10 150

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ -t^3+4 t^2-6 t+7-6 t^{-1} +4 t^{-2} - t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ -z^6-2 z^4+z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 29, 4 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ q^8-3 q^7+4 q^6-5 q^5+5 q^4-4 q^3+4 q^2-2 q+1 }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} +z^4 a^{-6} +3 z^2 a^{-2} -4 z^2 a^{-4} +2 z^2 a^{-6} +2 a^{-2} - a^{-4} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^8 a^{-4} +z^8 a^{-6} +2 z^7 a^{-3} +4 z^7 a^{-5} +2 z^7 a^{-7} +z^6 a^{-2} +z^6 a^{-8} -7 z^5 a^{-3} -12 z^5 a^{-5} -5 z^5 a^{-7} -4 z^4 a^{-2} -9 z^4 a^{-4} -5 z^4 a^{-6} +5 z^3 a^{-3} +8 z^3 a^{-5} +6 z^3 a^{-7} +3 z^3 a^{-9} +5 z^2 a^{-2} +8 z^2 a^{-4} +3 z^2 a^{-6} +z^2 a^{-8} +z^2 a^{-10} -2 z a^{-5} -3 z a^{-7} -z a^{-9} -2 a^{-2} - a^{-4} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-4} + q^{-6} +2 q^{-10} - q^{-12} + q^{-14} - q^{-16} - q^{-18} - q^{-22} + q^{-24} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +4 q^{-6} -5 q^{-8} +5 q^{-10} - q^{-12} -5 q^{-14} +14 q^{-16} -15 q^{-18} +14 q^{-20} -5 q^{-22} -7 q^{-24} +17 q^{-26} -19 q^{-28} +15 q^{-30} - q^{-32} -9 q^{-34} +15 q^{-36} -12 q^{-38} +2 q^{-40} +11 q^{-42} -18 q^{-44} +16 q^{-46} -7 q^{-48} -4 q^{-50} +16 q^{-52} -21 q^{-54} +21 q^{-56} -13 q^{-58} +2 q^{-60} +8 q^{-62} -17 q^{-64} +19 q^{-66} -16 q^{-68} +7 q^{-70} +3 q^{-72} -12 q^{-74} +14 q^{-76} -11 q^{-78} -3 q^{-80} +12 q^{-82} -17 q^{-84} +12 q^{-86} -2 q^{-88} -12 q^{-90} +20 q^{-92} -18 q^{-94} +11 q^{-96} -10 q^{-100} +14 q^{-102} -11 q^{-104} +6 q^{-106} +2 q^{-108} -3 q^{-110} +4 q^{-112} -3 q^{-114} + q^{-118} + q^{-120} - q^{-122} - q^{-126} - q^{-132} + q^{-134} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 10_150.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ q- q^{-1} +2 q^{-3} + q^{-7} - q^{-11} + q^{-13} -2 q^{-15} + q^{-17} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^6-q^4-2 q^2+4+2 q^{-2} -5 q^{-4} +2 q^{-6} +5 q^{-8} -3 q^{-10} -2 q^{-12} +5 q^{-14} -4 q^{-18} +2 q^{-20} +2 q^{-22} -4 q^{-24} - q^{-26} +4 q^{-28} - q^{-30} -5 q^{-32} +4 q^{-34} +3 q^{-36} -5 q^{-38} + q^{-40} +2 q^{-42} - q^{-44} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ q^{15}-q^{13}-2 q^{11}+5 q^7+4 q^5-6 q^3-9 q+2 q^{-1} +13 q^{-3} +7 q^{-5} -12 q^{-7} -12 q^{-9} +5 q^{-11} +19 q^{-13} +5 q^{-15} -17 q^{-17} -12 q^{-19} +13 q^{-21} +18 q^{-23} -7 q^{-25} -21 q^{-27} + q^{-29} +20 q^{-31} +2 q^{-33} -18 q^{-35} -5 q^{-37} +18 q^{-39} +5 q^{-41} -15 q^{-43} -9 q^{-45} +11 q^{-47} +10 q^{-49} -5 q^{-51} -15 q^{-53} -3 q^{-55} +17 q^{-57} +14 q^{-59} -13 q^{-61} -21 q^{-63} +7 q^{-65} +25 q^{-67} -21 q^{-71} -6 q^{-73} +11 q^{-75} +9 q^{-77} -6 q^{-79} -5 