9 36

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ -t^3+5 t^2-8 t+9-8 t^{-1} +5 t^{-2} - t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ -z^6-z^4+3 z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 37, 4 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ -q^9+2 q^8-4 q^7+6 q^6-6 q^5+6 q^4-5 q^3+4 q^2-2 q+1 }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} +2 z^4 a^{-6} +3 z^2 a^{-2} -5 z^2 a^{-4} +6 z^2 a^{-6} -z^2 a^{-8} +2 a^{-2} -3 a^{-4} +4 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^8 a^{-4} +z^8 a^{-6} +2 z^7 a^{-3} +5 z^7 a^{-5} +3 z^7 a^{-7} +z^6 a^{-2} +z^6 a^{-4} +4 z^6 a^{-6} +4 z^6 a^{-8} -7 z^5 a^{-3} -14 z^5 a^{-5} -4 z^5 a^{-7} +3 z^5 a^{-9} -4 z^4 a^{-2} -12 z^4 a^{-4} -17 z^4 a^{-6} -7 z^4 a^{-8} +2 z^4 a^{-10} +6 z^3 a^{-3} +9 z^3 a^{-5} -2 z^3 a^{-9} +z^3 a^{-11} +5 z^2 a^{-2} +12 z^2 a^{-4} +15 z^2 a^{-6} +7 z^2 a^{-8} -z^2 a^{-10} -z a^{-3} -2 z a^{-5} +z a^{-7} +z a^{-9} -z a^{-11} -2 a^{-2} -3 a^{-4} -4 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-4} + q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} -2 q^{-12} + q^{-14} + q^{-16} + q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-22} - q^{-26} - q^{-28} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +4 q^{-6} -5 q^{-8} +5 q^{-10} -2 q^{-12} -4 q^{-14} +14 q^{-16} -17 q^{-18} +19 q^{-20} -11 q^{-22} -2 q^{-24} +18 q^{-26} -27 q^{-28} +28 q^{-30} -17 q^{-32} + q^{-34} +13 q^{-36} -23 q^{-38} +20 q^{-40} -9 q^{-42} -5 q^{-44} +15 q^{-46} -18 q^{-48} +9 q^{-50} +3 q^{-52} -18 q^{-54} +24 q^{-56} -24 q^{-58} +16 q^{-60} + q^{-62} -18 q^{-64} +32 q^{-66} -33 q^{-68} +28 q^{-70} -9 q^{-72} -10 q^{-74} +25 q^{-76} -28 q^{-78} +24 q^{-80} -7 q^{-82} -7 q^{-84} +19 q^{-86} -16 q^{-88} +6 q^{-90} +6 q^{-92} -16 q^{-94} +18 q^{-96} -11 q^{-98} -2 q^{-100} +11 q^{-102} -18 q^{-104} +20 q^{-106} -15 q^{-108} +4 q^{-110} +3 q^{-112} -12 q^{-114} +12 q^{-116} -13 q^{-118} +10 q^{-120} -5 q^{-122} + q^{-124} +3 q^{-126} -7 q^{-128} +6 q^{-130} -5 q^{-132} +4 q^{-134} -2 q^{-136} + q^{-140} -2 q^{-142} +2 q^{-144} - q^{-146} + q^{-148} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 9_36.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ q- q^{-1} +2 q^{-3} - q^{-5} + q^{-7} +2 q^{-13} -2 q^{-15} + q^{-17} - q^{-19} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^6-q^4-2 q^2+4+ q^{-2} -6 q^{-4} +4 q^{-6} +5 q^{-8} -6 q^{-10} + q^{-12} +7 q^{-14} -4 q^{-16} -3 q^{-18} +5 q^{-20} -4 q^{-24} + q^{-26} +4 q^{-28} -3 q^{-30} -5 q^{-32} +7 q^{-34} -7 q^{-38} +5 q^{-40} + q^{-42} -4 q^{-44} +2 q^{-46} - q^{-50} + q^{-52} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ q^{15}-q^{13}-2 q^{11}+5 q^7+3 q^5-7 q^3-8 q+6 q^{-1} +14 q^{-3} -18 q^{-7} -6 q^{-9} +17 q^{-11} +16 q^{-13} -11 q^{-15} -21 q^{-17} +5 q^{-19} +23 q^{-21} +4 q^{-23} -21 q^{-25} -10 q^{-27} +20 q^{-29} +15 q^{-31} -16 q^{-33} -17 q^{-35} +12 q^{-37} +19 q^{-39} -9 q^{-41} -21 q^{-43} +3 q^{-45} +18 q^{-47} +3 q^{-49} -16 q^{-51} -12 q^{-53} +10 q^{-55} +20 q^{-57} -2 q^{-59} -24 q^{-61} -5 q^{-63} +22 q^{-65} +14 q^{-67} -20 q^{-69} -14 