10 111

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ -2 t^3+9 t^2-17 t+21-17 t^{-1} +9 t^{-2} -2 t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ -2 z^6-3 z^4+z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 77, 4 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ q^{10}-3 q^9+6 q^8-10 q^7+12 q^6-13 q^5+12 q^4-9 q^3+7 q^2-3 q+1 }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} -z^6 a^{-6} +z^4 a^{-2} -2 z^4 a^{-4} -3 z^4 a^{-6} +z^4 a^{-8} +2 z^2 a^{-2} +z^2 a^{-4} -4 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} + a^{-2} +2 a^{-4} -3 a^{-6} + a^{-8} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ 2 z^9 a^{-5} +2 z^9 a^{-7} +4 z^8 a^{-4} +10 z^8 a^{-6} +6 z^8 a^{-8} +3 z^7 a^{-3} +3 z^7 a^{-5} +7 z^7 a^{-7} +7 z^7 a^{-9} +z^6 a^{-2} -9 z^6 a^{-4} -26 z^6 a^{-6} -11 z^6 a^{-8} +5 z^6 a^{-10} -8 z^5 a^{-3} -20 z^5 a^{-5} -28 z^5 a^{-7} -13 z^5 a^{-9} +3 z^5 a^{-11} -3 z^4 a^{-2} +3 z^4 a^{-4} +22 z^4 a^{-6} +10 z^4 a^{-8} -5 z^4 a^{-10} +z^4 a^{-12} +5 z^3 a^{-3} +19 z^3 a^{-5} +30 z^3 a^{-7} +13 z^3 a^{-9} -3 z^3 a^{-11} +3 z^2 a^{-2} -2 z^2 a^{-4} -10 z^2 a^{-6} -3 z^2 a^{-8} +z^2 a^{-10} -z^2 a^{-12} -z a^{-3} -7 z a^{-5} -10 z a^{-7} -4 z a^{-9} - a^{-2} +2 a^{-4} +3 a^{-6} + a^{-8} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} + q^{-4} +2 q^{-6} - q^{-8} +4 q^{-10} - q^{-12} + q^{-14} -3 q^{-18} + q^{-20} -3 q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{-2} -2 q^{-4} +6 q^{-6} -10 q^{-8} +13 q^{-10} -11 q^{-12} + q^{-14} +20 q^{-16} -43 q^{-18} +67 q^{-20} -74 q^{-22} +48 q^{-24} +8 q^{-26} -84 q^{-28} +152 q^{-30} -169 q^{-32} +131 q^{-34} -35 q^{-36} -85 q^{-38} +181 q^{-40} -207 q^{-42} +155 q^{-44} -36 q^{-46} -85 q^{-48} +163 q^{-50} -153 q^{-52} +71 q^{-54} +49 q^{-56} -142 q^{-58} +171 q^{-60} -123 q^{-62} +10 q^{-64} +117 q^{-66} -214 q^{-68} +239 q^{-70} -182 q^{-72} +57 q^{-74} +88 q^{-76} -213 q^{-78} +259 q^{-80} -226 q^{-82} +114 q^{-84} +29 q^{-86} -152 q^{-88} +201 q^{-90} -163 q^{-92} +57 q^{-94} +65 q^{-96} -143 q^{-98} +139 q^{-100} -64 q^{-102} -48 q^{-104} +143 q^{-106} -173 q^{-108} +137 q^{-110} -44 q^{-112} -60 q^{-114} +134 q^{-116} -157 q^{-118} +131 q^{-120} -68 q^{-122} +2 q^{-124} +50 q^{-126} -77 q^{-128} +77 q^{-130} -60 q^{-132} +38 q^{-134} -12 q^{-136} -9 q^{-138} +21 q^{-140} -28 q^{-142} +24 q^{-144} -17 q^{-146} +10 q^{-148} -2 q^{-150} -3 q^{-152} +5 q^{-154} -6 q^{-156} +4 q^{-158} -2 q^{-160} + q^{-162} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 10_111.