10 76

Polynomial invariants

Alexander polynomial	$-2t^{3}+7t^{2}-12t+15-12t^{-1}+7t^{-2}-2t^{-3}$
Conway polynomial	$-2z^{6}-5z^{4}-2z^{2}+1$
2nd Alexander ideal (db, data sources)	$\{1\}$
Determinant and Signature	{ 57, 4 }
Jones polynomial	$q^{10}-3q^{9}+6q^{8}-8q^{7}+9q^{6}-10q^{5}+8q^{4}-6q^{3}+4q^{2}-q+1$
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	$-z^{6}a^{-4}-z^{6}a^{-6}+z^{4}a^{-2}-4z^{4}a^{-4}-3z^{4}a^{-6}+z^{4}a^{-8}+4z^{2}a^{-2}-6z^{2}a^{-4}-2z^{2}a^{-6}+2z^{2}a^{-8}+4a^{-2}-4a^{-4}+a^{-8}$
Kauffman polynomial (db, data sources)	$z^{9}a^{-5}+z^{9}a^{-7}+z^{8}a^{-4}+4z^{8}a^{-6}+3z^{8}a^{-8}+z^{7}a^{-3}-2z^{7}a^{-5}+2z^{7}a^{-7}+5z^{7}a^{-9}+z^{6}a^{-2}-9z^{6}a^{-6}-3z^{6}a^{-8}+5z^{6}a^{-10}-2z^{5}a^{-3}+7z^{5}a^{-5}-2z^{5}a^{-7}-8z^{5}a^{-9}+3z^{5}a^{-11}-5z^{4}a^{-2}-7z^{4}a^{-4}+10z^{4}a^{-6}+4z^{4}a^{-8}-7z^{4}a^{-10}+z^{4}a^{-12}-2z^{3}a^{-3}-15z^{3}a^{-5}-3z^{3}a^{-7}+7z^{3}a^{-9}-3z^{3}a^{-11}+8z^{2}a^{-2}+9z^{2}a^{-4}-7z^{2}a^{-6}-4z^{2}a^{-8}+3z^{2}a^{-10}-z^{2}a^{-12}+4za^{-3}+8za^{-5}+2za^{-7}-2za^{-9}-4a^{-2}-4a^{-4}+a^{-8}$
The A2 invariant	Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+ q^{-2} +2 q^{-4} +3 q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} -3 q^{-12} -2 q^{-14} -2 q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} }
The G2 invariant	$q^{-2}+3q^{-6}-2q^{-8}+3q^{-10}-q^{-12}+7q^{-16}-9q^{-18}+14q^{-20}-12q^{-22}+12q^{-24}+q^{-26}-12q^{-28}+31q^{-30}-40q^{-32}+46q^{-34}-33q^{-36}+q^{-38}+33q^{-40}-65q^{-42}+80q^{-44}-67q^{-46}+28q^{-48}+17q^{-50}-59q^{-52}+71q^{-54}-63q^{-56}+24q^{-58}+17q^{-60}-50q^{-62}+46q^{-64}-24q^{-66}-19q^{-68}+58q^{-70}-75q^{-72}+60q^{-74}-21q^{-76}-35q^{-78}+87q^{-80}-115q^{-82}+106q^{-84}-59q^{-86}-3q^{-88}+66q^{-90}-101q^{-92}+104q^{-94}-68q^{-96}+17q^{-98}+32q^{-100}-60q^{-102}+55q^{-104}-22q^{-106}-19q^{-108}+51q^{-110}-52q^{-112}+28q^{-114}+11q^{-116}-53q^{-118}+76q^{-120}-74q^{-122}+48q^{-124}-8q^{-126}-33q^{-128}+60q^{-130}-64q^{-132}+54q^{-134}-28q^{-136}+3q^{-138}+15q^{-140}-29q^{-142}+28q^{-144}-21q^{-146}+12q^{-148}-2q^{-150}-3q^{-152}+5q^{-154}-6q^{-156}+4q^{-158}-2q^{-160}+q^{-162}$