q^{-71} +12 q^{-73} +12 q^{-75} -6 q^{-77} -8 q^{-79} +3 q^{-81} +4 q^{-83} -2 q^{-85} - q^{-87} + q^{-89} + q^{-97} - q^{-99} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ q^{28}-q^{26}-2 q^{24}+q^{20}+7 q^{18}+q^{16}-7 q^{14}-9 q^{12}-8 q^{10}+17 q^8+19 q^6+5 q^4-17 q^2-39-2 q^{-2} +28 q^{-4} +44 q^{-6} +18 q^{-8} -51 q^{-10} -49 q^{-12} -17 q^{-14} +51 q^{-16} +78 q^{-18} +3 q^{-20} -54 q^{-22} -83 q^{-24} -10 q^{-26} +86 q^{-28} +73 q^{-30} +8 q^{-32} -94 q^{-34} -82 q^{-36} +29 q^{-38} +93 q^{-40} +71 q^{-42} -55 q^{-44} -104 q^{-46} -27 q^{-48} +70 q^{-50} +92 q^{-52} -15 q^{-54} -91 q^{-56} -48 q^{-58} +52 q^{-60} +85 q^{-62} -77 q^{-66} -54 q^{-68} +37 q^{-70} +75 q^{-72} +23 q^{-74} -56 q^{-76} -71 q^{-78} - q^{-80} +55 q^{-82} +69 q^{-84} +4 q^{-86} -75 q^{-88} -69 q^{-90} -6 q^{-92} +99 q^{-94} +89 q^{-96} -29 q^{-98} -105 q^{-100} -89 q^{-102} +60 q^{-104} +126 q^{-106} +38 q^{-108} -69 q^{-110} -113 q^{-112} -2 q^{-114} +81 q^{-116} +55 q^{-118} -8 q^{-120} -67 q^{-122} -22 q^{-124} +25 q^{-126} +26 q^{-128} +11 q^{-130} -22 q^{-132} -8 q^{-134} +4 q^{-136} +3 q^{-138} +7 q^{-140} -6 q^{-142} - q^{-144} + q^{-146} - q^{-148} +3 q^{-150} -2 q^{-152} - q^{-158} + q^{-160} }[/math]
5	[math]\displaystyle{ q^{45}-q^{43}-2 q^{41}+q^{37}+3 q^{35}+5 q^{33}+q^{31}-9 q^{29}-11 q^{27}-6 q^{25}+5 q^{23}+21 q^{21}+25 q^{19}+6 q^{17}-27 q^{15}-44 q^{13}-34 q^{11}+8 q^9+59 q^7+76 q^5+35 q^3-45 q-106 q^{-1} -100 q^{-3} -15 q^{-5} +100 q^{-7} +164 q^{-9} +110 q^{-11} -40 q^{-13} -176 q^{-15} -207 q^{-17} -84 q^{-19} +125 q^{-21} +269 q^{-23} +221 q^{-25} +2 q^{-27} -242 q^{-29} -333 q^{-31} -173 q^{-33} +140 q^{-35} +375 q^{-37} +336 q^{-39} +30 q^{-41} -322 q^{-43} -450 q^{-45} -221 q^{-47} +200 q^{-49} +482 q^{-51} +381 q^{-53} -35 q^{-55} -433 q^{-57} -485 q^{-59} -128 q^{-61} +338 q^{-63} +519 q^{-65} +253 q^{-67} -222 q^{-69} -494 q^{-71} -330 q^{-73} +118 q^{-75} +436 q^{-77} +348 q^{-79} -47 q^{-81} -372 q^{-83} -329 q^{-85} +8 q^{-87} +313 q^{-89} +296 q^{-91} -3 q^{-93} -278 q^{-95} -265 q^{-97} +8 q^{-99} +260 q^{-101} +253 q^{-103} +5 q^{-105} -247 q^{-107} -268 q^{-109} -46 q^{-111} +216 q^{-113} +294 q^{-115} +133 q^{-117} -138 q^{-119} -318 q^{-121} -258 q^{-123} +15 q^{-125} +301 q^{-127} +383 q^{-129} +166 q^{-131} -219 q^{-133} -481 q^{-135} -364 q^{-137} +81 q^{-139} +496 q^{-141} +531 q^{-143} +115 q^{-145} -430 q^{-147} -633 q^{-149} -289 q^{-151} +295 q^{-153} +616 q^{-155} +423 q^{-157} -124 q^{-159} -530 q^{-161} -459 q^{-163} -22 q^{-165} +380 q^{-167} +414 q^{-169} +112 q^{-171} -228 q^{-173} -320 q^{-175} -139 q^{-177} +112 q^{-179} +213 q^{-181} +116 q^{-183} -39 q^{-185} -118 q^{-187} -82 q^{-189} +6 q^{-191} +60 q^{-193} +48 q^{-195} + q^{-197} -25 q^{-199} -22 q^{-201} -4 q^{-203} +9 q^{-205} +11 q^{-207} +2 q^{-209} -7 q^{-211} -3 q^{-213} +2 q^{-215} +2 q^{-219} + q^{-221} -3 q^{-223} - q^{-225} +2 q^{-227} + q^{-233} - q^{-235} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-4} + q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} -2 