9 48
From Knot Atlas
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Polynomial invariants
| Alexander polynomial | [math]\displaystyle{ -t^2+7 t-11+7 t^{-1} - t^{-2} }[/math] |
| Conway polynomial | [math]\displaystyle{ -z^4+3 z^2+1 }[/math] |
| 2nd Alexander ideal (db, data sources) | [math]\displaystyle{ \{3,t+1\} }[/math] |
| Determinant and Signature | { 27, 2 } |
| Jones polynomial | [math]\displaystyle{ -2 q^6+3 q^5-4 q^4+6 q^3-4 q^2+4 q-3+ q^{-1} }[/math] |
| HOMFLY-PT polynomial (db, data sources) | [math]\displaystyle{ -z^4 a^{-2} -z^2 a^{-2} +3 z^2 a^{-4} +z^2+3 a^{-4} -2 a^{-6} }[/math] |
| Kauffman polynomial (db, data sources) | [math]\displaystyle{ z^7 a^{-3} +z^7 a^{-5} +3 z^6 a^{-2} +4 z^6 a^{-4} +z^6 a^{-6} +3 z^5 a^{-1} +2 z^5 a^{-3} -z^5 a^{-5} -5 z^4 a^{-2} -6 z^4 a^{-4} +z^4-5 z^3 a^{-1} -3 z^3 a^{-3} +5 z^3 a^{-5} +3 z^3 a^{-7} +2 z^2 a^{-2} +2 z^2 a^{-4} -z^2 a^{-6} -z^2-z a^{-3} -5 z a^{-5} -4 z a^{-7} +3 a^{-4} +2 a^{-6} }[/math] |
| The A2 invariant | [math]\displaystyle{ q^4-q^2-1+ q^{-2} - q^{-4} +2 q^{-6} + q^{-8} +2 q^{-10} +2 q^{-12} + q^{-16} -2 q^{-18} -2 q^{-20} }[/math] |
| The G2 invariant | [math]\displaystyle{ q^{18}-2 q^{16}+4 q^{14}-6 q^{12}+3 q^{10}+q^8-6 q^6+14 q^4-14 q^2+15-8 q^{-2} -7 q^{-4} +16 q^{-6} -23 q^{-8} +18 q^{-10} -9 q^{-12} -5 q^{-14} +13 q^{-16} -13 q^{-18} +10 q^{-20} + q^{-22} -13 q^{-24} +16 q^{-26} -13 q^{-28} + q^{-30} +15 q^{-32} -24 q^{-34} +27 q^{-36} -14 q^{-38} +11 q^{-40} +7 q^{-42} -22 q^{-44} +29 q^{-46} -22 q^{-48} +19 q^{-50} -2 q^{-52} -14 q^{-54} +21 q^{-56} -8 q^{-58} +6 q^{-60} + q^{-62} -15 q^{-64} +14 q^{-66} -5 q^{-68} -8 q^{-70} +14 q^{-72} -24 q^{-74} +21 q^{-76} -5 q^{-78} -10 q^{-80} +11 q^{-82} -18 q^{-84} +16 q^{-86} -9 q^{-88} -2 q^{-90} +3 q^{-92} -7 q^{-94} +7 q^{-96} -2 q^{-98} + q^{-100} + q^{-102} }[/math] |
Further Quantum Invariants
Further quantum knot invariants for 9_48.
A1 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ q^3-2 q+ q^{-1} +2 q^{-5} +2 q^{-7} - q^{-9} + q^{-11} -2 q^{-13} }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ q^{10}-2 q^8-2 q^6+6 q^4-6+5 q^{-2} +2 q^{-4} -7 q^{-6} +2 q^{-8} +4 q^{-10} -2 q^{-12} + q^{-14} +4 q^{-16} +4 q^{-18} -5 q^{-20} +6 q^{-24} -7 q^{-26} -4 q^{-28} +5 q^{-30} -3 q^{-32} -3 q^{-34} +3 q^{-36} + q^{-38} }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ q^{21}-2 q^{19}-2 q^{17}+3 q^{15}+6 q^{13}-13 q^9-4 q^7+14 q^5+11 q^3-13 q-19 q^{-1} +12 q^{-3} +26 q^{-5} -4 q^{-7} -27 q^{-9} - q^{-11} +23 q^{-13} +7 q^{-15} -22 q^{-17} -7 q^{-19} +14 q^{-21} +11 q^{-23} -7 q^{-25} -9 q^{-27} +2 q^{-29} +14 q^{-31} +9 q^{-33} -15 q^{-35} -12 q^{-37} +12 q^{-39} +21 q^{-41} -15 q^{-43} -27 q^{-45} +4 q^{-47} +25 q^{-49} -2 q^{-51} -24 