7 4
From Knot Atlas
Jump to navigationJump to search
Polynomial invariants
| Alexander polynomial | [math]\displaystyle{ 4 t+4 t^{-1} -7 }[/math] |
| Conway polynomial | [math]\displaystyle{ 4 z^2+1 }[/math] |
| 2nd Alexander ideal (db, data sources) | [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] |
| Determinant and Signature | { 15, 2 } |
| Jones polynomial | [math]\displaystyle{ -q^8+q^7-2 q^6+3 q^5-2 q^4+3 q^3-2 q^2+q }[/math] |
| HOMFLY-PT polynomial (db, data sources) | [math]\displaystyle{ - a^{-8} +z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-4} +2 a^{-4} +z^2 a^{-2} }[/math] |
| Kauffman polynomial (db, data sources) | [math]\displaystyle{ z^6 a^{-6} +z^6 a^{-8} +2 z^5 a^{-5} +3 z^5 a^{-7} +z^5 a^{-9} +3 z^4 a^{-4} -3 z^4 a^{-8} +2 z^3 a^{-3} -2 z^3 a^{-5} -8 z^3 a^{-7} -4 z^3 a^{-9} +z^2 a^{-2} -4 z^2 a^{-4} -3 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} +4 z a^{-7} +4 z a^{-9} +2 a^{-4} - a^{-8} }[/math] |
| The A2 invariant | [math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} + q^{-8} + q^{-10} +2 q^{-12} + q^{-14} + q^{-16} - q^{-20} - q^{-24} - q^{-26} }[/math] |
| The G2 invariant | [math]\displaystyle{ q^{-10} - q^{-12} + q^{-14} - q^{-16} - q^{-22} +4 q^{-24} -2 q^{-26} +2 q^{-28} - q^{-30} + q^{-34} -2 q^{-36} +3 q^{-38} -2 q^{-40} + q^{-44} +2 q^{-48} + q^{-50} - q^{-52} +2 q^{-54} - q^{-56} +3 q^{-58} + q^{-60} -2 q^{-62} +6 q^{-64} -3 q^{-66} +4 q^{-68} +2 q^{-70} -3 q^{-72} +4 q^{-74} -3 q^{-76} +3 q^{-78} - q^{-80} - q^{-82} + q^{-84} -2 q^{-86} +2 q^{-88} -3 q^{-92} - q^{-94} -2 q^{-96} -4 q^{-102} +2 q^{-104} -3 q^{-106} + q^{-108} + q^{-110} -4 q^{-112} +3 q^{-114} -2 q^{-116} + q^{-118} -2 q^{-122} +2 q^{-124} + q^{-128} }[/math] |
Further Quantum Invariants
Further quantum knot invariants for 7_4.
A1 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ q^{-1} - q^{-3} + q^{-5} + q^{-7} + q^{-9} + q^{-11} - q^{-13} - q^{-17} }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-8} - q^{-10} +2 q^{-14} - q^{-16} + q^{-20} +2 q^{-22} + q^{-28} - q^{-30} -3 q^{-32} -2 q^{-38} + q^{-40} + q^{-42} - q^{-44} + q^{-48} }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ q^{-3} - q^{-5} +2 q^{-9} + q^{-11} - q^{-13} - q^{-15} +3 q^{-17} + q^{-19} -3 q^{-21} + q^{-23} +4 q^{-25} +2 q^{-27} -3 q^{-29} - q^{-31} + q^{-33} +2 q^{-35} - q^{-39} - q^{-41} + q^{-43} +3 q^{-45} -2 q^{-47} -3 q^{-49} +2 q^{-53} -2 q^{-55} -3 q^{-57} -2 q^{-59} +2 q^{-61} -2 q^{-65} - q^{-67} +3 