9 18

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 18"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,12,4,13 X5,14,6,15 X9,18,10,1 X17,6,18,7 X7,16,8,17 X15,8,16,9 X13,10,14,11 X11,2,12,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 9, -2, 1, -3, 5, -6, 7, -4, 8, -9, 2, -8, 3, -7, 6, -5, 4

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 12 14 16 18 2 10 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[3222]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,−2,1,−2,−2,−2,−3,2,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 5}, {1, 9}, {8, 10}, {9, 11}, {10, 6}, {5, 7}, {4, 8}, {6, 3}, {2, 4}, {3, 1}, {7, 2}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_18.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q23 + q21−2q19 + 2q17−q15 + q11−q9 + 3q7−q5 + q3
2	q64−q62−q60 + 4q58−2q56−6q54 + 8q52 + q50−10q48 + 8q46 + 4q44−11q42 + 2q40 + 5q38−4q36−3q34 + 3q32 + 5q30−8q28−q26 + 11q24−8q22−4q20 + 11q18−3q16−3q14 + 5q12−q8 + q6
3	−q123 + q121 + q119−q117−3q115 + 2q113 + 7q111−q109−13q107−3q105 + 18q103 + 11q101−22q99−21q97 + 21q95 + 31q93−14q91−39q89 + 9q87 + 42q85 + q83−42q81−10q79 + 38q77 + 15q75−30q73−18q71 + 19q69 + 21q67−8q65−23q63−7q61 + 22q59 + 18q57−20q55−33q53 + 17q51 + 41q49−9q47−45q45 + 2q43 + 41q41 + 6q39−35q37−11q35 + 27q33 + 10q31−14q29−9q27 + 10q25 + 7q23−4q21−3q19 + 3q17 + 2q15−q11 + q9
4	q200−q198−q196 + q194 + 3q190−4q188−5q186 + 3q184 + 4q182 + 15q180−7q178−23q176−10q174 + 7q172 + 50q170 + 14q168−39q166−55q164−30q162 + 83q160 + 77q158−4q156−94q154−117q152 + 55q150 + 132q148 + 88q146−68q144−192q142−29q140 + 122q138 + 164q136 + 6q134−197q132−104q130 + 64q128 + 181q126 + 66q124−146q122−124q120 + 9q118 + 142q116 + 87q114−72q112−111q110−38q108 + 83q106 + 93q104 + 10q102−86q100−88q98 + 4q96 + 96q94 + 110q92−43q90−137q88−92q86 + 73q84 + 195q82 + 30q80−137q78−171q76 + 6q74 + 209q72 + 94q70−69q68−172q66−64q64 + 138q62 + 99q60 + 6q58−106q56−76q54 + 56q52 + 52q50 + 30q48−37q46−43q44 + 15q42 + 14q40 + 19q38−9q36−15q34 + 7q32 + 2q30 + 7q28−2q26−4q24 + 3q22 + 2q18−q14 + q12
5	−q295 + q293 + q291−q289−q283 + 2q281 + 4q279−3q277−7q275−4q273−q271 + 11q269 + 20q267 + 8q265−20q263−39q261−29q259 + 14q257 + 67q255 + 74q253 + 13q251−86q249−137q247−76q245 + 73q243 + 199q241 + 182q239−5q237−239q235−308q233−121q231 + 209q229 + 422q227 + 305q225−100q223−487q221−502q219−79q217 + 462q215 + 665q213 + 314q211−353q209−771q207−532q205 + 180q203 + 772q201 + 718q199 + 25q197−709q195−827q193−204q191 + 583q189 + 846q187 + 349q185−443q183−803q181−430q179 + 309q177 + 714q175 + 452q173−186q171−605q169−448q167 + 91q165 + 500q163 + 427q161−7q159−389q157−415q155−89q153 + 291q151 + 419q149 + 199q147−177q145−426q143−345q141 + 44q139 + 437q137 + 497q135 + 130q133−414q131−656q129−324q127 + 342q125 + 771q123 + 538q121−213q119−828q117−719q115 + 35q113 + 775q111 + 850q109 + 160q107−656q105−871q103−332q101 + 455q99 + 800q97 + 446q95−249q93−656q91−466q89 + 70q87 + 461q85 + 418q83 + 59q81−290q79−326q77−96q75 + 139q73 + 214q71 + 107q69−55q67−129q65−76q63 + 13q61 + 62q59 + 49q57−27q53−23q51−3q49 + 15q47 + 11q45−q43−6q41−q37 + 4q35 + 5q33−2q31−2q29 + 2q27 + 2q21−q17 + q15

