10 76

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ -2 t^3+7 t^2-12 t+15-12 t^{-1} +7 t^{-2} -2 t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ -2 z^6-5 z^4-2 z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 57, 4 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ q^{10}-3 q^9+6 q^8-8 q^7+9 q^6-10 q^5+8 q^4-6 q^3+4 q^2-q+1 }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} -z^6 a^{-6} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} -3 z^4 a^{-6} +z^4 a^{-8} +4 z^2 a^{-2} -6 z^2 a^{-4} -2 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} +4 a^{-2} -4 a^{-4} + a^{-8} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^9 a^{-5} +z^9 a^{-7} +z^8 a^{-4} +4 z^8 a^{-6} +3 z^8 a^{-8} +z^7 a^{-3} -2 z^7 a^{-5} +2 z^7 a^{-7} +5 z^7 a^{-9} +z^6 a^{-2} -9 z^6 a^{-6} -3 z^6 a^{-8} +5 z^6 a^{-10} -2 z^5 a^{-3} +7 z^5 a^{-5} -2 z^5 a^{-7} -8 z^5 a^{-9} +3 z^5 a^{-11} -5 z^4 a^{-2} -7 z^4 a^{-4} +10 z^4 a^{-6} +4 z^4 a^{-8} -7 z^4 a^{-10} +z^4 a^{-12} -2 z^3 a^{-3} -15 z^3 a^{-5} -3 z^3 a^{-7} +7 z^3 a^{-9} -3 z^3 a^{-11} +8 z^2 a^{-2} +9 z^2 a^{-4} -7 z^2 a^{-6} -4 z^2 a^{-8} +3 z^2 a^{-10} -z^2 a^{-12} +4 z a^{-3} +8 z a^{-5} +2 z a^{-7} -2 z a^{-9} -4 a^{-2} -4 a^{-4} + a^{-8} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-2} +2 q^{-4} +3 q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} -3 q^{-12} -2 q^{-14} -2 q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{-2} +3 q^{-6} -2 q^{-8} +3 q^{-10} - q^{-12} +7 q^{-16} -9 q^{-18} +14 q^{-20} -12 q^{-22} +12 q^{-24} + q^{-26} -12 q^{-28} +31 q^{-30} -40 q^{-32} +46 q^{-34} -33 q^{-36} + q^{-38} +33 q^{-40} -65 q^{-42} +80 q^{-44} -67 q^{-46} +28 q^{-48} +17 q^{-50} -59 q^{-52} +71 q^{-54} -63 q^{-56} +24 q^{-58} +17 q^{-60} -50 q^{-62} +46 q^{-64} -24 q^{-66} -19 q^{-68} +58 q^{-70} -75 q^{-72} +60 q^{-74} -21 q^{-76} -35 q^{-78} +87 q^{-80} -115 q^{-82} +106 q^{-84} -59 q^{-86} -3 q^{-88} +66 q^{-90} -101 q^{-92} +104 q^{-94} -68 q^{-96} +17 q^{-98} +32 q^{-100} -60 q^{-102} +55 q^{-104} -22 q^{-106} -19 q^{-108} +51 q^{-110} -52 q^{-112} +28 q^{-114} +11 q^{-116} -53 q^{-118} +76 q^{-120} -74 q^{-122} +48 q^{-124} -8 q^{-126} -33 q^{-128} +60 q^{-130} -64 q^{-132} +54 q^{-134} -28 q^{-136} +3 q^{-138} +15 q^{-140} -29 q^{-142} +28 q^{-144} -21 q^{-146} +12 q^{-148} -2 q^{-150} -3 q^{-152} +5 q^{-154} -6 q^{-156} +4 q^{-158} -2 q^{-160} + q^{-162} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 10_76.