10 65

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ 2 t^3-7 t^2+14 t-17+14 t^{-1} -7 t^{-2} +2 t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ 2 z^6+5 z^4+4 z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \left\{2,t^2+t+1\right\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 63, 2 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ -q^8+2 q^7-5 q^6+8 q^5-9 q^4+11 q^3-10 q^2+8 q-5+3 q^{-1} - q^{-2} }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^6 a^{-2} +z^6 a^{-4} +3 z^4 a^{-2} +4 z^4 a^{-4} -z^4 a^{-6} -z^4+2 z^2 a^{-2} +7 z^2 a^{-4} -3 z^2 a^{-6} -2 z^2- a^{-2} +5 a^{-4} -3 a^{-6} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^9 a^{-3} +z^9 a^{-5} +3 z^8 a^{-2} +6 z^8 a^{-4} +3 z^8 a^{-6} +4 z^7 a^{-1} +5 z^7 a^{-3} +4 z^7 a^{-5} +3 z^7 a^{-7} -4 z^6 a^{-2} -16 z^6 a^{-4} -7 z^6 a^{-6} +2 z^6 a^{-8} +3 z^6+a z^5-9 z^5 a^{-1} -17 z^5 a^{-3} -14 z^5 a^{-5} -6 z^5 a^{-7} +z^5 a^{-9} +z^4 a^{-2} +24 z^4 a^{-4} +12 z^4 a^{-6} -4 z^4 a^{-8} -7 z^4-2 a z^3+6 z^3 a^{-1} +20 z^3 a^{-3} +19 z^3 a^{-5} +4 z^3 a^{-7} -3 z^3 a^{-9} -z^2 a^{-2} -17 z^2 a^{-4} -12 z^2 a^{-6} +z^2 a^{-8} +3 z^2-2 z a^{-1} -6 z a^{-3} -8 z a^{-5} -2 z a^{-7} +2 z a^{-9} + a^{-2} +5 a^{-4} +3 a^{-6} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ -q^6+q^4+2 q^{-2} -3 q^{-4} + q^{-6} +2 q^{-10} +4 q^{-12} +2 q^{-16} -2 q^{-18} -2 q^{-20} - q^{-24} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{32}-2 q^{30}+4 q^{28}-7 q^{26}+6 q^{24}-5 q^{22}-2 q^{20}+14 q^{18}-23 q^{16}+32 q^{14}-32 q^{12}+19 q^{10}+2 q^8-34 q^6+62 q^4-74 q^2+66-35 q^{-2} -10 q^{-4} +61 q^{-6} -92 q^{-8} +96 q^{-10} -66 q^{-12} +10 q^{-14} +41 q^{-16} -75 q^{-18} +71 q^{-20} -34 q^{-22} -13 q^{-24} +60 q^{-26} -74 q^{-28} +46 q^{-30} +8 q^{-32} -78 q^{-34} +118 q^{-36} -116 q^{-38} +74 q^{-40} -75 q^{-44} +136 q^{-46} -141 q^{-48} +113 q^{-50} -48 q^{-52} -31 q^{-54} +93 q^{-56} -103 q^{-58} +85 q^{-60} -32 q^{-62} -18 q^{-64} +62 q^{-66} -63 q^{-68} +30 q^{-70} +15 q^{-72} -66 q^{-74} +88 q^{-76} -72 q^{-78} +17 q^{-80} +38 q^{-82} -82 q^{-84} +99 q^{-86} -84 q^{-88} +41 q^{-90} +2 q^{-92} -47 q^{-94} +64 q^{-96} -62 q^{-98} +43 q^{-100} -17 q^{-102} -3 q^{-104} +16 q^{-106} -23 q^{-108} +21 q^{-110} -15 q^{-112} +8 q^{-114} - q^{-116} -3 q^{-118} +4 q^{-120} -4 q^{-122} +3 q^{-124} - q^{-126} + q^{-128} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 10_65.