q^{-81} + q^{-83} +2 q^{-85} + q^{-87} - q^{-89} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-4} + q^{-6} +2 q^{-10} - q^{-12} + q^{-14} - q^{-16} - q^{-18} - q^{-22} + q^{-24} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^4-2 q^2+8-16 q^{-2} +27 q^{-4} -36 q^{-6} +48 q^{-8} -46 q^{-10} +44 q^{-12} -24 q^{-14} +6 q^{-16} +22 q^{-18} -48 q^{-20} +64 q^{-22} -80 q^{-24} +82 q^{-26} -81 q^{-28} +66 q^{-30} -48 q^{-32} +28 q^{-34} -22 q^{-38} +42 q^{-40} -52 q^{-42} +51 q^{-44} -46 q^{-46} +30 q^{-48} -18 q^{-50} +7 q^{-52} +2 q^{-54} -4 q^{-56} +4 q^{-58} -2 q^{-66} + q^{-68} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^4-1+2 q^{-4} +2 q^{-6} +4 q^{-12} +2 q^{-14} - q^{-16} - q^{-22} - q^{-24} - q^{-26} + q^{-28} - q^{-30} +2 q^{-32} + q^{-34} -2 q^{-36} - q^{-38} + q^{-40} - q^{-42} -3 q^{-44} + q^{-46} + q^{-48} +2 q^{-50} -2 q^{-52} + q^{-56} + q^{-60} - q^{-62} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} +2 q^{-4} +2 q^{-6} - q^{-8} +4 q^{-10} + q^{-12} - q^{-14} +4 q^{-16} - q^{-18} - q^{-20} +2 q^{-22} -3 q^{-26} - q^{-28} -2 q^{-30} - q^{-32} -2 q^{-34} +4 q^{-38} -2 q^{-40} +2 q^{-42} +3 q^{-44} -3 q^{-46} +2 q^{-50} -2 q^{-52} - q^{-54} + q^{-56} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-1} +2 q^{-5} +2 q^{-9} + q^{-13} - q^{-21} -2 q^{-25} + q^{-27} - q^{-29} + q^{-31} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-6} +3 q^{-8} + q^{-10} +2 q^{-12} +4 q^{-14} + q^{-16} +3 q^{-20} +2 q^{-22} -2 q^{-24} + q^{-26} +4 q^{-28} + q^{-30} -6 q^{-32} + q^{-34} -9 q^{-38} -5 q^{-40} + q^{-42} -4 q^{-44} -2 q^{-46} +6 q^{-48} +4 q^{-50} + q^{-52} +3 q^{-54} +5 q^{-56} -2 q^{-58} -4 q^{-60} + q^{-62} -4 q^{-66} +2 q^{-70} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} +2 q^{-6} + q^{-8} + q^{-10} +2 q^{-12} + q^{-16} - q^{-18} + q^{-20} - q^{-22} - q^{-26} - q^{-30} - q^{-32} + q^{-34} - q^{-36} + q^{-38} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} +4 q^{-4} -4 q^{-6} +5 q^{-8} -4 q^{-10} +5 q^{-12} -3 q^{-14} +2 q^{-16} + q^{-18} -3 q^{-20} +6 q^{-22} -8 q^{-24} +9 q^{-26} -9 q^{-28} +8 q^{-30} -7 q^{-32} +4 q^{-34} -2 q^{-36} +2 q^{-40} -4 q^{-42} +5 q^{-44} -5 q^{-46} +4 q^{-48} -4 q^{-50} +2 q^{-52} - q^{-54} + q^{-56} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^2- q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-6} +3 q^{-8} -2 q^{-10} -3 q^{-12} +2 q^{-14} +5 q^{-16} +2 q^{-18} -5 q^{-20} -2 q^{-22} +5 q^{-24} +5 q^{-26} -2 q^{-28} -4 q^{-30} +4 q^{-34} + q^{-36} -3 q^{-38} -2 q^{-40} +2 q^{-42} + q^{-44} -3 q^{-46} -4 q^{-48} +4 q^{-52} - q^{-54} -5 q^{-56} - q^{-58} +5 q^{-60} +3 q^{-62} -3 q^{-64} -3 q^{-66} +3 q^{-68} +5 q^{-70} - q^{-72} -4 q^{-74} - q^{-76} +2 q^{-78} +3 q^{-80} - q^{-82} -2 q^{-84} - q^{-86} + q^{-90} }[/math]