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ q+3 q^{-3} -2 q^{-5} +2 q^{-7} -2 q^{-9} - q^{-11} + q^{-13} -2 q^{-15} +3 q^{-17} -2 q^{-19} + q^{-21} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^6+3- q^{-2} -3 q^{-4} +8 q^{-6} -2 q^{-8} -11 q^{-10} +12 q^{-12} +3 q^{-14} -18 q^{-16} +9 q^{-18} +9 q^{-20} -14 q^{-22} +2 q^{-24} +10 q^{-26} -3 q^{-28} -7 q^{-30} +4 q^{-32} +10 q^{-34} -12 q^{-36} -4 q^{-38} +18 q^{-40} -11 q^{-42} -9 q^{-44} +15 q^{-46} -4 q^{-48} -7 q^{-50} +6 q^{-52} -2 q^{-56} + q^{-58} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ q^{15}+2 q^7-q^5-q^3+q+6 q^{-1} -3 q^{-3} -10 q^{-5} +21 q^{-9} +3 q^{-11} -29 q^{-13} -18 q^{-15} +36 q^{-17} +37 q^{-19} -36 q^{-21} -54 q^{-23} +25 q^{-25} +73 q^{-27} -9 q^{-29} -78 q^{-31} -12 q^{-33} +79 q^{-35} +25 q^{-37} -67 q^{-39} -43 q^{-41} +58 q^{-43} +47 q^{-45} -37 q^{-47} -50 q^{-49} +17 q^{-51} +50 q^{-53} +4 q^{-55} -46 q^{-57} -31 q^{-59} +38 q^{-61} +52 q^{-63} -23 q^{-65} -74 q^{-67} +10 q^{-69} +83 q^{-71} +9 q^{-73} -82 q^{-75} -22 q^{-77} +70 q^{-79} +33 q^{-81} -53 q^{-83} -34 q^{-85} +34 q^{-87} +26 q^{-89} -17 q^{-91} -20 q^{-93} +9 q^{-95} +13 q^{-97} -5 q^{-99} -6 q^{-101} + q^{-103} +3 q^{-105} -2 q^{-109} + q^{-111} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ q^{28}-q^{20}+2 q^{18}-q^{16}+3 q^{12}-2 q^{10}+3 q^8-6 q^6-5 q^4+8 q^2+6+15 q^{-2} -17 q^{-4} -32 q^{-6} -5 q^{-8} +22 q^{-10} +71 q^{-12} +3 q^{-14} -76 q^{-16} -79 q^{-18} -15 q^{-20} +156 q^{-22} +118 q^{-24} -45 q^{-26} -187 q^{-28} -182 q^{-30} +141 q^{-32} +267 q^{-34} +135 q^{-36} -175 q^{-38} -382 q^{-40} -48 q^{-42} +278 q^{-44} +354 q^{-46} +10 q^{-48} -433 q^{-50} -266 q^{-52} +125 q^{-54} +433 q^{-56} +213 q^{-58} -319 q^{-60} -360 q^{-62} -48 q^{-64} +365 q^{-66} +301 q^{-68} -162 q^{-70} -333 q^{-72} -148 q^{-74} +237 q^{-76} +295 q^{-78} -9 q^{-80} -255 q^{-82} -214 q^{-84} +84 q^{-86} +257 q^{-88} +167 q^{-90} -131 q^{-92} -277 q^{-94} -132 q^{-96} +171 q^{-98} +360 q^{-100} +64 q^{-102} -282 q^{-104} -362 q^{-106} -6 q^{-108} +447 q^{-110} +278 q^{-112} -145 q^{-114} -456 q^{-116} -212 q^{-118} +341 q^{-120} +350 q^{-122} +53 q^{-124} -333 q^{-126} -287 q^{-128} +136 q^{-130} +234 q^{-132} +143 q^{-134} -135 q^{-136} -194 q^{-138} +18 q^{-140} +76 q^{-142} +98 q^{-144} -26 q^{-146} -78 q^{-148} + q^{-150} +8 q^{-152} +39 q^{-154} -5 q^{-156} -25 q^{-158} +5 q^{-160} -3 q^{-162} +12 q^{-164} -7 q^{-168} +2 q^{-170} -2 q^{-172} +3 q^{-174} -2 q^{-178} + q^{-180} }[/math]