q^{-69} +3 q^{-71} - q^{-73} -2 q^{-75} + q^{-77} +3 q^{-79} -2 q^{-83} - q^{-85} + q^{-87} + q^{-89} - q^{-93} }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ q^{-4} - q^{-6} +2 q^{-10} + q^{-14} -2 q^{-16} + q^{-18} +3 q^{-20} -2 q^{-22} + q^{-24} -2 q^{-26} +4 q^{-28} +6 q^{-30} -3 q^{-32} -4 q^{-34} -5 q^{-36} +5 q^{-38} +9 q^{-40} -4 q^{-44} -6 q^{-46} +6 q^{-50} +3 q^{-52} -3 q^{-56} -3 q^{-58} - q^{-60} +2 q^{-62} +4 q^{-64} - q^{-66} -4 q^{-68} -5 q^{-70} + q^{-72} +4 q^{-74} +2 q^{-76} -4 q^{-78} -6 q^{-80} + q^{-82} +4 q^{-84} +2 q^{-86} -5 q^{-88} -5 q^{-90} +2 q^{-92} +3 q^{-94} +4 q^{-96} -2 q^{-98} -5 q^{-100} +2 q^{-102} +3 q^{-104} +7 q^{-106} + q^{-108} -5 q^{-110} -3 q^{-112} - q^{-114} +6 q^{-116} +4 q^{-118} -2 q^{-120} -4 q^{-122} -5 q^{-124} +2 q^{-126} +4 q^{-128} +2 q^{-130} - q^{-132} -5 q^{-134} - q^{-136} + q^{-138} +2 q^{-140} +2 q^{-142} - q^{-144} - q^{-146} - q^{-148} + q^{-152} }[/math] |
| 5 | [math]\displaystyle{ q^{-5} - q^{-7} +2 q^{-11} + q^{-21} + q^{-23} -2 q^{-27} + q^{-29} +5 q^{-31} +5 q^{-33} -2 q^{-35} -6 q^{-37} -7 q^{-39} +11 q^{-43} +12 q^{-45} +3 q^{-47} -11 q^{-49} -15 q^{-51} -5 q^{-53} +9 q^{-55} +18 q^{-57} +12 q^{-59} -7 q^{-61} -16 q^{-63} -12 q^{-65} - q^{-67} +11 q^{-69} +13 q^{-71} +3 q^{-73} -7 q^{-75} -8 q^{-77} -7 q^{-79} - q^{-81} +6 q^{-83} +7 q^{-85} +4 q^{-87} - q^{-89} -7 q^{-91} -8 q^{-93} -4 q^{-95} +5 q^{-97} +9 q^{-99} +2 q^{-101} -6 q^{-103} -10 q^{-105} -5 q^{-107} +5 q^{-109} +9 q^{-111} + q^{-113} -4 q^{-115} -9 q^{-117} -3 q^{-119} +8 q^{-121} +10 q^{-123} +2 q^{-125} -6 q^{-127} -10 q^{-129} -3 q^{-131} +9 q^{-133} +13 q^{-135} +3 q^{-137} -6 q^{-139} -11 q^{-141} -7 q^{-143} +7 q^{-145} +13 q^{-147} +9 q^{-149} -9 q^{-153} -12 q^{-155} -4 q^{-157} +6 q^{-159} +11 q^{-161} +6 q^{-163} -2 q^{-165} -10 q^{-167} -11 q^{-169} -4 q^{-171} +6 q^{-173} +10 q^{-175} +7 q^{-177} - q^{-179} -8 q^{-181} -9 q^{-183} -3 q^{-185} +4 q^{-187} +8 q^{-189} +6 q^{-191} -5 q^{-195} -6 q^{-197} -3 q^{-199} +2 q^{-201} +5 q^{-203} +3 q^{-205} + q^{-207} - q^{-209} -3 q^{-211} -2 q^{-213} + q^{-217} + q^{-219} + q^{-221} - q^{-225} }[/math] |
