10 10

Polynomial invariants

Alexander polynomial	$3t^{2}-11t+17-11t^{-1}+3t^{-2}$
Conway polynomial	$3z^{4}+z^{2}+1$
2nd Alexander ideal (db, data sources)	$\{1\}$
Determinant and Signature	{ 45, 0 }
Jones polynomial	$-q^{7}+2q^{6}-3q^{5}+5q^{4}-6q^{3}+7q^{2}-7q+6-4q^{-1}+3q^{-2}-q^{-3}$
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	$z^{4}a^{-2}+z^{4}a^{-4}+z^{4}-a^{2}z^{2}+2z^{2}a^{-4}-z^{2}a^{-6}+z^{2}-a^{-2}+2a^{-4}-a^{-6}+1$
Kauffman polynomial (db, data sources)	$z^{9}a^{-3}+z^{9}a^{-5}+3z^{8}a^{-2}+5z^{8}a^{-4}+2z^{8}a^{-6}+4z^{7}a^{-1}+2z^{7}a^{-3}-z^{7}a^{-5}+z^{7}a^{-7}-7z^{6}a^{-2}-21z^{6}a^{-4}-10z^{6}a^{-6}+4z^{6}+4az^{5}-7z^{5}a^{-1}-16z^{5}a^{-3}-10z^{5}a^{-5}-5z^{5}a^{-7}+3a^{2}z^{4}+5z^{4}a^{-2}+26z^{4}a^{-4}+15z^{4}a^{-6}-3z^{4}+a^{3}z^{3}-3az^{3}+3z^{3}a^{-1}+17z^{3}a^{-3}+17z^{3}a^{-5}+7z^{3}a^{-7}-2a^{2}z^{2}-4z^{2}a^{-2}-12z^{2}a^{-4}-8z^{2}a^{-6}-2z^{2}-za^{-1}-4za^{-3}-6za^{-5}-3za^{-7}+a^{-2}+2a^{-4}+a^{-6}+1$
The A2 invariant	$-q^{10}+q^{8}+q^{6}-q^{4}+2q^{2}-q^{-6}+q^{-8}+q^{-12}+2q^{-14}-q^{-16}-q^{-22}$
The G2 invariant	$q^{52}-2q^{50}+3q^{48}-4q^{46}+q^{44}-3q^{40}+8q^{38}-10q^{36}+11q^{34}-7q^{32}+q^{30}+5q^{28}-10q^{26}+14q^{24}-14q^{22}+11q^{20}-6q^{18}-2q^{16}+9q^{14}-10q^{12}+13q^{10}-11q^{8}+8q^{6}-3q^{4}-3q^{2}+9-10q^{-2}+9q^{-4}-3q^{-6}-q^{-8}+6q^{-10}-7q^{-12}+3q^{-14}+5q^{-16}-13q^{-18}+15q^{-20}-14q^{-22}+q^{-24}+14q^{-26}-26q^{-28}+28q^{-30}-23q^{-32}+10q^{-34}+6q^{-36}-22q^{-38}+29q^{-40}-26q^{-42}+18q^{-44}-2q^{-46}-10q^{-48}+19q^{-50}-13q^{-52}+12q^{-54}-10q^{-58}+14q^{-60}-9q^{-62}+13q^{-66}-22q^{-68}+24q^{-70}-15q^{-72}-q^{-74}+15q^{-76}-27q^{-78}+27q^{-80}-21q^{-82}+6q^{-84}+5q^{-86}-15q^{-88}+17q^{-90}-14q^{-92}+8q^{-94}-q^{-96}-3q^{-98}+3q^{-100}-4q^{-102}+3q^{-104}-q^{-106}+q^{-108}$