5	[math]\displaystyle{ q^{45}-q^{37}-q^{35}+2 q^{33}+3 q^{27}-5 q^{23}-2 q^{19}-q^{17}+10 q^{15}+10 q^{13}-4 q^{11}-9 q^9-20 q^7-18 q^5+15 q^3+43 q+39 q^{-1} +6 q^{-3} -60 q^{-5} -103 q^{-7} -50 q^{-9} +64 q^{-11} +165 q^{-13} +168 q^{-15} -4 q^{-17} -237 q^{-19} -315 q^{-21} -143 q^{-23} +213 q^{-25} +505 q^{-27} +420 q^{-29} -80 q^{-31} -615 q^{-33} -751 q^{-35} -264 q^{-37} +569 q^{-39} +1085 q^{-41} +751 q^{-43} -298 q^{-45} -1258 q^{-47} -1298 q^{-49} -243 q^{-51} +1179 q^{-53} +1780 q^{-55} +920 q^{-57} -819 q^{-59} -2018 q^{-61} -1629 q^{-63} +196 q^{-65} +1996 q^{-67} +2188 q^{-69} +519 q^{-71} -1668 q^{-73} -2508 q^{-75} -1203 q^{-77} +1184 q^{-79} +2542 q^{-81} +1713 q^{-83} -602 q^{-85} -2384 q^{-87} -2002 q^{-89} +130 q^{-91} +2039 q^{-93} +2073 q^{-95} +269 q^{-97} -1690 q^{-99} -2005 q^{-101} -479 q^{-103} +1337 q^{-105} +1828 q^{-107} +644 q^{-109} -1045 q^{-111} -1666 q^{-113} -744 q^{-115} +779 q^{-117} +1507 q^{-119} +879 q^{-121} -482 q^{-123} -1387 q^{-125} -1092 q^{-127} +127 q^{-129} +1251 q^{-131} +1354 q^{-133} +348 q^{-135} -1024 q^{-137} -1665 q^{-139} -924 q^{-141} +686 q^{-143} +1876 q^{-145} +1573 q^{-147} -168 q^{-149} -1950 q^{-151} -2164 q^{-153} -479 q^{-155} +1770 q^{-157} +2602 q^{-159} +1171 q^{-161} -1359 q^{-163} -2742 q^{-165} -1762 q^{-167} +739 q^{-169} +2579 q^{-171} +2132 q^{-173} -104 q^{-175} -2104 q^{-177} -2191 q^{-179} -454 q^{-181} +1477 q^{-183} +1971 q^{-185} +780 q^{-187} -854 q^{-189} -1530 q^{-191} -867 q^{-193} +345 q^{-195} +1034 q^{-197} +772 q^{-199} -47 q^{-201} -607 q^{-203} -545 q^{-205} -93 q^{-207} +295 q^{-209} +339 q^{-211} +114 q^{-213} -131 q^{-215} -179 q^{-217} -69 q^{-219} +45 q^{-221} +78 q^{-223} +38 q^{-225} -13 q^{-227} -40 q^{-229} -14 q^{-231} +13 q^{-233} +13 q^{-235} +3 q^{-237} -4 q^{-239} -4 q^{-241} -7 q^{-243} +3 q^{-245} +7 q^{-247} - q^{-249} -2 q^{-251} + q^{-253} - q^{-255} -2 q^{-257} +3 q^{-259} -2 q^{-263} + q^{-265} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-2} +2 q^{-4} +3 q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} -3 q^{-12} -2 q^{-14} -2 q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^4+6-4 q^{-2} +18 q^{-4} -20 q^{-6} +42 q^{-8} -62 q^{-10} +93 q^{-12} -140 q^{-14} +182 q^{-16} -240 q^{-18} +272 q^{-20} -302 q^{-22} +288 q^{-24} -244 q^{-26} +164 q^{-28} -46 q^{-30} -92 q^{-32} +246 q^{-34} -378 q^{-36} +502 q^{-38} -576 q^{-40} +612 q^{-42} -587 q^{-44} +512 q^{-46} -402 q^{-48} +254 q^{-50} -107 q^{-52} -40 q^{-54} +160 q^{-56} -244 q^{-58} +292 q^{-60} -300 q^{-62} +282 q^{-64} -246 q^{-66} +195 q^{-68} -144 q^{-70} +102 q^{-72} -66 q^{-74} +38 q^{-76} -20 q^{-78} +10 q^{-80} -4 q^{-82} + q^{-84} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^4+q^2+1+2 q^{-2} +5 q^{-4} +3 q^{-6} + q^{-10} +5 q^{-12} -4 q^{-14} -10 q^{-16} -2 q^{-18} -9 q^{-22} -6 q^{-24} +6 q^{-26} +5 q^{-28} -2 q^{-30} +4 q^{-32} +9 q^{-34} -3 q^{-36} - q^{-38} +7 q^{-40} -6 q^{-44} +2 q^{-46} +4 q^{-48} -6 