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ q-2 q^{-1} +4 q^{-3} -2 q^{-5} +3 q^{-7} - q^{-9} - q^{-11} +2 q^{-13} -4 q^{-15} +3 q^{-17} -2 q^{-19} + q^{-21} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^6-2 q^4-q^2+9-5 q^{-2} -13 q^{-4} +20 q^{-6} +5 q^{-8} -27 q^{-10} +15 q^{-12} +20 q^{-14} -27 q^{-16} +23 q^{-20} -13 q^{-22} -12 q^{-24} +14 q^{-26} +7 q^{-28} -19 q^{-30} -4 q^{-32} +27 q^{-34} -14 q^{-36} -20 q^{-38} +29 q^{-40} -2 q^{-42} -20 q^{-44} +14 q^{-46} +3 q^{-48} -8 q^{-50} +4 q^{-52} -2 q^{-56} + q^{-58} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ q^{15}-2 q^{13}-q^{11}+4 q^9+6 q^7-8 q^5-19 q^3+10 q+41 q^{-1} +5 q^{-3} -63 q^{-5} -44 q^{-7} +77 q^{-9} +92 q^{-11} -52 q^{-13} -143 q^{-15} +3 q^{-17} +172 q^{-19} +66 q^{-21} -166 q^{-23} -129 q^{-25} +129 q^{-27} +177 q^{-29} -79 q^{-31} -197 q^{-33} +29 q^{-35} +190 q^{-37} +20 q^{-39} -176 q^{-41} -54 q^{-43} +143 q^{-45} +87 q^{-47} -112 q^{-49} -116 q^{-51} +62 q^{-53} +146 q^{-55} -3 q^{-57} -165 q^{-59} -65 q^{-61} +166 q^{-63} +132 q^{-65} -132 q^{-67} -182 q^{-69} +82 q^{-71} +196 q^{-73} -25 q^{-75} -170 q^{-77} -27 q^{-79} +125 q^{-81} +46 q^{-83} -71 q^{-85} -43 q^{-87} +31 q^{-89} +27 q^{-91} -11 q^{-93} -13 q^{-95} +5 q^{-97} +3 q^{-99} - q^{-101} + q^{-105} -2 q^{-109} + q^{-111} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ q^{28}-2 q^{26}-q^{24}+4 q^{22}+q^{20}+3 q^{18}-14 q^{16}-13 q^{14}+18 q^{12}+28 q^{10}+39 q^8-48 q^6-105 q^4-36 q^2+77+235 q^{-2} +81 q^{-4} -207 q^{-6} -342 q^{-8} -196 q^{-10} +385 q^{-12} +565 q^{-14} +197 q^{-16} -481 q^{-18} -899 q^{-20} -186 q^{-22} +729 q^{-24} +1079 q^{-26} +279 q^{-28} -1115 q^{-30} -1227 q^{-32} -137 q^{-34} +1339 q^{-36} +1440 q^{-38} -238 q^{-40} -1562 q^{-42} -1334 q^{-44} +558 q^{-46} +1841 q^{-48} +888 q^{-50} -940 q^{-52} -1780 q^{-54} -397 q^{-56} +1376 q^{-58} +1351 q^{-60} -187 q^{-62} -1488 q^{-64} -820 q^{-66} +761 q^{-68} +1266 