9 45

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 45"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X4251 X10,6,11,5 X8394 X2,9,3,10 X7,14,8,15 X18,15,1,16 X16,11,17,12 X12,17,13,18 X13,6,14,7

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

1, -4, 3, -1, 2, 9, -5, -3, 4, -2, 7, -8, -9, 5, 6, -7, 8, -6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 10 -14 2 16 -6 18 12

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[211,21,2-]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−2,1,−2,−1,−3,2,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{2, 11}, {1, 7}, {10, 4}, {11, 9}, {6, 8}, {7, 10}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 2}, {8, 3}, {9, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_45.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q17 + q15−q13 + q11 + q5−q3 + 2q
2	q48−q46−2q44 + 3q42 + q40−4q38 + 2q36 + 3q34−4q32−q30 + 3q28−2q26−2q24 + 2q22 + q20−2q18−q16 + 5q14−q12−3q10 + 5q8−3q4 + 2q2 + 1
3	−q93 + q91 + 2q89−4q85−3q83 + 5q81 + 6q79−3q77−9q75−q73 + 11q71 + 6q69−9q67−10q65 + 5q63 + 13q61−3q59−13q57−q55 + 13q53 + 4q51−11q49−4q47 + 9q45 + 4q43−7q41−7q39 + 2q37 + 7q35 + q33−9q31−6q29 + 9q27 + 12q25−6q23−14q21 + 4q19 + 15q17−10q13−3q11 + 8q9 + 4q7−4q5−q3 + 2q−1
4	q152−q150−2q148 + q144 + 6q142 + q140−5q138−7q136−7q134 + 11q132 + 13q130 + 5q128−9q126−25q124−5q122 + 14q120 + 28q118 + 16q116−26q114−32q112−15q110 + 27q108 + 45q106 + 4q104−33q102−46q100 + 49q96 + 34q94−12q92−51q90−23q88 + 33q86 + 42q84 + 4q82−40q80−26q78 + 18q76 + 34q74 + 7q72−27q70−23q68 + 6q66 + 27q64 + 11q62−13q60−23q58−12q56 + 17q54 + 25q52 + 15q50−23q48−42q46−5q44 + 33q42 + 48q40−4q38−57q36−35q34 + 17q32 + 61q30 + 25q28−37q26−40q24−11q22 + 36q20 + 31q18−6q16−19q14−16q12 + 7q10 + 12q8 + 3q6−q4−5q2−1 + 2q−2 + q−4
5	−q225 + q223 + 2q221−q217−3q215−4q213−q211 + 7q209 + 9q207 + 5q205−3q203−14q201−18q199−7q197 + 16q195 + 28q193 + 24q191 + q189−32q187−48q185−30q183 + 17q181 + 59q179 + 67q177 + 25q175−47q173−97q171−77q169 + 8q167 + 96q165 + 125q163 + 56q161−67q159−151q157−122q155 + 12q153 + 144q151 + 170q149 + 58q147−109q145−196q143−116q141 + 61q139 + 187q137 + 159q135−9q133−165q131−175q129−31q127 + 133q125 + 168q123 + 56q121−102q119−153q117−61q115 + 76q113 + 131q111 + 57q109−59q107−108q105−49q103 + 50q101 + 92q99 + 44q97−39q95−78q93−47q91 + 22q89 + 72q87 + 63q85 + 4q83−63q81−87q79−47q77 + 41q75 + 112q73 + 98q71−9q69−128q67−155q65−44q63 + 121q61 + 202q59 + 108q57−94q55−222q53−164q51 + 41q49 + 209q47 + 200q45 + 22q43−170q41−199q39−67q37 + 101q35 + 170q33 + 94q31−42q29−119q27−85q25 + q23 + 64q21 + 64q19 + 21q17−25q15−38q13−13q11 + 4q9 + 13q7 + 13q5−6q−3q−1 + 2q−7