q^{-50} -5 q^{-52} +5 q^{-54} +3 q^{-56} -6 q^{-58} - q^{-60} +4 q^{-62} - q^{-64} -2 q^{-66} +2 q^{-70} - q^{-74} + q^{-76} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ 1+3 q^{-4} +4 q^{-6} +2 q^{-8} +6 q^{-10} +7 q^{-12} -7 q^{-14} +2 q^{-16} -20 q^{-20} +4 q^{-24} -14 q^{-26} +5 q^{-28} +12 q^{-30} -4 q^{-32} + q^{-34} +5 q^{-36} +3 q^{-38} -5 q^{-40} -3 q^{-42} +11 q^{-44} -5 q^{-46} -9 q^{-48} +14 q^{-50} -4 q^{-52} -11 q^{-54} +11 q^{-56} - q^{-58} -6 q^{-60} +5 q^{-62} -2 q^{-66} + q^{-68} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-1} + q^{-3} +3 q^{-5} +2 q^{-7} +4 q^{-9} - q^{-11} + q^{-13} -4 q^{-15} -2 q^{-17} -3 q^{-19} - q^{-21} - q^{-25} +2 q^{-27} - q^{-29} +2 q^{-31} - q^{-33} +2 q^{-35} - q^{-37} + q^{-39} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-4} +3 q^{-6} +5 q^{-8} +7 q^{-10} +7 q^{-12} +9 q^{-14} +8 q^{-16} +4 q^{-18} -4 q^{-20} -4 q^{-22} -10 q^{-24} -21 q^{-26} -16 q^{-28} -4 q^{-30} -10 q^{-32} -9 q^{-34} +12 q^{-36} +15 q^{-38} +3 q^{-40} +4 q^{-42} +17 q^{-44} +3 q^{-46} -9 q^{-48} +4 q^{-50} +6 q^{-52} -11 q^{-54} -2 q^{-56} +10 q^{-58} -5 q^{-60} -8 q^{-62} +5 q^{-64} +4 q^{-66} -9 q^{-68} -3 q^{-70} +8 q^{-72} + q^{-74} -6 q^{-76} +2 q^{-78} +4 q^{-80} -2 q^{-82} - q^{-84} + q^{-86} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-4} +3 q^{-6} +3 q^{-8} +3 q^{-10} +4 q^{-12} - q^{-14} + q^{-16} -4 q^{-18} -3 q^{-20} -3 q^{-22} -3 q^{-24} - q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} - q^{-32} +2 q^{-34} - q^{-36} +2 q^{-38} +2 q^{-44} - q^{-46} + q^{-48} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ 1+3 q^{-4} -2 q^{-6} +6 q^{-8} -6 q^{-10} +11 q^{-12} -11 q^{-14} +14 q^{-16} -14 q^{-18} +12 q^{-20} -10 q^{-22} +2 q^{-24} +2 q^{-26} -11 q^{-28} +16 q^{-30} -24 q^{-32} +27 q^{-34} -29 q^{-36} +27 q^{-38} -23 q^{-40} +17 q^{-42} -9 q^{-44} +3 q^{-46} +5 q^{-48} -10 q^{-50} +14 q^{-52} -15 q^{-54} +15 q^{-56} -13 q^{-58} +10 q^{-60} -7 q^{-62} +4 q^{-64} -2 q^{-66} + q^{-68} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^2+3 q^{-6} +3 q^{-8} + q^{-10} -2 q^{-12} + q^{-14} +6 q^{-16} +8 q^{-18} -3 q^{-20} -10 q^{-22} -3 q^{-24} +11 q^{-26} +7 q^{-28} -12 q^{-30} -18 q^{-32} -2 q^{-34} +14 q^{-36} +4 q^{-38} -13 q^{-40} -11 q^{-42} +7 q^{-44} +12 q^{-46} -9 q^{-50} +2 q^{-52} +11 q^{-54} +3 q^{-56} -9 q^{-58} -3 q^{-60} +9 q^{-62} +7 q^{-64} -8 q^{-66} -10 q^{-68} +6 q^{-70} +12 q^{-72} -2 q^{-74} -15 q^{-76} -4 q^{-78} +14 q^{-80} +11 q^{-82} -9 q^{-84} -15 q^{-86} +13 q^{-90} +6 q^{-92} -7 q^{-94} -8 q^{-96} + q^{-98} +6 q^{-100} +2 q^{-102} -2 q^{-104} -2 q^{-106} + q^{-110} }[/math]

D4 Invariants.