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 10_76.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	$q+3q^{-3}-2q^{-5}+2q^{-7}-2q^{-9}-q^{-11}+q^{-13}-2q^{-15}+3q^{-17}-2q^{-19}+q^{-21}$
2	$q^{6}+3-q^{-2}-3q^{-4}+8q^{-6}-2q^{-8}-11q^{-10}+12q^{-12}+3q^{-14}-18q^{-16}+9q^{-18}+9q^{-20}-14q^{-22}+2q^{-24}+10q^{-26}-3q^{-28}-7q^{-30}+4q^{-32}+10q^{-34}-12q^{-36}-4q^{-38}+18q^{-40}-11q^{-42}-9q^{-44}+15q^{-46}-4q^{-48}-7q^{-50}+6q^{-52}-2q^{-56}+q^{-58}$
3	$q^{15}+2q^{7}-q^{5}-q^{3}+q+6q^{-1}-3q^{-3}-10q^{-5}+21q^{-9}+3q^{-11}-29q^{-13}-18q^{-15}+36q^{-17}+37q^{-19}-36q^{-21}-54q^{-23}+25q^{-25}+73q^{-27}-9q^{-29}-78q^{-31}-12q^{-33}+79q^{-35}+25q^{-37}-67q^{-39}-43q^{-41}+58q^{-43}+47q^{-45}-37q^{-47}-50q^{-49}+17q^{-51}+50q^{-53}+4q^{-55}-46q^{-57}-31q^{-59}+38q^{-61}+52q^{-63}-23q^{-65}-74q^{-67}+10q^{-69}+83q^{-71}+9q^{-73}-82q^{-75}-22q^{-77}+70q^{-79}+33q^{-81}-53q^{-83}-34q^{-85}+34q^{-87}+26q^{-89}-17q^{-91}-20q^{-93}+9q^{-95}+13q^{-97}-5q^{-99}-6q^{-101}+q^{-103}+3q^{-105}-2q^{-109}+q^{-111}$
4	$q^{28}-q^{20}+2q^{18}-q^{16}+3q^{12}-2q^{10}+3q^{8}-6q^{6}-5q^{4}+8q^{2}+6+15q^{-2}-17q^{-4}-32q^{-6}-5q^{-8}+22q^{-10}+71q^{-12}+3q^{-14}-76q^{-16}-79q^{-18}-15q^{-20}+156q^{-22}+118q^{-24}-45q^{-26}-187q^{-28}-182q^{-30}+141q^{-32}+267q^{-34}+135q^{-36}-175q^{-38}-382q^{-40}-48q^{-42}+278q^{-44}+354q^{-46}+10q^{-48}-433q^{-50}-266q^{-52}+125q^{-54}+433q^{-56}+213q^{-58}-319q^{-60}-360q^{-62}-48q^{-64}+365q^{-66}+301q^{-68}-162q^{-70}-333q^{-72}-148q^{-74}+237q^{-76}+295q^{-78}-9q^{-80}-255q^{-82}-214q^{-84}+84q^{-86}+257q^{-88}+167q^{-90}-131q^{-92}-277q^{-94}-132q^{-96}+171q^{-98}+360q^{-100}+64q^{-102}-282q^{-104}-362q^{-106}-6q^{-108}+447q^{-110}+278q^{-112}-145q^{-114}-456q^{-116}-212q^{-118}+341q^{-120}+350q^{-122}+53q^{-124}-333q^{-126}-287q^{-128}+136q^{-130}+234q^{-132}+143q^{-134}-135q^{-136}-194q^{-138}+18q^{-140}+76q^{-142}+98q^{-144}-26q^{-146}-78q^{-148}+q^{-150}+8q^{-152}+39q^{-154}-5q^{-156}-25q^{-158}+5q^{-160}-3q^{-162}+12q^{-164}-7q^{-168}+2q^{-170}-2q^{-172}+3q^{-174}-2q^{-178}+q^{-180}$
5	Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^{45}-q^{37}-q^{35}+2 q^{33}+3 q^{27}-5 q^{23}-2 q^{19}-q^{17}+10 q^{15}+10 q^{13}-4 q^{11}-9 q^9-20 q^7-18 q^5+15 q^3+43 q+39 q^{-1} +6 q^{-3} -60 q^{-5} -103 q^{-7} -50 q^{-9} +64 q^{-11} +165 q^{-13} +168 q^{-15} -4 q^{-17} -237 q^{-19} -315 q^{-21} -143 q^{-23} +213 q^{-25} +505 q^{-27} +420 q^{-29} -80 q^{-31} -615 q^{-33} -751 q^{-35} -264 q^{-37} +569 q^{-39} +1085 q^{-41} +751 q^{-43} -298 q^{-45} -1258 q^{-47} -1298 q^{-49} -243 q^{-51} +1179 q^{-53} +1780 q^{-55} +920 q^{-57} -819 q^{-59} -2018 q^{-61} -1629 q^{-63} +196 q^{-65} +1996 q^{-67} +2188 q^{-69} +519 q^{-71} -1668 q^{-73} -2508 q^{-75} -1203 q^{-77} +1184 q^{-79} +2542 q^{-81} +1713 q^{-83} -602 q^{-85} -2384 q^{-87} -2002 q^{-89} +130 q^{-91} +2039 q^{-93} +2073 q^{-95} +269 q^{-97} -1690 q^{-99} -2005 q^{-101} -479 q^{-103} +1337 q^{-105} +1828 q^{-107} +644 q^{-109} -1045 q^{-111} -1666 q^{-113} -744 q^{-115} +779 q^{-117} +1507 q^{-119} +879 q^{-121} -482 q^{-123} -1387 q^{-125} -1092 q^{-127} +127 q^{-129} +1251 q^{-131} +1354 q^{-133} +348 q^{-135} -1024 q^{-137} -1665 q^{-139} -924 q^{-141} +686 q^{-143} +1876 q^{-145} +1573 q^{-147} -168 q^{-149} -1950 q^{-151} -2164 q^{-153} -479 q^{-155} +1770 q^{-157} +2602 q^{-159} +1171 q^{-161} -1359 q^{-163} -2742 q^{-165} -1762 q^{-167} +739 q^{-169} +2579 q^{-171} +2132 q^{-173} -104 q^{-175} -2104 q^{-177} -2191 q^{-179} -454 q^{-181} +1477 q^{-183} +1971 q^{-185} +780 q^{-187} -854 q^{-189} -1530 q^{-191} -867 q^{-193} +345 q^{-195} +1034 q^{-197} +772 q^{-199} -47 q^{-201} -607 q^{-203} -545 q^{-205} -93 q^{-207} +295 q^{-209} +339 q^{-211} +114 q^{-213} -131 q^{-215} -179 q^{-217} -69 q^{-219} +45 q^{-221} +78 q^{-223} +38 q^{-225} -13 q^{-227} -40 q^{-229} -14 q^{-231} +13 q^{-233} +13 q^{-235} +3 q^{-237} -4 q^{-239} -4 q^{-241} -7 q^{-243} +3 q^{-245} +7 q^{-247} - q^{-249} -2 q^{-251} + q^{-253} - q^{-255} -2 q^{-257} +3 q^{-259} -2 q^{-263} + q^{-265} }