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q34−2q28 + q26 + q20−q18 + 2q16 + q12 + 2q10−q8 + q6
1,1	q92−2q90 + 6q88−12q86 + 23q84−40q82 + 60q80−84q78 + 110q76−132q74 + 142q72−136q70 + 114q68−76q66 + 18q64 + 52q62−119q60 + 184q58−236q56 + 268q54−280q52 + 260q50−224q48 + 162q46−97q44 + 24q42 + 38q40−92q38 + 123q36−134q34 + 136q32−120q30 + 103q28−72q26 + 56q24−34q22 + 23q20−10q18 + 6q16−2q14 + q12
2,0	q86 + 2q78−4q74−q72 + 4q70 + 2q68−4q66−q64 + 5q62 + q60−7q58−2q56 + 2q54−3q52−3q50 + q48 + q46−3q44 + q42 + 3q40−4q38−q36 + 7q34 + 2q32−5q30 + 3q28 + 7q26 + q24−4q22 + 2q20 + 4q18−q16−q14 + q12

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q74−q72 + q70 + 2q68−4q66 + 2q64 + 4q62−8q60 + 3q58 + 5q56−10q54 + q52 + 5q50−6q48−2q46 + 2q44−3q40−2q38 + 7q36−2q34−5q32 + 10q30−6q26 + 9q24 + q22−3q20 + 4q18 + q16−q14 + q12
1,0,0	−q45−q41−2q37 + q35−q33 + q31 + q27 + 2q21 + 2q17 + 2q13−q11 + q9

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q96−q92 + 2q90 + 3q88−2q86−q84 + 5q82 + 3q80−6q78−4q76 + 4q74−3q72−10q70 + 4q66−5q64−3q62 + 4q60−q58−6q56 + q54 + 4q52−5q50−2q48 + 9q46 + 2q44−5q42 + 4q40 + 8q38−2q34 + 4q32 + 5q30−q28 + 3q24 + q22−q20 + q18
1,0,0,0	−q56−q52−q50−2q46 + q44−q42 + q38 + q34 + q30 + 2q26 + 2q22 + q20 + 2q16−q14 + q12

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q74 + q72−3q70 + 4q68−6q66 + 8q64−8q62 + 8q60−7q58 + 5q56−2q54−3q52 + 7q50−12q48 + 14q46−16q44 + 16q42−15q40 + 12q38−7q36 + 4q34 + q32−4q30 + 8q28−8q26 + 9q24−7q22 + 7q20−4q18 + 3q16−q14 + q12
1,0	q120−q116−q114 + 2q112 + 3q110−q108−5q106−2q104 + 6q102 + 6q100−4q98−9q96−q94 + 9q92 + 5q90−7q88−8q86 + 2q84 + 7q82−7q78−2q76 + 5q74 + 2q72−6q70−4q68 + 4q66 + 5q64−3q62−6q60 + 2q58 + 7q56 + q54−8q52−3q50 + 8q48 + 8q46−4q44−8q42 + 9q38 + 5q36−3q34−5q32 + q30 + 4q28 + 2q26−q24−q22 + q18

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q102−q100 + 2q98−2q96 + 4q94−5q92 + 5q90−6q88 + 7q86−7q84 + 5q82−5q80 + 4q78−3q76−3q74 + 2q72−5q70 + 7q68−12q66 + 10q64−12q62 + 13q60−13q58 + 9q56−10q54 + 9q52−4q50 + 3q48−q46 + 7q42−4q40 + 6q38−6q36 + 9q34−4q32 + 6q30−4q28 + 5q26−q24 + 2q22−q20 + q18