q^{-12} + q^{-14} + q^{-16} + q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-22} - q^{-26} - q^{-28} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^4-2 q^2+8-16 q^{-2} +29 q^{-4} -44 q^{-6} +60 q^{-8} -74 q^{-10} +80 q^{-12} -72 q^{-14} +62 q^{-16} -32 q^{-18} +3 q^{-20} +38 q^{-22} -70 q^{-24} +100 q^{-26} -123 q^{-28} +132 q^{-30} -134 q^{-32} +118 q^{-34} -96 q^{-36} +64 q^{-38} -30 q^{-40} +28 q^{-44} -44 q^{-46} +52 q^{-48} -52 q^{-50} +46 q^{-52} -44 q^{-54} +34 q^{-56} -28 q^{-58} +24 q^{-60} -20 q^{-62} +16 q^{-64} -12 q^{-66} +9 q^{-68} -6 q^{-70} +4 q^{-72} -2 q^{-74} + q^{-76} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^4-1+2 q^{-4} + q^{-6} -2 q^{-8} - q^{-10} +4 q^{-12} + q^{-14} -2 q^{-16} +2 q^{-18} +3 q^{-20} - q^{-24} +2 q^{-26} +2 q^{-28} - q^{-30} +2 q^{-32} + q^{-34} -4 q^{-36} -3 q^{-38} +2 q^{-40} -2 q^{-42} -3 q^{-44} +2 q^{-46} +4 q^{-48} + q^{-50} -2 q^{-52} + q^{-54} -3 q^{-58} -2 q^{-60} - q^{-62} + q^{-66} + q^{-68} + q^{-70} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} +2 q^{-4} +2 q^{-6} -2 q^{-8} +4 q^{-10} + q^{-12} -4 q^{-14} +4 q^{-16} - q^{-18} -5 q^{-20} +4 q^{-22} +2 q^{-24} -3 q^{-26} +3 q^{-28} +3 q^{-30} + q^{-32} - q^{-34} + q^{-36} +3 q^{-38} -5 q^{-40} -2 q^{-42} +4 q^{-44} -6 q^{-46} -2 q^{-48} +5 q^{-50} -3 q^{-52} -2 q^{-54} +3 q^{-56} - q^{-60} + q^{-62} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-1} +2 q^{-5} +2 q^{-9} - q^{-11} -2 q^{-15} - q^{-17} + q^{-21} +3 q^{-23} + q^{-25} +3 q^{-27} - q^{-29} -2 q^{-33} - q^{-35} - q^{-37} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-6} +3 q^{-8} + q^{-10} + q^{-12} +3 q^{-14} -3 q^{-18} + q^{-22} -3 q^{-24} - q^{-26} +6 q^{-28} +5 q^{-30} -4 q^{-32} +2 q^{-34} +5 q^{-36} -5 q^{-38} -5 q^{-40} +4 q^{-42} + q^{-44} - q^{-46} +5 q^{-48} +6 q^{-50} - q^{-52} -2 q^{-54} +2 q^{-56} -3 q^{-58} -8 q^{-60} -2 q^{-62} + q^{-64} -4 q^{-66} -2 q^{-68} +2 q^{-70} +2 q^{-72} + q^{-78} + q^{-80} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} +2 q^{-6} + q^{-8} + q^{-10} +2 q^{-12} - q^{-14} -3 q^{-18} - q^{-20} -2 q^{-22} + q^{-26} +3 q^{-28} +3 q^{-30} +2 q^{-32} +3 q^{-34} - q^{-36} -2 q^{-40} -2 q^{-42} - q^{-44} - q^{-46} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} +4 q^{-4} -4 q^{-6} +6 q^{-8} -6 q^{-10} +7 q^{-12} -6 q^{-14} +4 q^{-16} -3 q^{-18} - q^{-20} +4 q^{-22} -8 q^{-24} +11 q^{-26} -11 q^{-28} +13 q^{-30} -11 q^{-32} +11 q^{-34} -7 q^{-36} +5 q^{-38} - q^{-40} -2 q^{-42} +4 q^{-44} -6 q^{-46} +6 q^{-48} -7 q^{-50} +5 q^{-52} -4 q^{-54} +3 q^{-56} -2 q^{-58} + q^{-60} - q^{-62} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^2- q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-6} +3 q^{-8} -2 q^{-10} -4 q^{-12} + q^{-14} +6 q^{-16} +3 q^{-18} -6 q^{-20} -5 q^{-22} +4 q^{-24} +7 q^{-26} -7 q^{-30} -3 q^{-32} +5 q^{-34} +5 q^{-36} -2 q^{-38} -4 q^{-40} +2 q^{-42} +4 q^{-44} -4 q^{-48} +5 q^{-52} +2 q^{-54} -5 q^{-56} -3 q^{-58} +4 q^{-60} +5 q^{-62} -3 q^{-64} -6 q^{-66} +6 q^{-70} + q^{-72} -6 q^{-74} -5 q^{-76} +2 q^{-78} +6 q^{-80} -4 q^{-84} -3 q^{-86} + q^{-88} +3 q^{-90} + q^{-92} - q^{-94} - q^{-96} + q^{-100} }[/math]

D4 Invariants.