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	$1+q^{-2}+2q^{-4}+3q^{-6}-q^{-8}+q^{-10}-3q^{-12}-2q^{-14}-2q^{-18}+2q^{-20}-q^{-22}+q^{-24}+q^{-26}-q^{-28}+q^{-30}$
1,1	$q^{4}+6-4q^{-2}+18q^{-4}-20q^{-6}+42q^{-8}-62q^{-10}+93q^{-12}-140q^{-14}+182q^{-16}-240q^{-18}+272q^{-20}-302q^{-22}+288q^{-24}-244q^{-26}+164q^{-28}-46q^{-30}-92q^{-32}+246q^{-34}-378q^{-36}+502q^{-38}-576q^{-40}+612q^{-42}-587q^{-44}+512q^{-46}-402q^{-48}+254q^{-50}-107q^{-52}-40q^{-54}+160q^{-56}-244q^{-58}+292q^{-60}-300q^{-62}+282q^{-64}-246q^{-66}+195q^{-68}-144q^{-70}+102q^{-72}-66q^{-74}+38q^{-76}-20q^{-78}+10q^{-80}-4q^{-82}+q^{-84}$
2,0	$q^{4}+q^{2}+1+2q^{-2}+5q^{-4}+3q^{-6}+q^{-10}+5q^{-12}-4q^{-14}-10q^{-16}-2q^{-18}-9q^{-22}-6q^{-24}+6q^{-26}+5q^{-28}-2q^{-30}+4q^{-32}+9q^{-34}-3q^{-36}-q^{-38}+7q^{-40}-6q^{-44}+2q^{-46}+4q^{-48}-6q^{-50}-5q^{-52}+5q^{-54}+3q^{-56}-6q^{-58}-q^{-60}+4q^{-62}-q^{-64}-2q^{-66}+2q^{-70}-q^{-74}+q^{-76}$