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ -q^5+2 q^3-2 q+3 q^{-1} -2 q^{-3} + q^{-5} +2 q^{-7} - q^{-9} +3 q^{-11} -3 q^{-13} + q^{-15} - q^{-17} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^{16}-2 q^{14}-q^{12}+6 q^{10}-5 q^8-6 q^6+13 q^4-4 q^2-14+18 q^{-2} +3 q^{-4} -18 q^{-6} +13 q^{-8} +9 q^{-10} -12 q^{-12} -2 q^{-14} +8 q^{-16} +2 q^{-18} -14 q^{-20} +6 q^{-22} +15 q^{-24} -17 q^{-26} - q^{-28} +18 q^{-30} -13 q^{-32} -7 q^{-34} +12 q^{-36} -4 q^{-38} -5 q^{-40} +4 q^{-42} - q^{-46} + q^{-48} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ -q^{33}+2 q^{31}+q^{29}-3 q^{27}-3 q^{25}+5 q^{23}+8 q^{21}-9 q^{19}-14 q^{17}+10 q^{15}+24 q^{13}-10 q^{11}-38 q^9+2 q^7+55 q^5+12 q^3-66 q-36 q^{-1} +73 q^{-3} +61 q^{-5} -64 q^{-7} -81 q^{-9} +49 q^{-11} +95 q^{-13} -28 q^{-15} -92 q^{-17} +5 q^{-19} +80 q^{-21} +22 q^{-23} -61 q^{-25} -37 q^{-27} +36 q^{-29} +55 q^{-31} -13 q^{-33} -71 q^{-35} -15 q^{-37} +77 q^{-39} +38 q^{-41} -81 q^{-43} -57 q^{-45} +71 q^{-47} +78 q^{-49} -55 q^{-51} -83 q^{-53} +30 q^{-55} +84 q^{-57} -10 q^{-59} -68 q^{-61} -13 q^{-63} +50 q^{-65} +20 q^{-67} -31 q^{-69} -19 q^{-71} +13 q^{-73} +15 q^{-75} -5 q^{-77} -7 q^{-79} +2 q^{-81} +4 q^{-83} - q^{-85} - q^{-87} + q^{-91} - q^{-93} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ q^{56}-2 q^{54}-q^{52}+3 q^{50}+3 q^{46}-8 q^{44}-3 q^{42}+11 q^{40}+q^{38}+9 q^{36}-24 q^{34}-16 q^{32}+28 q^{30}+19 q^{28}+27 q^{26}-60 q^{24}-64 q^{22}+32 q^{20}+71 q^{18}+112 q^{16}-73 q^{14}-178 q^{12}-72 q^{10}+95 q^8+300 q^6+60 q^4-255 q^2-315-64 q^{-2} +446 q^{-4} +356 q^{-6} -115 q^{-8} -502 q^{-10} -383 q^{-12} +345 q^{-14} +570 q^{-16} +186 q^{-18} -433 q^{-20} -589 q^{-22} +71 q^{-24} +510 q^{-26} +385 q^{-28} -185 q^{-30} -526 q^{-32} -165 q^{-34} +274 q^{-36} +395 q^{-38} +49 q^{-40} -317 q^{-42} -285 q^{-44} +40 q^{-46} +322 q^{-48} +228 q^{-50} -102 q^{-52} -382 q^{-54} -182 q^{-56} +250 q^{-58} +402 q^{-60} +112 q^{-62} -449 q^{-64} -408 q^{-66} +113 q^{-68} +522 q^{-70} +369 q^{-72} -366 q^{-74} -557 q^{-76} -139 q^{-78} +439 q^{-80} +558 q^{-82} -95 q^{-84} -478 q^{-86} -363 q^{-88} +146 q^{-90} +501 q^{-92} +162 q^{-94} -190 q^{-96} -349 q^{-98} -119 q^{-100} +238 q^{-102} +198 q^{-104} +48 q^{-106} -159 q^{-108} -154 q^{-110} +31 q^{-112} +78 q^{-114} +85 q^{-116} -16 q^{-118} -63 q^{-120} -15 q^{-122} +33 q^{-126} +7 q^{-128} -12 q^{-130} - q^{-132} -7 q^{-134} +6 q^{-136} + q^{-138} -3 q^{-140} +2 q^{-142} -2 q^{-144} + q^{-146} - q^{-150} + q^{-152} }[/math]