Weight

Invariant

1,0,0,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-6} -2 q^{-8} +6 q^{-10} -3 q^{-12} +6 q^{-14} -4 q^{-16} +7 q^{-18} -5 q^{-20} +2 q^{-22} -4 q^{-24} - q^{-28} -4 q^{-30} +4 q^{-32} -6 q^{-34} +9 q^{-36} -7 q^{-38} +12 q^{-40} -6 q^{-42} +12 q^{-44} -7 q^{-46} +9 q^{-48} -5 q^{-50} +4 q^{-52} -4 q^{-54} -2 q^{-56} - q^{-58} -4 q^{-60} +3 q^{-62} -6 q^{-64} +3 q^{-66} -5 q^{-68} +6 q^{-70} -4 q^{-72} +2 q^{-74} -3 q^{-76} +3 q^{-78} - q^{-80} + q^{-82} - q^{-84} + q^{-86} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +4 q^{-6} -5 q^{-8} +5 q^{-10} -2 q^{-12} -4 q^{-14} +14 q^{-16} -17 q^{-18} +19 q^{-20} -11 q^{-22} -2 q^{-24} +18 q^{-26} -27 q^{-28} +28 q^{-30} -17 q^{-32} + q^{-34} +13 q^{-36} -23 q^{-38} +20 q^{-40} -9 q^{-42} -5 q^{-44} +15 q^{-46} -18 q^{-48} +9 q^{-50} +3 q^{-52} -18 q^{-54} +24 q^{-56} -24 q^{-58} +16 q^{-60} + q^{-62} -18 q^{-64} +32 q^{-66} -33 q^{-68} +28 q^{-70} -9 q^{-72} -10 q^{-74} +25 q^{-76} -28 q^{-78} +24 q^{-80} -7 q^{-82} -7 q^{-84} +19 q^{-86} -16 q^{-88} +6 q^{-90} +6 q^{-92} -16 q^{-94} +18 q^{-96} -11 q^{-98} -2 q^{-100} +11 q^{-102} -18 q^{-104} +20 q^{-106} -15 q^{-108} +4 q^{-110} +3 q^{-112} -12 q^{-114} +12 q^{-116} -13 q^{-118} +10 q^{-120} -5 q^{-122} + q^{-124} +3 q^{-126} -7 q^{-128} +6 q^{-130} -5 q^{-132} +4 q^{-134} -2 q^{-136} + q^{-140} -2 q^{-142} +2 q^{-144} - q^{-146} + q^{-148} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 36"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ -t^3+5 t^2-8 t+9-8 t^{-1} +5 t^{-2} - t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ -z^6-z^4+3 z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 37, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ -q^9+2 q^8-4 q^7+6 q^6-6 q^5+6 q^4-5 q^3+4 q^2-2 q+1 }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} +2 z^4 a^{-6} +3 z^2 a^{-2} -5 z^2 a^{-4} +6 z^2 a^{-6} -z^2 a^{-8} +2 a^{-2} -3 a^{-4} +4 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ z^8 a^{-4} +z^8 a^{-6} +2 z^7 a^{-3} +5 z^7 a^{-5} +3 z^7 a^{-7} +z^6 a^{-2} +z^6 a^{-4} +4 z^6 a^{-6} +4 z^6 a^{-8} -7 z^5 a^{-3} -14 z^5 a^{-5} -4 z^5 a^{-7} +3 z^5 a^{-9} -4 z^4 a^{-2} -12 z^4 a^{-4} -17 z^4 a^{-6} -7 z^4 a^{-8} +2 z^4 a^{-10} +6 z^3 a^{-3} +9 z^3 a^{-5} -2 z^3 a^{-9} +z^3 a^{-11} +5 z^2 a^{-2} +12 z^2 a^{-4} +15 z^2 a^{-6} +7 z^2 a^{-8} -z^2 a^{-10} -z a^{-3} -2 z a^{-5} +z a^{-7} +z a^{-9} -z a^{-11} -2 a^{-2} -3 a^{-4} -4 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]