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	$1+3q^{-4}+4q^{-6}+2q^{-8}+6q^{-10}+7q^{-12}-7q^{-14}+2q^{-16}-20q^{-20}+4q^{-24}-14q^{-26}+5q^{-28}+12q^{-30}-4q^{-32}+q^{-34}+5q^{-36}+3q^{-38}-5q^{-40}-3q^{-42}+11q^{-44}-5q^{-46}-9q^{-48}+14q^{-50}-4q^{-52}-11q^{-54}+11q^{-56}-q^{-58}-6q^{-60}+5q^{-62}-2q^{-66}+q^{-68}$
1,0,0	$q^{-1}+q^{-3}+3q^{-5}+2q^{-7}+4q^{-9}-q^{-11}+q^{-13}-4q^{-15}-2q^{-17}-3q^{-19}-q^{-21}-q^{-25}+2q^{-27}-q^{-29}+2q^{-31}-q^{-33}+2q^{-35}-q^{-37}+q^{-39}$

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	$q^{-2}+q^{-4}+3q^{-6}+5q^{-8}+7q^{-10}+7q^{-12}+9q^{-14}+8q^{-16}+4q^{-18}-4q^{-20}-4q^{-22}-10q^{-24}-21q^{-26}-16q^{-28}-4q^{-30}-10q^{-32}-9q^{-34}+12q^{-36}+15q^{-38}+3q^{-40}+4q^{-42}+17q^{-44}+3q^{-46}-9q^{-48}+4q^{-50}+6q^{-52}-11q^{-54}-2q^{-56}+10q^{-58}-5q^{-60}-8q^{-62}+5q^{-64}+4q^{-66}-9q^{-68}-3q^{-70}+8q^{-72}+q^{-74}-6q^{-76}+2q^{-78}+4q^{-80}-2q^{-82}-q^{-84}+q^{-86}$
1,0,0,0	$q^{-2}+q^{-4}+3q^{-6}+3q^{-8}+3q^{-10}+4q^{-12}-q^{-14}+q^{-16}-4q^{-18}-3q^{-20}-3q^{-22}-3q^{-24}-q^{-26}-q^{-28}+q^{-30}-q^{-32}+2q^{-34}-q^{-36}+2q^{-38}+2q^{-44}-q^{-46}+q^{-48}$

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	$1+3q^{-4}-2q^{-6}+6q^{-8}-6q^{-10}+11q^{-12}-11q^{-14}+14q^{-16}-14q^{-18}+12q^{-20}-10q^{-22}+2q^{-24}+2q^{-26}-11q^{-28}+16q^{-30}-24q^{-32}+27q^{-34}-29q^{-36}+27q^{-38}-23q^{-40}+17q^{-42}-9q^{-44}+3q^{-46}+5q^{-48}-10q^{-50}+14q^{-52}-15q^{-54}+15q^{-56}-13q^{-58}+10q^{-60}-7q^{-62}+4q^{-64}-2q^{-66}+q^{-68}$
1,0	$q^{2}+3q^{-6}+3q^{-8}+q^{-10}-2q^{-12}+q^{-14}+6q^{-16}+8q^{-18}-3q^{-20}-10q^{-22}-3q^{-24}+11q^{-26}+7q^{-28}-12q^{-30}-18q^{-32}-2q^{-34}+14q^{-36}+4q^{-38}-13q^{-40}-11q^{-42}+7q^{-44}+12q^{-46}-9q^{-50}+2q^{-52}+11q^{-54}+3q^{-56}-9q^{-58}-3q^{-60}+9q^{-62}+7q^{-64}-8q^{-66}-10q^{-68}+6q^{-70}+12q^{-72}-2q^{-74}-15q^{-76}-4q^{-78}+14q^{-80}+11q^{-82}-9q^{-84}-15q^{-86}+13q^{-90}+6q^{-92}-7q^{-94}-8q^{-96}+q^{-98}+6q^{-100}+2q^{-102}-2q^{-104}-2q^{-106}+q^{-110}$