5	[math]\displaystyle{ -q^{85}+2 q^{83}+q^{81}-3 q^{79}+3 q^{71}+2 q^{69}-7 q^{67}-5 q^{65}+7 q^{63}+9 q^{61}+5 q^{59}-6 q^{57}-22 q^{55}-23 q^{53}+14 q^{51}+56 q^{49}+46 q^{47}-11 q^{45}-88 q^{43}-116 q^{41}-32 q^{39}+133 q^{37}+227 q^{35}+127 q^{33}-122 q^{31}-353 q^{29}-341 q^{27}+7 q^{25}+464 q^{23}+634 q^{21}+284 q^{19}-435 q^{17}-972 q^{15}-779 q^{13}+162 q^{11}+1207 q^9+1436 q^7+421 q^5-1191 q^3-2079 q-1306 q^{-1} +775 q^{-3} +2547 q^{-5} +2326 q^{-7} +22 q^{-9} -2599 q^{-11} -3241 q^{-13} -1110 q^{-15} +2199 q^{-17} +3837 q^{-19} +2214 q^{-21} -1405 q^{-23} -3926 q^{-25} -3100 q^{-27} +405 q^{-29} +3543 q^{-31} +3593 q^{-33} +548 q^{-35} -2816 q^{-37} -3597 q^{-39} -1292 q^{-41} +1927 q^{-43} +3245 q^{-45} +1733 q^{-47} -1090 q^{-49} -2682 q^{-51} -1863 q^{-53} +385 q^{-55} +2048 q^{-57} +1855 q^{-59} +141 q^{-61} -1532 q^{-63} -1778 q^{-65} -542 q^{-67} +1093 q^{-69} +1789 q^{-71} +931 q^{-73} -783 q^{-75} -1903 q^{-77} -1373 q^{-79} +485 q^{-81} +2095 q^{-83} +1935 q^{-85} -93 q^{-87} -2293 q^{-89} -2577 q^{-91} -448 q^{-93} +2332 q^{-95} +3215 q^{-97} +1187 q^{-99} -2117 q^{-101} -3711 q^{-103} -2022 q^{-105} +1545 q^{-107} +3878 q^{-109} +2850 q^{-111} -692 q^{-113} -3607 q^{-115} -3422 q^{-117} -365 q^{-119} +2908 q^{-121} +3623 q^{-123} +1317 q^{-125} -1862 q^{-127} -3303 q^{-129} -2033 q^{-131} +724 q^{-133} +2618 q^{-135} +2259 q^{-137} +258 q^{-139} -1652 q^{-141} -2071 q^{-143} -910 q^{-145} +739 q^{-147} +1557 q^{-149} +1111 q^{-151} -28 q^{-153} -927 q^{-155} -994 q^{-157} -363 q^{-159} +393 q^{-161} +693 q^{-163} +445 q^{-165} -32 q^{-167} -367 q^{-169} -368 q^{-171} -116 q^{-173} +140 q^{-175} +221 q^{-177} +132 q^{-179} -16 q^{-181} -105 q^{-183} -87 q^{-185} -25 q^{-187} +34 q^{-189} +48 q^{-191} +19 q^{-193} -9 q^{-195} -14 q^{-197} -12 q^{-199} -5 q^{-201} +9 q^{-203} +5 q^{-205} -2 q^{-207} + q^{-209} -3 q^{-213} + q^{-215} +2 q^{-217} - q^{-219} + q^{-223} - q^{-225} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ -q^6+q^4+2 q^{-2} -3 q^{-4} + q^{-6} +2 q^{-10} +4 q^{-12} +2 q^{-16} -2 q^{-18} -2 q^{-20} - q^{-24} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^{20}-4 q^{18}+10 q^{16}-22 q^{14}+44 q^{12}-74 q^{10}+112 q^8-166 q^6+226 q^4-282 q^2+328-366 q^{-2} +369 q^{-4} -324 q^{-6} +240 q^{-8} -110 q^{-10} -46 q^{-12} +240 q^{-14} -418 q^{-16} +580 q^{-18} -691 q^{-20} +752 q^{-22} -746 q^{-24} +678 q^{-26} -560 q^{-28} +392 q^{-30} -210 q^{-32} +32 q^{-34} +125 q^{-36} -254 q^{-38} +340 q^{-40} -370 q^{-42} +357 q^{-44} -326 q^{-46} +272 q^{-48} -210 q^{-50} +151 q^{-52} -106 q^{-54} +68 q^{-56} -42 q^{-58} +25 q^{-60} -12 q^{-62} +6 q^{-64} -2 q^{-66} + q^{-68} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^{18}-q^{16}-2 q^{14}+2 q^{12}+3 q^{10}-3 q^8-5 q^6+4 q^4+5 q^2-7-6 q^{-2} +8 q^{-4} +2 q^{-6} -6 q^{-8} +5 