9 27

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 27"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3,10,4,11 X11,1,12,18 X5,13,6,12 X13,17,14,16 X7,14,8,15 X15,6,16,7 X17,9,18,8 X9,2,10,3

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 9, -2, 1, -4, 7, -6, 8, -9, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 5, -8, 3

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 14 2 18 16 6 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[212112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,2,−1,2,2,−3,2,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 7}, {1, 9}, {8, 10}, {9, 11}, {10, 4}, {7, 3}, {5, 1}, {4, 6}, {2, 5}, {3, 8}, {6, 2}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_27.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q11 + 2q9−2q7 + 2q5−q3 + q + 2q−1−2q−3 + 2q−5−2q−7 + q−9
2	q32−2q30−2q28 + 7q26−2q24−9q22 + 11q20 + 2q18−15q16 + 9q14 + 7q12−13q10 + 3q8 + 8q6−4q4−4q2 + 5 + 9q−2−11q−4−3q−6 + 15q−8−10q−10−7q−12 + 13q−14−4q−16−5q−18 + 6q−20−q−22−2q−24 + q−26
3	−q63 + 2q61 + 2q59−3q57−7q55 + 2q53 + 16q51 + q49−23q47−11q45 + 29q43 + 26q41−31q39−42q37 + 26q35 + 55q33−13q31−65q29−q27 + 67q25 + 14q23−63q21−25q19 + 52q17 + 34q15−39q13−36q11 + 22q9 + 39q7−4q5−36q3−18q + 34q−1 + 42q−3−27q−5−55q−7 + 13q−9 + 68q−11−2q−13−69q−15−12q−17 + 62q−19 + 20q−21−48q−23−23q−25 + 34q−27 + 21q−29−21q−31−16q−33 + 11q−35 + 11q−37−7q−39−5q−41 + 3q−43 + 3q−45−q−47−2q−49 + q−51
4	q104−2q102−2q100 + 3q98 + 3q96 + 7q94−9q92−16q90−q88 + 11q86 + 41q84−2q82−47q80−41q78−7q76 + 100q74 + 62q72−42q70−117q68−108q66 + 117q64 + 173q62 + 62q60−141q58−259q56 + 16q54 + 223q52 + 230q50−46q48−346q46−148q44 + 156q42 + 333q40 + 100q38−305q36−255q34 + 30q32 + 318q30 + 195q28−190q26−261q24−69q22 + 225q20 + 214q18−58q16−208q14−135q12 + 100q10 + 195q8 + 88q6−124q4−197q2−61 + 154q−2 + 254q−4−2q−6−232q−8−236q−10 + 52q−12 + 355q−14 + 151q−16−171q−18−343q−20−94q−22 + 321q−24 + 243q−26−34q−28−299q−30−185q−32 + 176q−34 + 204q−36 + 72q−38−160q−40−163q−42 + 51q−44 + 96q−46 + 80q−48−49q−50−85q−52 + 7q−54 + 23q−56 + 41q−58−9q−60−29q−62 + 4q−64 + 12q−68−2q−70−8q−72 + 3q−74 + 3q−78−q−80−2q−82 + q−84
5	−q155 + 2q153 + 2q151−3q149−3q147−3q145 + 9q141 + 16q139 + q137−20q135−29q133−19q131 + 20q129 + 61q127 + 62q125−11q123−97q121−121q119−47q117 + 108q115 + 220q113 + 161q111−78q109−309q107−326q105−59q103 + 348q101 + 541q99 + 291q97−284q95−722q93−609q91 + 62q89 + 811q87 + 963q85 + 295q83−745q81−1264q79−732q77 + 497q75 + 1431q73 + 1192q71−123q69−1433q67−1558q65−315q63 + 1258q61 + 1785q59 + 742q57−978q55−1843q53−1070q51 + 644q49 + 1750q47 + 1273q45−324q43−1556q41−1345q39 + 50q37 + 1315q35 + 1314q33 + 149q31−1043q29−1228q27−316q25 + 799q23 + 1121q21 + 450q19−541q17−1013q15−623q13 + 280q11 + 929q9 + 805q7 + 27q5−818q3−1032q−389q−1 + 672q−3 + 1265q−5 + 782q−7−438q−9−1410q−11−1218q−13 + 110q−15 + 1477q−17 + 1587q−19 + 274q−21−1350q−23−1852q−25−701q−27 + 1098q−29 + 1925q−31 + 1056q−33−717q−35−1801q−37−1283q−39 + 301q−41 + 1502q−43 + 1336q−45 + 71q−47−1114q−49−1217q−51−315q−53 + 702q−55 + 984q−57 + 430q−59−366q−61−710q−63−417q−65 + 137q−67 + 449q−69 + 335q−71−3q−73−256q−75−239q−77−36q−79 + 127q−81 + 138q−83 + 47q−85−51q−87−81q−89−32q−91 + 23q−93 + 34q−95 + 17q−97−5q−99−13q−101−10q−103 + 3q−105 + 8q−107−q−109−3q−111 + 3q−119−q−121−2q−123 + q−125