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 10_10.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	$-q^{7}+2q^{5}-q^{3}+2q-q^{-1}+q^{-5}-q^{-7}+2q^{-9}-q^{-11}+q^{-13}-q^{-15}$
2	$q^{20}-2q^{18}-q^{16}+4q^{14}-3q^{12}+4q^{8}-5q^{6}+q^{4}+5q^{2}-4+5q^{-4}-q^{-6}-3q^{-8}+2q^{-10}+3q^{-12}-3q^{-14}-2q^{-16}+5q^{-18}-2q^{-20}-5q^{-22}+5q^{-24}+q^{-26}-6q^{-28}+4q^{-30}+4q^{-32}-5q^{-34}+3q^{-38}-2q^{-40}-q^{-42}+q^{-44}$
3	$-q^{39}+2q^{37}+q^{35}-2q^{33}-3q^{31}+q^{29}+6q^{27}-2q^{25}-4q^{23}-2q^{21}+4q^{19}+2q^{17}-5q^{13}-4q^{11}+6q^{9}+9q^{7}-2q^{5}-11q^{3}+12q^{-1}+6q^{-3}-8q^{-5}-8q^{-7}+11q^{-11}+6q^{-13}-10q^{-15}-10q^{-17}+7q^{-19}+13q^{-21}-6q^{-23}-14q^{-25}+3q^{-27}+14q^{-29}-12q^{-33}-2q^{-35}+11q^{-37}+7q^{-39}-9q^{-41}-11q^{-43}+4q^{-45}+13q^{-47}+q^{-49}-14q^{-51}-9q^{-53}+12q^{-55}+13q^{-57}-5q^{-59}-15q^{-61}+q^{-63}+14q^{-65}+4q^{-67}-10q^{-69}-7q^{-71}+5q^{-73}+6q^{-75}-2q^{-77}-4q^{-79}+2q^{-83}+q^{-85}-q^{-87}$
4	$q^{64}-2q^{62}-q^{60}+2q^{58}+q^{56}+5q^{54}-7q^{52}-5q^{50}+q^{48}+4q^{46}+18q^{44}-11q^{42}-15q^{40}-8q^{38}+7q^{36}+37q^{34}-4q^{32}-28q^{30}-33q^{28}+2q^{26}+63q^{24}+23q^{22}-32q^{20}-65q^{18}-21q^{16}+77q^{14}+61q^{12}-12q^{10}-85q^{8}-59q^{6}+57q^{4}+79q^{2}+31-57q^{-2}-78q^{-4}+2q^{-6}+49q^{-8}+55q^{-10}+2q^{-12}-49q^{-14}-37q^{-16}-9q^{-18}+38q^{-20}+47q^{-22}+q^{-24}-41q^{-26}-42q^{-28}+11q^{-30}+55q^{-32}+27q^{-34}-38q^{-36}-51q^{-38}+56q^{-42}+35q^{-44}-40q^{-46}-53q^{-48}-6q^{-50}+56q^{-52}+48q^{-54}-30q^{-56}-55q^{-58}-27q^{-60}+38q^{-62}+58q^{-64}-q^{-66}-31q^{-68}-42q^{-70}-4q^{-72}+39q^{-74}+22q^{-76}+13q^{-78}-27q^{-80}-35q^{-82}-4q^{-84}+8q^{-86}+42q^{-88}+15q^{-90}-22q^{-92}-30q^{-94}-29q^{-96}+28q^{-98}+38q^{-100}+15q^{-102}-15q^{-104}-45q^{-106}-6q^{-108}+20q^{-110}+27q^{-112}+12q^{-114}-25q^{-116}-17q^{-118}-4q^{-120}+12q^{-122}+16q^{-124}-4q^{-126}-6q^{-128}-6q^{-130}+6q^{-134}+q^{-136}-2q^{-140}-q^{-142}+q^{-144}$
5	$-q^{95}+2q^{93}+q^{91}-2q^{89}-q^{87}-3q^{85}+q^{83}+6q^{81}+6q^{79}-4q^{77}-10q^{75}-10q^{73}+2q^{71}+19q^{69}+19q^{67}-32q^{63}-32q^{61}+2q^{59}+41q^{57}+55q^{55}+9q^{53}-68q^{51}-83q^{49}-11q^{47}+81q^{45}+114q^{43}+34q^{41}-112q^{39}-160q^{37}-42q^{35}+137q^{33}+203q^{31}+69q^{29}-161q^{27}-261q^{25}-103q^{23}+180q^{21}+316q^{19}+152q^{17}-172q^{15}-354q^{13}-219q^{11}+135q^{9}+373q^{7}+281q^{5}-61q^{3}-345q-325q^{-1}-34q^{-3}+268q^{-5}+333q^{-7}+131q^{-9}-158q^{-11}-292q^{-13}-193q^{-15}+30q^{-17}+210q^{-19}+224q^{-21}+77q^{-23}-114q^{-25}-207q^{-27}-145q^{-29}+19q^{-31}+172q^{-33}+180q^{-35}+37q^{-37}-137q^{-39}-184q^{-41}-65q^{-43}+111q^{-45}+183q^{-47}+74q^{-49}-114q^{-51}-185q^{-53}-69q^{-55}+124q^{-57}+205q^{-59}+80q^{-61}-137q^{-63}-235q^{-65}-107q^{-67}+139q^{-69}+264q^{-71}+147q^{-73}-116q^{-75}-283q^{-77}-199q^{-79}+71q^{-81}+282q^{-83}+241q^{-85}-6q^{-87}-248q^{-89}-273q^{-91}-66q^{-93}+190q^{-95}+273q^{-97}+126q^{-99}-108q^{-101}-237q^{-103}-166q^{-105}+21q^{-107}+170q^{-109}+173q^{-111}+46q^{-113}-80q^{-115}-131q^{-117}-90q^{-119}-2q^{-121}+69q^{-123}+84q^{-125}+53q^{-127}+10q^{-129}-41q^{-131}-74q^{-133}-66q^{-135}-19q^{-137}+43q^{-139}+87q^{-141}+77q^{-143}+7q^{-145}-71q^{-147}-101q^{-149}-58q^{-151}+28q^{-153}+92q^{-155}+90q^{-157}+21q^{-159}-58q^{-161}-90q^{-163}-52q^{-165}+16q^{-167}+63q^{-169}+62q^{-171}+16q^{-173}-34q^{-175}-51q^{-177}-27q^{-179}+7q^{-181}+29q^{-183}+28q^{-185}+6q^{-187}-14q^{-189}-17q^{-191}-7q^{-193}+2q^{-195}+8q^{-197}+8q^{-199}-4q^{-203}-3q^{-205}-q^{-207}+2q^{-211}+q^{-213}-q^{-215}$