q^{-10} +11 q^{-12} +2 q^{-14} -3 q^{-16} +3 q^{-18} -2 q^{-20} -11 q^{-22} + q^{-24} +5 q^{-26} -4 q^{-28} + q^{-30} +14 q^{-32} +6 q^{-34} -5 q^{-36} -2 q^{-38} +3 q^{-40} -5 q^{-42} -11 q^{-44} -2 q^{-46} +2 q^{-48} - q^{-50} - q^{-52} + q^{-54} +2 q^{-56} + q^{-58} + q^{-62} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ q^{14}-2 q^{12}+3 q^8-6 q^6+3 q^4+8 q^2-11+3 q^{-2} +11 q^{-4} -17 q^{-6} - q^{-8} +12 q^{-10} -10 q^{-12} +11 q^{-16} +4 q^{-18} + q^{-20} +2 q^{-22} +12 q^{-24} -3 q^{-26} -11 q^{-28} +11 q^{-30} -3 q^{-32} -18 q^{-34} +10 q^{-36} -12 q^{-40} +7 q^{-42} + q^{-44} -4 q^{-46} +3 q^{-48} + q^{-50} - q^{-52} + q^{-54} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ -q^7+q^5-q^3+2 q- q^{-1} +2 q^{-3} -3 q^{-5} - q^{-9} + q^{-11} +3 q^{-13} +3 q^{-15} +5 q^{-17} +2 q^{-21} -3 q^{-23} - q^{-25} -3 q^{-27} - q^{-31} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{16}-q^{14}-q^{12}+q^{10}-q^8-2 q^6+3 q^4+4 q^2-3-2 q^{-2} +6 q^{-4} +2 q^{-6} -13 q^{-8} -2 q^{-10} +10 q^{-12} -6 q^{-14} -11 q^{-16} +8 q^{-18} +7 q^{-20} -8 q^{-22} +2 q^{-24} +16 q^{-26} +7 q^{-28} +2 q^{-30} +19 q^{-32} +15 q^{-34} -8 q^{-36} +5 q^{-40} -15 q^{-42} -21 q^{-44} -3 q^{-46} - q^{-48} -11 q^{-50} -5 q^{-52} +7 q^{-54} +4 q^{-56} -3 q^{-58} +3 q^{-60} +4 q^{-62} + q^{-68} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ -q^8+q^6-q^4+q^2+1- q^{-2} +2 q^{-4} -3 q^{-6} -2 q^{-10} + q^{-14} +3 q^{-16} +4 q^{-18} +4 q^{-20} +5 q^{-22} +2 q^{-26} -3 q^{-28} -2 q^{-30} -2 q^{-32} -3 q^{-34} - q^{-38} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ -q^{14}+2 q^{12}-4 q^{10}+7 q^8-10 q^6+13 q^4-16 q^2+17-17 q^{-2} +15 q^{-4} -9 q^{-6} +3 q^{-8} +6 q^{-10} -14 q^{-12} +24 q^{-14} -29 q^{-16} +34 q^{-18} -33 q^{-20} +32 q^{-22} -26 q^{-24} +19 q^{-26} -9 q^{-28} + q^{-30} +7 q^{-32} -12 q^{-34} +16 q^{-36} -18 q^{-38} +16 q^{-40} -15 q^{-42} +11 q^{-44} -8 q^{-46} +5 q^{-48} -3 q^{-50} + q^{-52} - q^{-54} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^{24}-2 q^{20}-2 q^{18}+2 q^{16}+5 q^{14}-q^{12}-8 q^{10}-4 q^8+9 q^6+12 q^4-4 q^2-16-5 q^{-2} +15 q^{-4} +14 q^{-6} -10 q^{-8} -19 q^{-10} - q^{-12} +17 q^{-14} +7 q^{-16} -12 q^{-18} -9 q^{-20} +10 q^{-22} +12 q^{-24} -4 q^{-26} -10 q^{-28} +5 q^{-30} +13 q^{-32} + q^{-34} -11 q^{-36} - q^{-38} +13 q^{-40} +7 q^{-42} -12 q^{-44} -11 q^{-46} +9 q^{-48} +16 q^{-50} -4 q^{-52} -20 q^{-54} -9 q^{-56} +14 q^{-58} +13 q^{-60} -8 q^{-62} -16 q^{-64} -3 q^{-66} +11 q^{-68} +6 q^{-70} -4 q^{-72} -6 q^{-74} +4 q^{-78} +2 q^{-80} - q^{-82} - q^{-84} + q^{-88} }[/math]

D4 Invariants.