q^{-70} +225 q^{-72} -1053 q^{-74} -933 q^{-76} +282 q^{-78} +1145 q^{-80} +592 q^{-82} -625 q^{-84} -1151 q^{-86} -392 q^{-88} +964 q^{-90} +1206 q^{-92} +173 q^{-94} -1266 q^{-96} -1391 q^{-98} +251 q^{-100} +1594 q^{-102} +1336 q^{-104} -641 q^{-106} -1978 q^{-108} -916 q^{-110} +1025 q^{-112} +1946 q^{-114} +507 q^{-116} -1405 q^{-118} -1474 q^{-120} -104 q^{-122} +1345 q^{-124} +1034 q^{-126} -301 q^{-128} -949 q^{-130} -607 q^{-132} +372 q^{-134} +637 q^{-136} +192 q^{-138} -230 q^{-140} -367 q^{-142} -30 q^{-144} +166 q^{-146} +118 q^{-148} +17 q^{-150} -101 q^{-152} -31 q^{-154} +17 q^{-156} +19 q^{-158} +22 q^{-160} -20 q^{-162} -5 q^{-164} + q^{-166} - q^{-168} +7 q^{-170} -3 q^{-172} + q^{-174} -2 q^{-178} + q^{-180} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} + q^{-4} +2 q^{-6} - q^{-8} +4 q^{-10} - q^{-12} + q^{-14} -3 q^{-18} + q^{-20} -3 q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^4-4 q^2+14-36 q^{-2} +80 q^{-4} -146 q^{-6} +254 q^{-8} -392 q^{-10} +548 q^{-12} -682 q^{-14} +786 q^{-16} -808 q^{-18} +720 q^{-20} -514 q^{-22} +216 q^{-24} +150 q^{-26} -543 q^{-28} +906 q^{-30} -1206 q^{-32} +1396 q^{-34} -1471 q^{-36} +1408 q^{-38} -1222 q^{-40} +940 q^{-42} -589 q^{-44} +216 q^{-46} +126 q^{-48} -396 q^{-50} +574 q^{-52} -656 q^{-54} +650 q^{-56} -578 q^{-58} +486 q^{-60} -388 q^{-62} +292 q^{-64} -216 q^{-66} +161 q^{-68} -118 q^{-70} +82 q^{-72} -54 q^{-74} +34 q^{-76} -20 q^{-78} +10 q^{-80} -4 q^{-82} + q^{-84} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^4-q^2-2+3 q^{-2} +5 q^{-4} - q^{-6} -7 q^{-8} +2 q^{-10} +13 q^{-12} -3 q^{-14} -10 q^{-16} +6 q^{-18} +11 q^{-20} -5 q^{-22} -8 q^{-24} +7 q^{-26} +3 q^{-28} -7 q^{-30} + q^{-32} +5 q^{-34} -7 q^{-36} -4 q^{-38} +9 q^{-40} -7 q^{-42} -10 q^{-44} +6 q^{-46} +11 q^{-48} -6 q^{-50} -9 q^{-52} +11 q^{-54} +6 q^{-56} -6 q^{-58} -5 q^{-60} +5 q^{-62} +2 q^{-64} -2 q^{-66} - q^{-68} - q^{-74} + q^{-76} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ 1-2 q^{-2} +2 q^{-4} +4 q^{-6} -8 q^{-8} +7 q^{-10} +7 q^{-12} -15 q^{-14} +17 q^{-16} +8 q^{-18} -17 q^{-20} +16 q^{-22} +7 q^{-24} -20 q^{-26} + q^{-28} +3 q^{-30} -11 q^{-32} -6 q^{-34} +2 q^{-36} +11 q^{-38} -8 q^{-40} -3 q^{-42} +23 