54−2q52 + 3q50−q48 + q46 + q44 + q42 + 2q40−3q38 + 3q36−3q34 + 5q32−4q30 + 4q28−4q26 + 4q24−3q22−4q18−2q16−q14−3q12−3q8 + 4q6 + 4q2 + 1 + 4q−2 + q−4 + 2q−6 + q−10

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q114−q112 + 2q110−3q108 + q106−3q102 + 6q100−7q98 + 7q96−4q94−2q92 + 7q90−9q88 + 11q86−6q84 + q82 + 5q80−7q78 + 7q76−2q74−3q72 + 6q70−5q68 + 2q66 + 4q64−9q62 + 12q60−10q58 + 5q56 + q54−10q52 + 13q50−13q48 + 10q46−5q44−3q42 + 7q40−10q38 + 6q36−3q34−4q32 + 5q30−5q28−q26 + 6q24−8q22 + 8q20−6q18−q16 + 6q14−8q12 + 10q10−5q8 + 3q6 + 2q4−2q2 + 4−3q−2 + 4q−4−q−6 + q−8 + q−10−q−12 + 2q−14 + q−18

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 6"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−2t2 + 6t−7 + 6t−1−2t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−2z4−2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 23, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−1 + 3q−1−4q−2 + 4q−3−4q−4 + 3q−5−2q−6 + q−7

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a6 + a6−z4a4−2z2a4−a4−z4a2−2z2a2−a2 + z2 + 2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a8−2z2a8 + 2z5a7−4z3a7 + za7 + 2z6a6−4z4a6 + 3z2a6−a6 + z7a5−z5a5 + 2z3a5−za5 + 3z6a4−6z4a4 + 6z2a4−a4 + z7a3−2z5a3 + 5z3a3−3za3 + z6a2−2z2a2 + a2 + z5a−z3a−za + z4−3z2 + 2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["8 6"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −2t2 + 6t−7 + 6t−1−2t−2, q−1 + 3q−1−4q−2 + 4q−3−4q−4 + 3q−5−2q−6 + q−7 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n20, K11n151, K11n152,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q4−q3 + 3q−4−q−1 + 9q−2−9q−3−4q−4 + 17q−5−12q−6−8q−7 + 21q−8−12q−9−9q−10 + 19q−11−8q−12−8q−13 + 12q−14−3q−15−6q−16 + 5q−17−2q−19 + q−20
3	q9−q8 + 2q5−3q4 + 2q2 + 4q−8−3q−1 + 8q−2 + 12q−3−16q−4−14q−5 + 15q−6 + 25q−7−18q−8−32q−9 + 18q−10 + 39q−11−17q−12−44q−13 + 16q−14 + 46q−15−13q−16−48q−17 + 12q−18 + 44q−19−7q−20−42q−21 + 4q−22 + 35q−23 + 2q−24−29q−25−5q−26 + 22q−27 + 7q−28−14q−29−9q−30 + 9q−31 + 7q−32−4q−33−5q−34 + 2q−35 + 2q−36−2q−38 + q−39
4	q16−q15−q12 + 3q11−3q10 + q9 + 2q8−4q7 + 5q6−8q5 + 3q4 + 9q3−5q2 + 7q−23 + 21q−2 + 5q−3 + 20q−4−50q−5−19q−6 + 28q−7 + 25q−8 + 54q−9−74q−10−52q−11 + 17q−12 + 42q−13 + 103q−14−86q−15−84q−16−3q−17 + 50q−18 + 142q−19−86q−20−100q−21−21q−22 + 49q−23 + 163q−24−79q−25−103q−26−32q−27 + 41q−28 + 163q−29−64q−30−91q−31−41q−32 + 24q−33 + 146q−34−39q−35−65q−36−46q−37−q−38 + 112q−39−11q−40−30q−41−42q−42−23q−43 + 70q−44 + 4q−45−25q−47−29q−48 + 31q−49 + 4q−50 + 12q−51−8q−52−19q−53 + 10q−54−q−55 + 7q−56−7q−58 + 3q−59−q−60 + 2q−61−2q−63 + q−64
5	q25−q24−q21 + 3q19−2q18 + 2q16−3q15−3q14 + 5q13−2q12 + 2q11 + 7q10−4q9−10q8−5q6 + 7q5 + 22q4 + 4q3−14q2−18q−27 + 2q−1 + 46q−2 + 39q−3 + 7q−4−33q−5−80q−6−43q−7 + 52q−8 + 97q−9 + 75q−10−16q−11−133q−12−135q−13 + 6q−14 + 144q−15 + 175q−16 + 49q−17−158q−18−230q−19−85q−20 + 156q−21 + 268q−22 + 129q−23−148q−24−300q−25−166q−26 + 139q−27 + 322q−28 + 193q−29−127q−30−332q−31−218q−32 + 118q−33 + 339q−34 + 228q−35−103q−36−336q−37−242q−38 + 93q−39 + 330q−40 + 240q−41−73q−42−310q−43−250q−44 + 57q−45 + 289q−46 + 237q−47−25q−48−252q−49−237q−50 + q−51 + 212q−52 + 215q−53 + 31q−54−159q−55−195q−56−57q−57 + 111q−58 + 161q−59 + 74q−60−61q−61−122q−62−81q−63 + 18q−64 + 86q−65 + 73q−66 + 8q−67−46q−68−58q−69−26q−70 + 20q−71 + 39q−72 + 26q−73 + 2q−74−24q−75−21q−76−6q−77 + 6q−78 + 15q−79 + 10q−80−4q−81−8q−82−2q−83−3q−84 + 2q−85 + 6q−86−q−87−3q−88 + q−89−q−91 + 2q−92−2q−94 + q−95
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