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	$-q^{10}+q^{8}+q^{6}-q^{4}+2q^{2}-q^{-6}+q^{-8}+q^{-12}+2q^{-14}-q^{-16}-q^{-22}$
1,1	$q^{28}-4q^{26}+8q^{24}-12q^{22}+18q^{20}-28q^{18}+34q^{16}-36q^{14}+39q^{12}-42q^{10}+42q^{8}-34q^{6}+32q^{4}-32q^{2}+30-24q^{-2}+21q^{-4}-12q^{-6}+22q^{-10}-44q^{-12}+76q^{-14}-102q^{-16}+124q^{-18}-137q^{-20}+146q^{-22}-140q^{-24}+116q^{-26}-91q^{-28}+54q^{-30}-20q^{-32}-22q^{-34}+56q^{-36}-74q^{-38}+92q^{-40}-92q^{-42}+85q^{-44}-70q^{-46}+52q^{-48}-38q^{-50}+21q^{-52}-12q^{-54}+6q^{-56}-2q^{-58}+q^{-60}$
2,0	$q^{26}-q^{24}-2q^{22}+q^{20}+2q^{18}-q^{16}-3q^{14}+4q^{12}+4q^{10}-5q^{8}-4q^{6}+5q^{4}+2q^{2}-3+4q^{-4}+2q^{-6}-q^{-8}+2q^{-10}+q^{-12}-q^{-14}+3q^{-16}+q^{-18}-4q^{-20}-2q^{-22}+2q^{-24}-4q^{-28}-2q^{-30}+4q^{-32}+3q^{-34}-2q^{-36}-q^{-38}+3q^{-40}+2q^{-42}-2q^{-44}-3q^{-46}+q^{-48}+q^{-50}-q^{-52}-q^{-54}+q^{-58}$

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	$q^{22}-2q^{20}-q^{18}+4q^{16}-3q^{14}-2q^{12}+6q^{10}-q^{8}-4q^{6}+6q^{4}+q^{2}-4+3q^{-2}+q^{-4}-3q^{-6}-q^{-8}+2q^{-10}+2q^{-12}-3q^{-14}+2q^{-16}+5q^{-18}-3q^{-20}+q^{-22}+5q^{-24}-3q^{-26}+2q^{-30}-4q^{-32}-q^{-34}+q^{-36}-3q^{-38}+q^{-40}+q^{-42}-q^{-44}+q^{-46}$
1,0,0	$-q^{13}+q^{11}+q^{7}-q^{5}+2q^{3}+q^{-1}-q^{-7}-q^{-9}+q^{-11}+2q^{-15}+q^{-17}+2q^{-19}-q^{-21}-q^{-25}-q^{-29}$