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q26−q24 + q22 + q18 + q16−q14−q10 + q8 + q6 + 2q2
1,1	q68−2q66 + 6q64−12q62 + 17q60−24q58 + 30q56−30q54 + 25q52−18q50 + 6q48 + 12q46−27q44 + 38q42−48q40 + 52q38−54q36 + 44q34−36q32 + 22q30−6q28−6q26 + 20q24−26q22 + 31q20−28q18 + 22q16−16q14 + 13q12−4q10 + 2q8 + 2q4 + 2q2
2,0	q66 + q64−3q60−2q58 + q56 + 2q54 + 3q48 + 2q46−2q44−4q42−q40−2q38−2q36−q34 + 2q32 + 2q30 + q28 + 2q26−q24−q22 + 2q20 + 2q18−2q16−q14 + 3q12 + 2q10−q8−q6 + 3q4 + q2

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q54−q52 + q50 + q48−3q46 + q44−q42−4q40 + 2q38 + q36−2q34 + 2q32 + 2q30 + q22−2q20−2q18 + 3q16−2q14 + 5q10 + 3q4
1,0,0	−q35−q33−q31 + q29 + 2q25 + q23 + q21−q19−q17−q15−q13 + q11 + q9 + 2q7 + 2q3

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q72 + q70 + q64−q62−4q60−2q58 + q56−2q54−3q52 + 3q50 + 4q48−q46−q44 + 2q42−q40−3q38 + q36 + 3q34−q32 + q30 + 4q28−2q26−4q24 + q20−2q18 + 5q14 + 4q12 + q10 + q8 + 3q6
1,0,0,0	−q44−q42−q40−q38 + q36 + 2q32 + 2q30 + q28 + q26−q24−q22−2q20−q18−q16 + q14 + q12 + 2q10 + 2q8 + 2q4

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q54 + q52−3q50 + 3q48−3q46 + 3q44−3q42 + 2q40−q36 + 4q34−4q32 + 6q30−6q28 + 6q26−6q24 + 3q22−2q20 + q16−2q14 + 4q12−3q10 + 4q8−2q6 + 3q4
1,0	q88−q84−q82 + 2q80 + 2q78−2q76−3q74 + 3q70 + q68−4q66−3q64 + 2q62 + 3q60−3q56 + 2q52 + q50−2q48−q46 + 2q44 + 2q42−q40−3q38 + q36 + 3q34−3q30−q28 + 3q26 + 2q24−2q22−3q20 + 2q18 + 4q16 + q14−2q12−q10 + q8 + 3q6

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q74−q72 + 2q70−2q68 + 3q66−3q64 + q62−4q60 + q58−3q56−q54−q50 + 3q48−2q46 + 6q44−2q42 + 6q40−4q38 + 5q36−4q34 + 3q32−4q30−q28−2q26−q24 + q22−2q20 + 3q18−q16 + 6q14 + 3q10−q8 + 3q6

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q128−q126 + 3q124−4q122 + 2q120−5q116 + 9q114−10q112 + 8q110−3q108−7q106 + 10q104−12q102 + 8q100−3q98−6q96 + 9q94−7q92 + 2q90 + 6q88−9q86 + 10q84−4q82−2q80 + 9q78−12q76 + 15q74−9q72 + 3q70 + 7q68−12q66 + 14q64−12q62 + 5q60 + 2q58−9q56 + 9q54−8q52 + q50 + 6q48−10q46 + 6q44−q42−7q40 + 11q38−11q36 + 8q34−5q30 + 9q28−8q26 + 8q24−q22−q20 + 2q18−2q16 + 3q14−q12 + 2q10 + q8

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 45"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t2 + 6t−9 + 6t−1−t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z4 + 2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 23, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