| 6 | [math]\displaystyle{ q^{-6} - q^{-8} +2 q^{-12} - q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-24} +3 q^{-26} -2 q^{-28} - q^{-30} +2 q^{-32} +7 q^{-34} +2 q^{-36} -3 q^{-38} -3 q^{-40} -10 q^{-42} -4 q^{-44} +8 q^{-46} +21 q^{-48} +10 q^{-50} -5 q^{-52} -13 q^{-54} -25 q^{-56} -11 q^{-58} +13 q^{-60} +34 q^{-62} +25 q^{-64} + q^{-66} -19 q^{-68} -40 q^{-70} -28 q^{-72} +4 q^{-74} +35 q^{-76} +39 q^{-78} +19 q^{-80} -5 q^{-82} -36 q^{-84} -38 q^{-86} -17 q^{-88} +15 q^{-90} +32 q^{-92} +28 q^{-94} +13 q^{-96} -14 q^{-98} -26 q^{-100} -26 q^{-102} -8 q^{-104} +7 q^{-106} +15 q^{-108} +18 q^{-110} +8 q^{-112} -2 q^{-114} -12 q^{-116} -14 q^{-118} -12 q^{-120} -2 q^{-122} +10 q^{-124} +17 q^{-126} +12 q^{-128} -12 q^{-132} -19 q^{-134} -9 q^{-136} +3 q^{-138} +15 q^{-140} +13 q^{-142} -12 q^{-146} -18 q^{-148} -3 q^{-150} +8 q^{-152} +18 q^{-154} +12 q^{-156} -6 q^{-158} -16 q^{-160} -14 q^{-162} +2 q^{-164} +14 q^{-166} +24 q^{-168} +12 q^{-170} -9 q^{-172} -23 q^{-174} -19 q^{-176} -2 q^{-178} +14 q^{-180} +29 q^{-182} +20 q^{-184} -4 q^{-186} -26 q^{-188} -27 q^{-190} -12 q^{-192} +6 q^{-194} +29 q^{-196} +28 q^{-198} +10 q^{-200} -17 q^{-202} -27 q^{-204} -23 q^{-206} -11 q^{-208} +15 q^{-210} +27 q^{-212} +23 q^{-214} + q^{-216} -13 q^{-218} -23 q^{-220} -25 q^{-222} -5 q^{-224} +12 q^{-226} +24 q^{-228} +18 q^{-230} +9 q^{-232} -8 q^{-234} -23 q^{-236} -18 q^{-238} -9 q^{-240} +8 q^{-242} +15 q^{-244} +21 q^{-246} +12 q^{-248} -5 q^{-250} -13 q^{-252} -17 q^{-254} -10 q^{-256} -2 q^{-258} +12 q^{-260} +15 q^{-262} +9 q^{-264} +2 q^{-266} -6 q^{-268} -10 q^{-270} -12 q^{-272} -2 q^{-274} +4 q^{-276} +7 q^{-278} +7 q^{-280} +4 q^{-282} -6 q^{-286} -4 q^{-288} -3 q^{-290} - q^{-292} + q^{-294} +3 q^{-296} +3 q^{-298} - q^{-304} - q^{-306} - q^{-308} + q^{-312} }[/math] |
A2 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1,0 | [math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} + q^{-8} + q^{-10} +2 q^{-12} + q^{-14} + q^{-16} - q^{-20} - q^{-24} - q^{-26} }[/math] |
| 1,1 | [math]\displaystyle{ q^{-4} -2 q^{-6} +2 q^{-8} -2 q^{-10} +7 q^{-12} -4 q^{-14} +4 q^{-16} -4 q^{-18} +7 q^{-20} +4 q^{-24} +4 q^{-26} + q^{-28} +6 q^{-30} -8 q^{-32} +8 q^{-34} -15 q^{-36} +8 q^{-38} -12 q^{-40} +6 q^{-42} -7 q^{-44} +4 q^{-46} +2 q^{-48} -2 q^{-50} +3 q^{-52} -6 q^{-54} +6 q^{-56} -8 q^{-58} +4 q^{-60} -4 q^{-62} +4 q^{-64} + q^{-68} }[/math] |
| 2,0 | [math]\displaystyle{ q^{-4} - q^{-6} - q^{-8} +2 q^{-10} +2 q^{-12} - q^{-16} + q^{-18} +2 q^{-20} + q^{-24} +2 q^{-26} +2 q^{-28} +2 q^{-30} +3 q^{-32} + q^{-34} + q^{-36} - q^{-40} -4 q^{-42} -4 q^{-44} -2 q^{-46} - q^{-48} -2 q^{-50} - q^{-52} + q^{-54} + q^{-56} - q^{-60} + q^{-62} + q^{-64} + q^{-66} }[/math] |