q^{-44} -13 q^{-46} -9 q^{-48} +22 q^{-50} -11 q^{-52} -10 q^{-54} +13 q^{-56} -3 q^{-58} -6 q^{-60} +5 q^{-62} -2 q^{-66} + q^{-68} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-1} - q^{-3} +2 q^{-5} - q^{-7} +3 q^{-9} - q^{-11} +4 q^{-13} +2 q^{-17} - q^{-21} - q^{-23} -4 q^{-25} + q^{-27} -3 q^{-29} +2 q^{-31} - q^{-33} +2 q^{-35} - q^{-37} + q^{-39} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +4 q^{-8} - q^{-10} -3 q^{-12} +6 q^{-14} +4 q^{-16} -6 q^{-18} +2 q^{-20} +16 q^{-22} +2 q^{-24} -7 q^{-26} +15 q^{-28} +19 q^{-30} -16 q^{-32} -12 q^{-34} +13 q^{-36} -11 q^{-38} -31 q^{-40} -3 q^{-42} +7 q^{-44} -16 q^{-46} -5 q^{-48} +22 q^{-50} +6 q^{-52} -10 q^{-54} +16 q^{-56} +17 q^{-58} -13 q^{-60} -6 q^{-62} +15 q^{-64} -2 q^{-66} -16 q^{-68} +9 q^{-72} -4 q^{-74} -7 q^{-76} +4 q^{-78} +4 q^{-80} -2 q^{-82} - q^{-84} + q^{-86} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +2 q^{-6} +3 q^{-12} - q^{-14} +4 q^{-16} +3 q^{-20} + q^{-22} - q^{-26} -2 q^{-28} -2 q^{-30} -4 q^{-32} + q^{-34} -3 q^{-36} +2 q^{-38} +2 q^{-44} - q^{-46} + q^{-48} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ 1-2 q^{-2} +6 q^{-4} -10 q^{-6} +16 q^{-8} -21 q^{-10} +27 q^{-12} -27 q^{-14} +27 q^{-16} -22 q^{-18} +15 q^{-20} -2 q^{-22} -11 q^{-24} +26 q^{-26} -37 q^{-28} +47 q^{-30} -53 q^{-32} +52 q^{-34} -48 q^{-36} +37 q^{-38} -26 q^{-40} +11 q^{-42} + q^{-44} -13 q^{-46} +21 q^{-48} -26 q^{-50} +27 q^{-52} -24 q^{-54} +21 q^{-56} -15 q^{-58} +10 q^{-60} -7 q^{-62} +4 q^{-64} -2 q^{-66} + q^{-68} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^2-2 q^{-2} -2 q^{-4} +4 q^{-6} +7 q^{-8} -2 q^{-10} -12 q^{-12} -4 q^{-14} +16 q^{-16} +16 q^{-18} -13 q^{-20} -23 q^{-22} +4 q^{-24} +31 q^{-26} +13 q^{-28} -24 q^{-30} -22 q^{-32} +15 q^{-34} +27 q^{-36} - q^{-38} -25 q^{-40} -8 q^{-42} +16 q^{-44} +9 q^{-46} -16 q^{-48} -15 q^{-50} +10 q^{-52} +14 q^{-54} -9 q^{-56} -20 q^{-58} +5 q^{-60} +23 q^{-62} +3 q^{-64} -23 q^{-66} -9 q^{-68} +23 q^{-70} +20 q^{-72} -15 q^{-74} -26 q^{-76} +4 q^{-78} +28 q^{-80} +9 q^{-82} -19 q^{-84} -18 q^{-86} +5 q^{-88} +17 q^{-90} +4 q^{-92} -9 q^{-94} -8 q^{-96} + q^{-98} +6 q^{-100} +2 q^{-102} -2 q^{-104} -2 q^{-106} + q^{-110} }[/math]

D4 Invariants.