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	$-q^{22}+2q^{20}-3q^{18}+4q^{16}-5q^{14}+6q^{12}-6q^{10}+7q^{8}-6q^{6}+6q^{4}-3q^{2}+3q^{-2}-5q^{-4}+9q^{-6}-11q^{-8}+14q^{-10}-14q^{-12}+13q^{-14}-12q^{-16}+9q^{-18}-7q^{-20}+3q^{-22}+q^{-24}-3q^{-26}+6q^{-28}-6q^{-30}+8q^{-32}-7q^{-34}+7q^{-36}-5q^{-38}+3q^{-40}-3q^{-42}+q^{-44}-q^{-46}$
1,0	$q^{36}-2q^{32}-2q^{30}+q^{28}+4q^{26}+q^{24}-4q^{22}-4q^{20}+2q^{18}+6q^{16}+3q^{14}-4q^{12}-5q^{10}+q^{8}+7q^{6}+2q^{4}-5q^{2}-4+3q^{-2}+5q^{-4}-q^{-6}-6q^{-8}-q^{-10}+5q^{-12}+3q^{-14}-3q^{-16}-2q^{-18}+3q^{-20}+3q^{-22}-2q^{-24}-3q^{-26}+3q^{-28}+5q^{-30}-q^{-32}-7q^{-34}-2q^{-36}+7q^{-38}+6q^{-40}-3q^{-42}-8q^{-44}+7q^{-48}+4q^{-50}-5q^{-52}-6q^{-54}+q^{-56}+5q^{-58}-4q^{-62}-2q^{-64}+2q^{-66}+2q^{-68}-q^{-70}-q^{-72}+q^{-76}$

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

$q^{52}-2q^{50}+3q^{48}-4q^{46}+q^{44}-3q^{40}+8q^{38}-10q^{36}+11q^{34}-7q^{32}+q^{30}+5q^{28}-10q^{26}+14q^{24}-14q^{22}+11q^{20}-6q^{18}-2q^{16}+9q^{14}-10q^{12}+13q^{10}-11q^{8}+8q^{6}-3q^{4}-3q^{2}+9-10q^{-2}+9q^{-4}-3q^{-6}-q^{-8}+6q^{-10}-7q^{-12}+3q^{-14}+5q^{-16}-13q^{-18}+15q^{-20}-14q^{-22}+q^{-24}+14q^{-26}-26q^{-28}+28q^{-30}-23q^{-32}+10q^{-34}+6q^{-36}-22q^{-38}+29q^{-40}-26q^{-42}+18q^{-44}-2q^{-46}-10q^{-48}+19q^{-50}-13q^{-52}+12q^{-54}-10q^{-58}+14q^{-60}-9q^{-62}+13q^{-66}-22q^{-68}+24q^{-70}-15q^{-72}-q^{-74}+15q^{-76}-27q^{-78}+27q^{-80}-21q^{-82}+6q^{-84}+5q^{-86}-15q^{-88}+17q^{-90}-14q^{-92}+8q^{-94}-q^{-96}-3q^{-98}+3q^{-100}-4q^{-102}+3q^{-104}-q^{-106}+q^{-108}$

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 10"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

$3t^{2}-11t+17-11t^{-1}+3t^{-2}$

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

$3z^{4}+z^{2}+1$

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

$\{1\}$

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 45, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

$-q^{7}+2q^{6}-3q^{5}+5q^{4}-6q^{3}+7q^{2}-7q+6-4q^{-1}+3q^{-2}-q^{-3}$

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

$z^{4}a^{-2}+z^{4}a^{-4}+z^{4}-a^{2}z^{2}+2z^{2}a^{-4}-z^{2}a^{-6}+z^{2}-a^{-2}+2a^{-4}-a^{-6}+1$

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

$z^{9}a^{-3}+z^{9}a^{-5}+3z^{8}a^{-2}+5z^{8}a^{-4}+2z^{8}a^{-6}+4z^{7}a^{-1}+2z^{7}a^{-3}-z^{7}a^{-5}+z^{7}a^{-7}-7z^{6}a^{-2}-21z^{6}a^{-4}-10z^{6}a^{-6}+4z^{6}+4az^{5}-7z^{5}a^{-1}-16z^{5}a^{-3}-10z^{5}a^{-5}-5z^{5}a^{-7}+3a^{2}z^{4}+5z^{4}a^{-2}+26z^{4}a^{-4}+15z^{4}a^{-6}-3z^{4}+a^{3}z^{3}-3az^{3}+3z^{3}a^{-1}+17z^{3}a^{-3}+17z^{3}a^{-5}+7z^{3}a^{-7}-2a^{2}z^{2}-4z^{2}a^{-2}-12z^{2}a^{-4}-8z^{2}a^{-6}-2z^{2}-za^{-1}-4za^{-3}-6za^{-5}-3za^{-7}+a^{-2}+2a^{-4}+a^{-6}+1$