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q16 + q12−q10 + 2q8 + 2q2−1 + 2q−2−2q−4 + q−8−q−10 + q−12
1,1	q44−4q42 + 12q40−28q38 + 52q36−86q34 + 130q32−180q30 + 222q28−248q26 + 258q24−236q22 + 176q20−88q18−24q16 + 144q14−267q12 + 376q10−450q8 + 492q6−483q4 + 440q2−352 + 244q−2−120q−4−4q−6 + 102q−8−176q−10 + 222q−12−238q−14 + 228q−16−196q−18 + 162q−20−126q−22 + 88q−24−58q−26 + 36q−28−20q−30 + 10q−32−4q−34 + q−36
2,0	q42−2q38−2q36 + 2q34 + 4q32−3q30−3q28 + 4q26 + 4q24−5q22−5q20 + 5q18 + 2q16−6q14 + 6q10−2q8−q6 + 6q4 + q2−2 + 3q−2 + 5q−4−7q−6−5q−8 + 7q−10 + 2q−12−7q−14 + 6q−18−3q−22 + 2q−26−q−28−q−30 + q−32

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q34−2q32 + q30 + 3q28−7q26 + 3q24 + 4q22−12q20 + 5q18 + 8q16−10q14 + 5q12 + 10q10−5q8−q6 + 4q4 + q2−4−4q−2 + 9q−4−5q−6−8q−8 + 13q−10−2q−12−8q−14 + 10q−16−6q−20 + 4q−22−2q−26 + q−28
1,0,0	−q21−q17 + q15−q13 + 3q11 + 2q7 + q3−q−1 + q−3−2q−5 + q−7−q−9 + 2q−11−q−13 + q−15

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q44−q40 + q38 + q36−3q34−3q32 + 2q30−8q26−2q24 + 9q22 + q20−5q18 + 9q16 + 11q14−3q12−2q10 + 7q8−10q4 + 2q2 + 4−9q−2−4q−4 + 10q−6−2q−8−7q−10 + 7q−12 + 8q−14−4q−16−4q−18 + 6q−20 + 2q−22−5q−24−q−26 + 3q−28−q−30−q−32 + q−34
1,0,0,0	−q26−q22−q20 + q18−q16 + 3q14 + q12 + 2q10 + 2q8 + q4−q2−2q−2 + q−4−2q−6 + q−8 + 2q−14−q−16 + q−18

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q34 + 2q32−5q30 + 7q28−9q26 + 11q24−12q22 + 12q20−9q18 + 6q16−5q12 + 12q10−17q8 + 21q6−22q4 + 23q2−20 + 16q−2−9q−4 + 3q−6 + 2q−8−7q−10 + 10q−12−12q−14 + 12q−16−10q−18 + 8q−20−6q−22 + 4q−24−2q−26 + q−28
1,0	q56−2q52−2q50 + 3q48 + 5q46−2q44−8q42−3q40 + 9q38 + 8q36−7q34−13q32 + 13q28 + 7q26−9q24−9q22 + 5q20 + 11q18−8q14−q12 + 8q10 + 3q8−7q6−5q4 + 7q2 + 7−5q−2−9q−4 + 4q−6 + 10q−8−q−10−12q−12−4q−14 + 11q−16 + 9q−18−6q−20−12q−22 + 11q−26 + 6q−28−5q−30−7q−32 + 5q−36 + 2q−38−2q−40−2q−42 + q−46

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q46−2q44 + 3q42−4q40 + 6q38−8q36 + 7q34−10q32 + 9q30−11q28 + 6q26−6q24 + 6q22−q18 + 9q16−4q14 + 15q12−14q10 + 16q8−16q6 + 18q4−19q2 + 12−15q−2 + 10q−4−6q−6 + q−8−q−10−2q−12 + 9q−14−6q−16 + 8q−18−9q−20 + 11q−22−7q−24 + 6q−26−7q−28 + 5q−30−3q−32 + 2q−34−2q−36 + q−38