Weight

Invariant

1,0,0,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} -2 q^{-4} +4 q^{-6} -5 q^{-8} +10 q^{-10} -12 q^{-12} +16 q^{-14} -18 q^{-16} +24 q^{-18} -21 q^{-20} +23 q^{-22} -17 q^{-24} +22 q^{-26} -8 q^{-28} +7 q^{-30} +5 q^{-32} -9 q^{-34} +15 q^{-36} -31 q^{-38} +26 q^{-40} -41 q^{-42} +34 q^{-44} -47 q^{-46} +37 q^{-48} -36 q^{-50} +36 q^{-52} -24 q^{-54} +20 q^{-56} -8 q^{-58} +8 q^{-60} +7 q^{-62} -11 q^{-64} +13 q^{-66} -19 q^{-68} +23 q^{-70} -21 q^{-72} +16 q^{-74} -19 q^{-76} +17 q^{-78} -11 q^{-80} +8 q^{-82} -8 q^{-84} +6 q^{-86} -3 q^{-88} +2 q^{-90} -2 q^{-92} + q^{-94} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} -2 q^{-4} +6 q^{-6} -10 q^{-8} +13 q^{-10} -11 q^{-12} + q^{-14} +20 q^{-16} -43 q^{-18} +67 q^{-20} -74 q^{-22} +48 q^{-24} +8 q^{-26} -84 q^{-28} +152 q^{-30} -169 q^{-32} +131 q^{-34} -35 q^{-36} -85 q^{-38} +181 q^{-40} -207 q^{-42} +155 q^{-44} -36 q^{-46} -85 q^{-48} +163 q^{-50} -153 q^{-52} +71 q^{-54} +49 q^{-56} -142 q^{-58} +171 q^{-60} -123 q^{-62} +10 q^{-64} +117 q^{-66} -214 q^{-68} +239 q^{-70} -182 q^{-72} +57 q^{-74} +88 q^{-76} -213 q^{-78} +259 q^{-80} -226 q^{-82} +114 q^{-84} +29 q^{-86} -152 q^{-88} +201 q^{-90} -163 q^{-92} +57 q^{-94} +65 q^{-96} -143 q^{-98} +139 q^{-100} -64 q^{-102} -48 q^{-104} +143 q^{-106} -173 q^{-108} +137 q^{-110} -44 q^{-112} -60 q^{-114} +134 q^{-116} -157 q^{-118} +131 q^{-120} -68 q^{-122} +2 q^{-124} +50 q^{-126} -77 q^{-128} +77 q^{-130} -60 q^{-132} +38 q^{-134} -12 q^{-136} -9 q^{-138} +21 q^{-140} -28 q^{-142} +24 q^{-144} -17 q^{-146} +10 q^{-148} -2 q^{-150} -3 q^{-152} +5 q^{-154} -6 q^{-156} +4 q^{-158} -2 q^{-160} + q^{-162} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 111"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ -2 t^3+9 t^2-17 t+21-17 t^{-1} +9 t^{-2} -2 t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ -2 z^6-3 z^4+z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 77, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ q^{10}-3 q^9+6 q^8-10 q^7+12 q^6-13 q^5+12 q^4-9 q^3+7 q^2-3 q+1 }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} -z^6 a^{-6} +z^4 a^{-2} -2 z^4 a^{-4} -3 z^4 a^{-6} +z^4 a^{-8} +2 z^2 a^{-2} +z^2 a^{-4} -4 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} + a^{-2} +2 a^{-4} -3 a^{-6} + a^{-8} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ 2 z^9 a^{-5} +2 z^9 a^{-7} +4 z^8 a^{-4} +10 z^8 a^{-6} +6 z^8 a^{-8} +3 z^7 a^{-3} +3 z^7 a^{-5} +7 z^7 a^{-7} +7 z^7 a^{-9} +z^6 a^{-2} -9 z^6 a^{-4} -26 z^6 a^{-6} -11 z^6 a^{-8} +5 z^6 a^{-10} -8 z^5 a^{-3} -20 z^5 a^{-5} -28 z^5 a^{-7} -13 z^5 a^{-9} +3 z^5 a^{-11} -3 z^4 a^{-2} +3 z^4 a^{-4} +22 z^4 a^{-6} +10 z^4 a^{-8} -5 z^4 a^{-10} +z^4 a^{-12} +5 z^3 a^{-3} +19 z^3 a^{-5} +30 z^3 a^{-7} +13 z^3 a^{-9} -3 z^3 a^{-11} +3 z^2 a^{-2} -2 z^2 a^{-4} -10 z^2 a^{-6} -3 z^2 a^{-8} +z^2 a^{-10} -z^2 a^{-12} -z a^{-3} -7 z a^{-5} -10 z a^{-7} -4 z a^{-9} - a^{-2} +2 a^{-4} +3 a^{-6} + a^{-8} }[/math]