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	$q^{-2}+3q^{-6}+q^{-8}+7q^{-10}+q^{-12}+10q^{-14}-q^{-16}+12q^{-18}-9q^{-20}+8q^{-22}-15q^{-24}+5q^{-26}-18q^{-28}-11q^{-32}-6q^{-38}+12q^{-40}-8q^{-42}+20q^{-44}-19q^{-46}+22q^{-48}-20q^{-50}+23q^{-52}-20q^{-54}+16q^{-56}-14q^{-58}+13q^{-60}-4q^{-62}+q^{-64}-5q^{-68}+10q^{-70}-11q^{-72}+9q^{-74}-13q^{-76}+13q^{-78}-9q^{-80}+8q^{-82}-8q^{-84}+6q^{-86}-3q^{-88}+2q^{-90}-2q^{-92}+q^{-94}$

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

$q^{-2}+3q^{-6}-2q^{-8}+3q^{-10}-q^{-12}+7q^{-16}-9q^{-18}+14q^{-20}-12q^{-22}+12q^{-24}+q^{-26}-12q^{-28}+31q^{-30}-40q^{-32}+46q^{-34}-33q^{-36}+q^{-38}+33q^{-40}-65q^{-42}+80q^{-44}-67q^{-46}+28q^{-48}+17q^{-50}-59q^{-52}+71q^{-54}-63q^{-56}+24q^{-58}+17q^{-60}-50q^{-62}+46q^{-64}-24q^{-66}-19q^{-68}+58q^{-70}-75q^{-72}+60q^{-74}-21q^{-76}-35q^{-78}+87q^{-80}-115q^{-82}+106q^{-84}-59q^{-86}-3q^{-88}+66q^{-90}-101q^{-92}+104q^{-94}-68q^{-96}+17q^{-98}+32q^{-100}-60q^{-102}+55q^{-104}-22q^{-106}-19q^{-108}+51q^{-110}-52q^{-112}+28q^{-114}+11q^{-116}-53q^{-118}+76q^{-120}-74q^{-122}+48q^{-124}-8q^{-126}-33q^{-128}+60q^{-130}-64q^{-132}+54q^{-134}-28q^{-136}+3q^{-138}+15q^{-140}-29q^{-142}+28q^{-144}-21q^{-146}+12q^{-148}-2q^{-150}-3q^{-152}+5q^{-154}-6q^{-156}+4q^{-158}-2q^{-160}+q^{-162}$

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 76"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

$-2t^{3}+7t^{2}-12t+15-12t^{-1}+7t^{-2}-2t^{-3}$

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

$-2z^{6}-5z^{4}-2z^{2}+1$

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

$\{1\}$

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 57, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

$q^{10}-3q^{9}+6q^{8}-8q^{7}+9q^{6}-10q^{5}+8q^{4}-6q^{3}+4q^{2}-q+1$

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

$-z^{6}a^{-4}-z^{6}a^{-6}+z^{4}a^{-2}-4z^{4}a^{-4}-3z^{4}a^{-6}+z^{4}a^{-8}+4z^{2}a^{-2}-6z^{2}a^{-4}-2z^{2}a^{-6}+2z^{2}a^{-8}+4a^{-2}-4a^{-4}+a^{-8}$

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

$z^{9}a^{-5}+z^{9}a^{-7}+z^{8}a^{-4}+4z^{8}a^{-6}+3z^{8}a^{-8}+z^{7}a^{-3}-2z^{7}a^{-5}+2z^{7}a^{-7}+5z^{7}a^{-9}+z^{6}a^{-2}-9z^{6}a^{-6}-3z^{6}a^{-8}+5z^{6}a^{-10}-2z^{5}a^{-3}+7z^{5}a^{-5}-2z^{5}a^{-7}-8z^{5}a^{-9}+3z^{5}a^{-11}-5z^{4}a^{-2}-7z^{4}a^{-4}+10z^{4}a^{-6}+4z^{4}a^{-8}-7z^{4}a^{-10}+z^{4}a^{-12}-2z^{3}a^{-3}-15z^{3}a^{-5}-3z^{3}a^{-7}+7z^{3}a^{-9}-3z^{3}a^{-11}+8z^{2}a^{-2}+9z^{2}a^{-4}-7z^{2}a^{-6}-4z^{2}a^{-8}+3z^{2}a^{-10}-z^{2}a^{-12}+4za^{-3}+8za^{-5}+2za^{-7}-2za^{-9}-4a^{-2}-4a^{-4}+a^{-8}$