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q80−2q78 + 5q76−8q74 + 7q72−4q70−6q68 + 19q66−29q64 + 33q62−29q60 + 6q58 + 22q56−50q54 + 65q52−56q50 + 32q48 + 6q46−42q44 + 61q42−58q40 + 33q38 + 3q36−32q34 + 41q32−25q30−q28 + 36q26−53q24 + 50q22−24q20−20q18 + 64q16−89q14 + 88q12−53q10 + 8q8 + 45q6−81q4 + 87q2−67 + 26q−2 + 16q−4−47q−6 + 48q−8−25q−10−5q−12 + 31q−14−41q−16 + 24q−18 + q−20−35q−22 + 58q−24−59q−26 + 43q−28−9q−30−22q−32 + 45q−34−51q−36 + 45q−38−28q−40 + 7q−42 + 11q−44−23q−46 + 24q−48−18q−50 + 13q−52−4q−54−2q−56 + 4q−58−6q−60 + 4q−62−2q−64 + q−66

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 27"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 5t2−11t + 15−11t−1 + 5t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6−z4 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 49, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q4−3q3 + 5q2−7q + 9−8q−1 + 7q−2−5q−3 + 3q−4−q−5

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z6 + 2a2z4 + z4a−2−4z4−a4z2 + 5a2z2 + 2z2a−2−6z2−a4 + 3a2 + a−2−2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

a2z8 + z8 + 3a3z7 + 6az7 + 3z7a−1 + 3a4z6 + 6a2z6 + 4z6a−2 + 7z6 + a5z5−4a3z5−8az5 + 3z5a−3−7a4z4−17a2z4−5z4a−2 + z4a−4−16z4−2a5z3−2a3z3−4z3a−1−4z3a−3 + 4a4z2 + 12a2z2 + 3z2a−2−z2a−4 + 12z2 + a5z + 2a3z + 2az + 2za−1 + za−3−a4−3a2−a−2−2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 27"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 5t2−11t + 15−11t−1 + 5t−2−t−3, q4−3q3 + 5q2−7q + 9−8q−1 + 7q−2−5q−3 + 3q−4−q−5 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n4, K11n21, K11n172,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{K11n83,}

n	Jn
2	q12−3q11 + q10 + 8q9−14q8 + 2q7 + 25q6−34q5−q4 + 50q3−52q2−9q + 70−56q−1−18q−2 + 70q−3−44q−4−23q−5 + 54q−6−24q−7−21q−8 + 30q−9−7q−10−12q−11 + 10q−12−3q−14 + q−15
3	q24−3q23 + q22 + 4q21 + q20−11q19−q18 + 22q17 + q16−38q15−6q14 + 64q13 + 14q12−95q11−31q10 + 132q9 + 56q8−169q7−88q6 + 199q5 + 126q4−224q3−156q2 + 227q + 195−232q−1−208q−2 + 209q−3 + 227q−4−189q−5−225q−6 + 151q−7 + 224q−8−116q−9−207q−10 + 74q−11 + 186q−12−39q−13−154q−14 + 6q−15 + 122q−16 + 13q−17−86q−18−23q−19 + 54q−20 + 24q−21−29q−22−20q−23 + 14q−24 + 12q−25−5q−26−5q−27 + 3q−29−q−30
4	q40−3q39 + q38 + 4q37−3q36 + 4q35−14q34 + 7q33 + 18q32−15q31 + 8q30−47q29 + 27q28 + 68q27−33q26−8q25−139q24 + 63q23 + 197q22−17q21−53q20−353q19 + 66q18 + 429q17 + 115q16−81q15−714q14−48q13 + 694q12 + 392q11−3q10−1129q9−297q8 + 866q7 + 714q6 + 201q5−1432q4−585q3 + 870q2 + 944q + 457−1532q−1−800q−2 + 734q−3 + 1017q−4 + 669q−5−1425q−6−895q−7 + 499q−8 + 944q−9 + 819q−10−1153q−11−884q−12 + 205q−13 + 752q−14 + 890q−15−768q−16−761q−17−83q−18 + 467q−19 + 840q−20−363q−21−528q−22−260q−23 + 163q−24 + 642q−25−63q−26−252q−27−267q−28−44q−29 + 367q−30 + 55q−31−49q−32−156q−33−100q−34 + 142q−35 + 46q−36 + 26q−37−52q−38−62q−39 + 35q−40 + 12q−41 + 20q−42−7q−43−19q−44 + 5q−45 + 5q−47−3q−49 + q−50
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