2q−1−3q−2 + 4q−3−4q−4 + 4q−5−3q−6 + 2q−7−q−8

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−a8 + 2z2a6 + 2a6−z4a4−2z2a4−2a4 + 2z2a2 + 2a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z5a9−3z3a9 + 2za9 + 2z6a8−6z4a8 + 4z2a8−a8 + z7a7−5z3a7 + 2za7 + 4z6a6−10z4a6 + 7z2a6−2a6 + z7a5−z3a5 + 2z6a4−4z4a4 + 6z2a4−2a4 + z5a3 + z3a3 + 3z2a2−2a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 45"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t2 + 6t−9 + 6t−1−t−2, 2q−1−3q−2 + 4q−3−4q−4 + 4q−5−3q−6 + 2q−7−q−8 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−1 + q−2−5q−3 + 4q−4 + 6q−5−13q−6 + 6q−7 + 12q−8−19q−9 + 5q−10 + 15q−11−18q−12 + q−13 + 15q−14−13q−15−3q−16 + 12q−17−6q−18−4q−19 + 6q−20−q−21−2q−22 + q−23
3	2q−1−2q−2−q−3−3q−4 + 10q−5 + 2q−6−12q−7−10q−8 + 20q−9 + 17q−10−23q−11−28q−12 + 28q−13 + 35q−14−26q−15−43q−16 + 25q−17 + 45q−18−20q−19−48q−20 + 16q−21 + 45q−22−9q−23−43q−24 + 3q−25 + 38q−26 + 6q−27−34q−28−11q−29 + 26q−30 + 16q−31−18q−32−19q−33 + 11q−34 + 17q−35−3q−36−14q−37−q−38 + 9q−39 + 3q−40−5q−41−2q−42 + q−43 + 2q−44−q−45
4	1 + q−1−3q−2−4q−3 + 4q−4 + 5q−5 + 10q−6−8q−7−27q−8 + q−9 + 18q−10 + 47q−11−3q−12−74q−13−28q−14 + 21q−15 + 109q−16 + 33q−17−118q−18−80q−19−q−20 + 162q−21 + 85q−22−133q−23−118q−24−38q−25 + 181q−26 + 123q−27−123q−28−126q−29−67q−30 + 170q−31 + 133q−32−99q−33−110q−34−88q−35 + 141q−36 + 129q−37−65q−38−83q−39−104q−40 + 97q−41 + 115q−42−21q−43−45q−44−113q−45 + 41q−46 + 87q−47 + 18q−48 + q−49−98q−50−8q−51 + 41q−52 + 31q−53 + 38q−54−57q−55−26q−56−q−57 + 14q−58 + 44q−59−15q−60−14q−61−15q−62−5q−63 + 24q−64 + q−65−7q−67−7q−68 + 6q−69 + q−70 + 2q−71−q−72−2q−73 + q−74
5	2q−2−3q−2−3q−3 + 6q−4 + 15q−5−2q−6−9q−7−20q−8−28q−9 + 19q−10 + 61q−11 + 41q−12−9q−13−83q−14−114q−15−15q−16 + 138q−17 + 177q−18 + 67q−19−152q−20−282q−21−147q−22 + 167q−23 + 369q−24 + 245q−25−143q−26−450q−27−352q−28 + 109q−29 + 497q−30 + 447q−31−49q−32−531q−33−517q−34−2q−35 + 524q−36 + 566q−37 + 58q−38−517q−39−588q−40−90q−41 + 484q−42 + 590q−43 + 125q−44−458q−45−579q−46−140q−47 + 415q−48 + 559q−49 + 164q−50−375q−51−531q−52−182q−53 + 316q−54 + 500q−55 + 213q−56−259q−57−457q−58−237q−59 + 179q−60 + 408q−61 + 264q−62−101q−63−345q−64−272q−65 + 15q−66 + 264q−67 + 274q−68 + 55q−69−177q−70−244q−71−111q−72 + 87q−73 + 194q−74 + 142q−75−10q−76−132q−77−137q−78−45q−79 + 60q−80 + 113q−81 + 74q−82−9q−83−68q−84−74q−85−28q−86 + 28q−87 + 54q−88 + 41q−89 + 4q−90−32q−91−36q−92−14q−93 + 7q−94 + 23q−95 + 20q−96 + q−97−13q−98−10q−99−5q−100 + 9q−102 + 5q−103−2q−104−2q−105−q−106−2q−107 + q−108 + 2q−109−q−110
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