| 3,0 | [math]\displaystyle{ q^{-6} - q^{-8} - q^{-10} + q^{-12} +3 q^{-14} +2 q^{-16} -4 q^{-18} -2 q^{-20} +3 q^{-22} +5 q^{-24} +3 q^{-26} -4 q^{-28} - q^{-30} +2 q^{-32} +6 q^{-34} +4 q^{-36} - q^{-38} - q^{-40} +2 q^{-42} +3 q^{-44} +2 q^{-46} + q^{-48} +2 q^{-50} +2 q^{-52} + q^{-54} + q^{-56} +2 q^{-58} + q^{-60} -4 q^{-62} -5 q^{-64} -4 q^{-66} - q^{-68} -4 q^{-70} -7 q^{-72} -7 q^{-74} -4 q^{-76} + q^{-78} -2 q^{-82} -2 q^{-84} + q^{-86} +6 q^{-88} +5 q^{-90} +2 q^{-92} +4 q^{-98} +3 q^{-100} + q^{-102} -2 q^{-104} -3 q^{-106} + q^{-110} +2 q^{-112} - q^{-116} - q^{-118} - q^{-120} }[/math] |
A3 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 0,1,0 | [math]\displaystyle{ q^{-4} - q^{-6} - q^{-8} +2 q^{-10} +3 q^{-16} + q^{-18} + q^{-20} +2 q^{-22} +2 q^{-24} + q^{-26} +2 q^{-28} +2 q^{-30} +2 q^{-32} -2 q^{-34} - q^{-36} -2 q^{-38} -5 q^{-40} -3 q^{-42} - q^{-44} - q^{-46} + q^{-48} +2 q^{-50} + q^{-54} }[/math] |
| 1,0,0 | [math]\displaystyle{ q^{-3} - q^{-5} + q^{-11} + q^{-13} +2 q^{-15} +2 q^{-17} + q^{-19} + q^{-21} - q^{-27} - q^{-31} - q^{-33} - q^{-35} }[/math] |
A4 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 0,1,0,0 | [math]\displaystyle{ q^{-6} - q^{-8} - q^{-10} + q^{-12} + q^{-14} +2 q^{-20} +2 q^{-22} + q^{-26} +3 q^{-28} +3 q^{-30} +2 q^{-32} +5 q^{-34} +4 q^{-36} +4 q^{-38} +3 q^{-40} +3 q^{-42} -3 q^{-46} -3 q^{-48} -5 q^{-50} -8 q^{-52} -7 q^{-54} -3 q^{-56} -2 q^{-58} - q^{-60} + q^{-62} +3 q^{-64} +2 q^{-66} + q^{-68} + q^{-70} + q^{-72} }[/math] |
| 1,0,0,0 | [math]\displaystyle{ q^{-4} - q^{-6} + q^{-14} + q^{-16} +2 q^{-18} +2 q^{-20} +2 q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} - q^{-34} - q^{-38} - q^{-40} - q^{-42} - q^{-44} }[/math] |
B2 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 0,1 | [math]\displaystyle{ q^{-4} - q^{-6} + q^{-8} -2 q^{-10} +2 q^{-12} + q^{-16} + q^{-18} + q^{-20} +2 q^{-22} -2 q^{-24} +3 q^{-26} -2 q^{-28} +2 q^{-30} -2 q^{-32} +2 q^{-34} - q^{-36} + q^{-40} - q^{-42} + q^{-44} - q^{-46} + q^{-48} -2 q^{-50} - q^{-54} }[/math] |
| 1,0 | [math]\displaystyle{ q^{-6} - q^{-10} - q^{-12} +2 q^{-16} + q^{-18} - q^{-20} + q^{-24} +2 q^{-26} +2 q^{-34} + q^{-36} +2 q^{-42} +2 q^{-44} + q^{-46} + q^{-50} + q^{-52} -2 q^{-56} - q^{-58} - q^{-62} -3 q^{-64} -3 q^{-66} - q^{-68} - q^{-74} - q^{-76} + q^{-78} +2 q^{-80} + q^{-88} }[/math] |