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q176−q174 + 3q172−4q170 + 3q168−2q166−2q164 + 10q162−15q160 + 18q158−15q156 + 5q154 + 9q152−26q150 + 36q148−37q146 + 23q144−2q142−24q140 + 37q138−38q136 + 27q134−6q132−16q130 + 24q128−23q126 + 5q124 + 16q122−29q120 + 31q118−16q116−7q114 + 34q112−51q110 + 54q108−40q106 + 9q104 + 23q102−48q100 + 58q98−47q96 + 23q94 + 4q92−26q90 + 32q88−25q86 + 4q84 + 16q82−23q80 + 20q78−2q76−18q74 + 35q72−36q70 + 29q68−12q66−11q64 + 29q62−34q60 + 33q58−18q56 + 6q54 + 6q52−14q50 + 16q48−13q46 + 9q44−2q42−q40 + 3q38−3q36 + 3q34−q32 + q30

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 18"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

4t2−10t + 13−10t−1 + 4t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

4z4 + 6z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 41, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−2−2q−3 + 5q−4−6q−5 + 7q−6−7q−7 + 6q−8−4q−9 + 2q−10−q−11

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z2a10−a10 + z4a8 + z2a8 + 2z4a6 + 4z2a6 + a6 + z4a4 + 2z2a4 + a4

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z5a13−3z3a13 + 2za13 + 2z6a12−5z4a12 + 3z2a12 + 2z7a11−3z5a11 + z8a10 + z6a10−2z4a10−2z2a10 + a10 + 4z7a9−5z5a9 + z3a9 + z8a8 + 2z6a8−2z4a8 + 2z7a7 + z5a7−4z3a7 + 2za7 + 3z6a6−4z4a6 + 3z2a6−a6 + 2z5a5−2z3a5 + z4a4−2z2a4 + a4

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 18"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 4t2−10t + 13−10t−1 + 4t−2, q−2−2q−3 + 5q−4−6q−5 + 7q−6−7q−7 + 6q−8−4q−9 + 2q−10−q−11 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11a246,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−4−2q−5 + q−6 + 6q−7−10q−8 + q−9 + 20q−10−25q−11−3q−12 + 39q−13−37q−14−10q−15 + 52q−16−39q−17−16q−18 + 51q−19−30q−20−19q−21 + 38q−22−15q−23−15q−24 + 20q−25−4q−26−8q−27 + 6q−28−2q−30 + q−31
3	q−6−2q−7 + q−8 + 2q−9 + 2q−10−8q−11 + 13q−13 + 5q−14−27q−15−5q−16 + 37q−17 + 22q−18−65q−19−29q−20 + 78q−21 + 57q−22−104q−23−76q−24 + 114q−25 + 107q−26−128q−27−126q−28 + 127q−29 + 145q−30−124q−31−155q−32 + 111q−33 + 160q−34−95q−35−157q−36 + 74q−37 + 148q−38−50q−39−134q−40 + 26q−41 + 116q−42−7q−43−93q−44−7q−45 + 68q−46 + 18q−47−48q−48−17q−49 + 26q−50 + 17q−51−15q−52−10q−53 + 5q−54 + 7q−55−3q−56−2q−57 + 2q−59−q−60
4	q−8−2q−9 + q−10 + 2q−11−2q−12 + 4q−13−9q−14 + 3q−15 + 11q−16−7q−17 + 9q−18−31q−19 + 9q−20 + 39q−21−12q−22 + 10q−23−89q−24 + 15q−25 + 106q−26 + 10q−27 + 14q−28−221q−29−15q−30 + 218q−31 + 103q−32 + 53q−33−423q−34−123q−35 + 321q−36 + 266q−37 + 168q−38−626q−39−300q−40 + 355q−41 + 433q−42 + 333q−43−748q−44−465q−45 + 310q−46 + 527q−47 + 486q−48−762q−49−557q−50 + 218q−51 + 529q−52 + 582q−53−679q−54−567q−55 + 97q−56 + 456q−57 + 621q−58−520q−59−512q−60−36q−61 + 323q−62 + 599q−63−308q−64−397q−65−153q−66 + 155q−67 + 506q−68−105q−69−239q−70−195q−71 + 4q−72 + 343q−73 + 19q−74−83q−75−151q−76−73q−77 + 171q−78 + 42q−79 + 7q−80−70q−81−67q−82 + 58q−83 + 17q−84 + 23q−85−17q−86−31q−87 + 15q−88 + 10q−90−q−91−9q−92 + 4q−93−q−94 + 2q−95−2q−97 + q−98