D4 Invariants.

Weight

Invariant

1,0,0,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-6} -2 q^{-8} +6 q^{-10} -2 q^{-12} +5 q^{-14} -2 q^{-16} +6 q^{-18} -2 q^{-20} + q^{-22} - q^{-26} +3 q^{-28} -4 q^{-30} +5 q^{-32} -7 q^{-34} +6 q^{-36} -8 q^{-38} +5 q^{-40} -8 q^{-42} +4 q^{-44} -6 q^{-46} +3 q^{-48} - q^{-50} + q^{-52} +2 q^{-54} - q^{-56} +4 q^{-58} -3 q^{-60} +5 q^{-62} -4 q^{-64} +2 q^{-66} -3 q^{-68} +3 q^{-70} -2 q^{-72} - q^{-76} + q^{-78} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +4 q^{-6} -5 q^{-8} +5 q^{-10} - q^{-12} -5 q^{-14} +14 q^{-16} -15 q^{-18} +14 q^{-20} -5 q^{-22} -7 q^{-24} +17 q^{-26} -19 q^{-28} +15 q^{-30} - q^{-32} -9 q^{-34} +15 q^{-36} -12 q^{-38} +2 q^{-40} +11 q^{-42} -18 q^{-44} +16 q^{-46} -7 q^{-48} -4 q^{-50} +16 q^{-52} -21 q^{-54} +21 q^{-56} -13 q^{-58} +2 q^{-60} +8 q^{-62} -17 q^{-64} +19 q^{-66} -16 q^{-68} +7 q^{-70} +3 q^{-72} -12 q^{-74} +14 q^{-76} -11 q^{-78} -3 q^{-80} +12 q^{-82} -17 q^{-84} +12 q^{-86} -2 q^{-88} -12 q^{-90} +20 q^{-92} -18 q^{-94} +11 q^{-96} -10 q^{-100} +14 q^{-102} -11 q^{-104} +6 q^{-106} +2 q^{-108} -3 q^{-110} +4 q^{-112} -3 q^{-114} + q^{-118} + q^{-120} - q^{-122} - q^{-126} - q^{-132} + q^{-134} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 150"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ -t^3+4 t^2-6 t+7-6 t^{-1} +4 t^{-2} - t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ -z^6-2 z^4+z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 29, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ q^8-3 q^7+4 q^6-5 q^5+5 q^4-4 q^3+4 q^2-2 q+1 }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} +z^4 a^{-6} +3 z^2 a^{-2} -4 z^2 a^{-4} +2 z^2 a^{-6} +2 a^{-2} - a^{-4} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ z^8 a^{-4} +z^8 a^{-6} +2 z^7 a^{-3} +4 z^7 a^{-5} +2 z^7 a^{-7} +z^6 a^{-2} +z^6 a^{-8} -7 z^5 a^{-3} -12 z^5 a^{-5} -5 z^5 a^{-7} -4 z^4 a^{-2} -9 z^4 a^{-4} -5 z^4 a^{-6} +5 z^3 a^{-3} +8 z^3 a^{-5} +6 z^3 a^{-7} +3 z^3 a^{-9} +5 z^2 a^{-2} +8 z^2 a^{-4} +3 z^2 a^{-6} +z^2 a^{-8} +z^2 a^{-10} -2 z a^{-5} -3 z a^{-7} -z a^{-9} -2 a^{-2} - a^{-4} }[/math]