D4 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1,0,0,0 | [math]\displaystyle{ q^{-6} - q^{-8} - q^{-12} +2 q^{-14} - q^{-16} + q^{-18} +2 q^{-22} +2 q^{-24} +2 q^{-26} +2 q^{-28} + q^{-30} +3 q^{-32} +3 q^{-36} - q^{-38} +3 q^{-40} +3 q^{-44} - q^{-46} + q^{-48} -2 q^{-50} -2 q^{-52} -3 q^{-54} -4 q^{-56} -2 q^{-58} -3 q^{-60} - q^{-62} - q^{-64} +2 q^{-66} +2 q^{-70} + q^{-74} }[/math] |
G2 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1,0 | [math]\displaystyle{ q^{-10} - q^{-12} + q^{-14} - q^{-16} - q^{-22} +4 q^{-24} -2 q^{-26} +2 q^{-28} - q^{-30} + q^{-34} -2 q^{-36} +3 q^{-38} -2 q^{-40} + q^{-44} +2 q^{-48} + q^{-50} - q^{-52} +2 q^{-54} - q^{-56} +3 q^{-58} + q^{-60} -2 q^{-62} +6 q^{-64} -3 q^{-66} +4 q^{-68} +2 q^{-70} -3 q^{-72} +4 q^{-74} -3 q^{-76} +3 q^{-78} - q^{-80} - q^{-82} + q^{-84} -2 q^{-86} +2 q^{-88} -3 q^{-92} - q^{-94} -2 q^{-96} -4 q^{-102} +2 q^{-104} -3 q^{-106} + q^{-108} + q^{-110} -4 q^{-112} +3 q^{-114} -2 q^{-116} + q^{-118} -2 q^{-122} +2 q^{-124} + q^{-128} }[/math] |
.
Computer Talk
The above data is available with the Mathematica package
KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.
(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)
In[1]:=
|
AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"];
<< KnotTheory`
|
Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625.
|
In[3]:=
|
K = Knot["7 4"];
|
In[4]:=
|
Alexander[K][t]
|
KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.
|
Out[4]=
|
[math]\displaystyle{ 4 t+4 t^{-1} -7 }[/math] |
In[5]:=
|
Conway[K][z]
|
Out[5]=
|
[math]\displaystyle{ 4 z^2+1 }[/math] |
In[6]:=
|
Alexander[K, 2][t]
|
KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.
|
Out[6]=
|
[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] |
In[7]:=
|
{KnotDet[K], KnotSignature[K]}
|
Out[7]=
|
{ 15, 2 } |
In[8]:=
|
Jones[K][q]
|
KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.
|
Out[8]=
|
[math]\displaystyle{ -q^8+q^7-2 q^6+3 q^5-2 q^4+3 q^3-2 q^2+q }[/math] |
In[9]:=
|
HOMFLYPT[K][a, z]
|
KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.
|
Out[9]=
|
[math]\displaystyle{ - a^{-8} +z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-4} +2 a^{-4} +z^2 a^{-2} }[/math] |
In[10]:=
|
Kauffman[K][a, z]
|
KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.
|
Out[10]=
|
[math]\displaystyle{ z^6 a^{-6} +z^6 a^{-8} +2 z^5 a^{-5} +3 z^5 a^{-7} +z^5 a^{-9} +3 z^4 a^{-4} -3 z^4 a^{-8} +2 z^3 a^{-3} -2 z^3 a^{-5} -8 z^3 a^{-7} -4 z^3 a^{-9} +z^2 a^{-2} -4 z^2 a^{-4} -3 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} +4 z a^{-7} +4 z a^{-9} +2 a^{-4} - a^{-8} }[/math] |