Weight

Invariant

1,0,0,0

[math]\displaystyle{ q^{18}-2 q^{16}+2 q^{14}-4 q^{12}+6 q^{10}-8 q^8+9 q^6-10 q^4+14 q^2-13+13 q^{-2} -12 q^{-4} +12 q^{-6} -11 q^{-8} + q^{-10} -3 q^{-12} -4 q^{-14} +8 q^{-16} -16 q^{-18} +19 q^{-20} -17 q^{-22} +32 q^{-24} -20 q^{-26} +31 q^{-28} -19 q^{-30} +29 q^{-32} -15 q^{-34} +14 q^{-36} -14 q^{-38} +2 q^{-40} -2 q^{-42} -8 q^{-44} +2 q^{-46} -14 q^{-48} +12 q^{-50} -14 q^{-52} +12 q^{-54} -14 q^{-56} +12 q^{-58} -9 q^{-60} +7 q^{-62} -6 q^{-64} +5 q^{-66} -2 q^{-68} +2 q^{-70} - q^{-72} + q^{-74} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{32}-2 q^{30}+4 q^{28}-7 q^{26}+6 q^{24}-5 q^{22}-2 q^{20}+14 q^{18}-23 q^{16}+32 q^{14}-32 q^{12}+19 q^{10}+2 q^8-34 q^6+62 q^4-74 q^2+66-35 q^{-2} -10 q^{-4} +61 q^{-6} -92 q^{-8} +96 q^{-10} -66 q^{-12} +10 q^{-14} +41 q^{-16} -75 q^{-18} +71 q^{-20} -34 q^{-22} -13 q^{-24} +60 q^{-26} -74 q^{-28} +46 q^{-30} +8 q^{-32} -78 q^{-34} +118 q^{-36} -116 q^{-38} +74 q^{-40} -75 q^{-44} +136 q^{-46} -141 q^{-48} +113 q^{-50} -48 q^{-52} -31 q^{-54} +93 q^{-56} -103 q^{-58} +85 q^{-60} -32 q^{-62} -18 q^{-64} +62 q^{-66} -63 q^{-68} +30 q^{-70} +15 q^{-72} -66 q^{-74} +88 q^{-76} -72 q^{-78} +17 q^{-80} +38 q^{-82} -82 q^{-84} +99 q^{-86} -84 q^{-88} +41 q^{-90} +2 q^{-92} -47 q^{-94} +64 q^{-96} -62 q^{-98} +43 q^{-100} -17 q^{-102} -3 q^{-104} +16 q^{-106} -23 q^{-108} +21 q^{-110} -15 q^{-112} +8 q^{-114} - q^{-116} -3 q^{-118} +4 q^{-120} -4 q^{-122} +3 q^{-124} - q^{-126} + q^{-128} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 65"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ 2 t^3-7 t^2+14 t-17+14 t^{-1} -7 t^{-2} +2 t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ 2 z^6+5 z^4+4 z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \left\{2,t^2+t+1\right\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 63, 2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ -q^8+2 q^7-5 q^6+8 q^5-9 q^4+11 q^3-10 q^2+8 q-5+3 q^{-1} - q^{-2} }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ z^6 a^{-2} +z^6 a^{-4} +3 z^4 a^{-2} +4 z^4 a^{-4} -z^4 a^{-6} -z^4+2 z^2 a^{-2} +7 z^2 a^{-4} -3 z^2 a^{-6} -2 z^2- a^{-2} +5 a^{-4} -3 a^{-6} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ z^9 a^{-3} +z^9 a^{-5} +3 z^8 a^{-2} +6 z^8 a^{-4} +3 z^8 a^{-6} +4 z^7 a^{-1} +5 z^7 a^{-3} +4 z^7 a^{-5} +3 z^7 a^{-7} -4 z^6 a^{-2} -16 z^6 a^{-4} -7 z^6 a^{-6} +2 z^6 a^{-8} +3 z^6+a z^5-9 z^5 a^{-1} -17 z^5 a^{-3} -14 z^5 a^{-5} -6 z^5 a^{-7} +z^5 a^{-9} +z^4 a^{-2} +24 z^4 a^{-4} +12 z^4 a^{-6} -4 z^4 a^{-8} -7 z^4-2 a z^3+6 z^3 a^{-1} +20 z^3 a^{-3} +19 z^3 a^{-5} +4 z^3 a^{-7} -3 z^3 a^{-9} -z^2 a^{-2} -17 z^2 a^{-4} -12 z^2 a^{-6} +z^2 a^{-8} +3 z^2-2 z a^{-1} -6 z a^{-3} -8 z a^{-5} -2 z a^{-7} +2 z a^{-9} + a^{-2} +5 a^{-4} +3 a^{-6} }[/math]