Weight

Invariant

1,0,0,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} +3 q^{-6} + q^{-8} +7 q^{-10} + q^{-12} +10 q^{-14} - q^{-16} +12 q^{-18} -9 q^{-20} +8 q^{-22} -15 q^{-24} +5 q^{-26} -18 q^{-28} -11 q^{-32} -6 q^{-38} +12 q^{-40} -8 q^{-42} +20 q^{-44} -19 q^{-46} +22 q^{-48} -20 q^{-50} +23 q^{-52} -20 q^{-54} +16 q^{-56} -14 q^{-58} +13 q^{-60} -4 q^{-62} + q^{-64} -5 q^{-68} +10 q^{-70} -11 q^{-72} +9 q^{-74} -13 q^{-76} +13 q^{-78} -9 q^{-80} +8 q^{-82} -8 q^{-84} +6 q^{-86} -3 q^{-88} +2 q^{-90} -2 q^{-92} + q^{-94} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} +3 q^{-6} -2 q^{-8} +3 q^{-10} - q^{-12} +7 q^{-16} -9 q^{-18} +14 q^{-20} -12 q^{-22} +12 q^{-24} + q^{-26} -12 q^{-28} +31 q^{-30} -40 q^{-32} +46 q^{-34} -33 q^{-36} + q^{-38} +33 q^{-40} -65 q^{-42} +80 q^{-44} -67 q^{-46} +28 q^{-48} +17 q^{-50} -59 q^{-52} +71 q^{-54} -63 q^{-56} +24 q^{-58} +17 q^{-60} -50 q^{-62} +46 q^{-64} -24 q^{-66} -19 q^{-68} +58 q^{-70} -75 q^{-72} +60 q^{-74} -21 q^{-76} -35 q^{-78} +87 q^{-80} -115 q^{-82} +106 q^{-84} -59 q^{-86} -3 q^{-88} +66 q^{-90} -101 q^{-92} +104 q^{-94} -68 q^{-96} +17 q^{-98} +32 q^{-100} -60 q^{-102} +55 q^{-104} -22 q^{-106} -19 q^{-108} +51 q^{-110} -52 q^{-112} +28 q^{-114} +11 q^{-116} -53 q^{-118} +76 q^{-120} -74 q^{-122} +48 q^{-124} -8 q^{-126} -33 q^{-128} +60 q^{-130} -64 q^{-132} +54 q^{-134} -28 q^{-136} +3 q^{-138} +15 q^{-140} -29 q^{-142} +28 q^{-144} -21 q^{-146} +12 q^{-148} -2 q^{-150} -3 q^{-152} +5 q^{-154} -6 q^{-156} +4 q^{-158} -2 q^{-160} + q^{-162} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 76"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ -2 t^3+7 t^2-12 t+15-12 t^{-1} +7 t^{-2} -2 t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ -2 z^6-5 z^4-2 z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 57, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ q^{10}-3 q^9+6 q^8-8 q^7+9 q^6-10 q^5+8 q^4-6 q^3+4 q^2-q+1 }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} -z^6 a^{-6} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} -3 z^4 a^{-6} +z^4 a^{-8} +4 z^2 a^{-2} -6 z^2 a^{-4} -2 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} +4 a^{-2} -4 a^{-4} + a^{-8} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ z^9 a^{-5} +z^9 a^{-7} +z^8 a^{-4} +4 z^8 a^{-6} +3 z^8 a^{-8} +z^7 a^{-3} -2 z^7 a^{-5} +2 z^7 a^{-7} +5 z^7 a^{-9} +z^6 a^{-2} -9 z^6 a^{-6} -3 z^6 a^{-8} +5 z^6 a^{-10} -2 z^5 a^{-3} +7 z^5 a^{-5} -2 z^5 a^{-7} -8 z^5 a^{-9} +3 z^5 a^{-11} -5 z^4 a^{-2} -7 z^4 a^{-4} +10 z^4 a^{-6} +4 z^4 a^{-8} -7 z^4 a^{-10} +z^4 a^{-12} -2 z^3 a^{-3} -15 z^3 a^{-5} -3 z^3 a^{-7} +7 z^3 a^{-9} -3 z^3 a^{-11} +8 z^2 a^{-2} +9 z^2 a^{-4} -7 z^2 a^{-6} -4 z^2 a^{-8} +3 z^2 a^{-10} -z^2 a^{-12} +4 z a^{-3} +8 z a^{-5} +2 z a^{-7} -2 z a^{-9} -4 a^{-2} -4 a^{-4} + a^{-8} }[/math]