q^{-53} -6 q^{-55} +19 q^{-57} +9 q^{-59} -9 q^{-61} -7 q^{-63} +5 q^{-65} +8 q^{-67} - q^{-69} -2 q^{-71} -2 q^{-73} }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ q^{36}-2 q^{34}-2 q^{32}+3 q^{30}+3 q^{28}+6 q^{26}-7 q^{24}-13 q^{22}-4 q^{20}+5 q^{18}+32 q^{16}+8 q^{14}-25 q^{12}-34 q^{10}-19 q^8+52 q^6+51 q^4-63-81 q^{-2} +30 q^{-4} +93 q^{-6} +64 q^{-8} -44 q^{-10} -120 q^{-12} -27 q^{-14} +78 q^{-16} +104 q^{-18} +2 q^{-20} -106 q^{-22} -62 q^{-24} +33 q^{-26} +90 q^{-28} +31 q^{-30} -60 q^{-32} -57 q^{-34} - q^{-36} +53 q^{-38} +38 q^{-40} -14 q^{-42} -43 q^{-44} -28 q^{-46} +20 q^{-48} +50 q^{-50} +35 q^{-52} -42 q^{-54} -62 q^{-56} -14 q^{-58} +60 q^{-60} +82 q^{-62} -29 q^{-64} -94 q^{-66} -63 q^{-68} +48 q^{-70} +120 q^{-72} +14 q^{-74} -85 q^{-76} -97 q^{-78} +5 q^{-80} +110 q^{-82} +57 q^{-84} -27 q^{-86} -84 q^{-88} -39 q^{-90} +52 q^{-92} +55 q^{-94} +21 q^{-96} -34 q^{-98} -40 q^{-100} + q^{-102} +17 q^{-104} +20 q^{-106} - q^{-108} -13 q^{-110} -7 q^{-112} -3 q^{-114} +3 q^{-116} +3 q^{-118} + q^{-120} }[/math] |
| 5 | [math]\displaystyle{ q^{55}-2 q^{53}-2 q^{51}+3 q^{49}+3 q^{47}+3 q^{45}-q^{43}-7 q^{41}-13 q^{39}-4 q^{37}+14 q^{35}+23 q^{33}+20 q^{31}-4 q^{29}-37 q^{27}-57 q^{25}-18 q^{23}+48 q^{21}+88 q^{19}+69 q^{17}-24 q^{15}-128 q^{13}-149 q^{11}-29 q^9+144 q^7+229 q^5+139 q^3-105 q-305 q^{-1} -269 q^{-3} +18 q^{-5} +328 q^{-7} +385 q^{-9} +115 q^{-11} -291 q^{-13} -471 q^{-15} -249 q^{-17} +206 q^{-19} +491 q^{-21} +361 q^{-23} -85 q^{-25} -460 q^{-27} -411 q^{-29} -18 q^{-31} +372 q^{-33} +424 q^{-35} +98 q^{-37} -283 q^{-39} -372 q^{-41} -141 q^{-43} +180 q^{-45} +312 q^{-47} +159 q^{-49} -111 q^{-51} -235 q^{-53} -155 q^{-55} +37 q^{-57} +179 q^{-59} +157 q^{-61} +10 q^{-63} -131 q^{-65} -166 q^{-67} -64 q^{-69} +96 q^{-71} +196 q^{-73} +133 q^{-75} -74 q^{-77} -229 q^{-79} -196 q^{-81} +25 q^{-83} +265 q^{-85} +295 q^{-87} +19 q^{-89} -300 q^{-91} -372 q^{-93} -115 q^{-95} +286 q^{-97} +454 q^{-99} +203 q^{-101} -245 q^{-103} -491 q^{-105} -306 q^{-107} +150 q^{-109} +483 q^{-111} +382 q^{-113} -30 q^{-115} -399 q^{-117} -420 q^{-119} -84 q^{-121} +288 q^{-123} +395 q^{-125} +182 q^{-127} -139 q^{-129} -317 q^{-131} -223 q^{-133} +23 q^{-135} +206 q^{-137} +204 q^{-139} +57 q^{-141} -98 q^{-143} -153 q^{-145} -90 q^{-147} +23 q^{-149} +79 q^{-151} +67 q^{-153} +19 q^{-155} -27 q^{-157} -45 q^{-159} -21 q^{-161} +3 q^{-163} +12 q^{-165} +17 q^{-167} +8 q^{-169} - q^{-171} -4 q^{-173} -2 q^{-175} -2 q^{-177} }[/math] |
A2 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1,0 | [math]\displaystyle{ q^4-q^2-1+ q^{-2} - q^{-4} +2 q^{-6} + q^{-8} +2 q^{-10} +2 q^{-12} + q^{-16} -2 q^{-18} -2 q^{-20} }[/math] |
| 1,1 | [math]\displaystyle{ q^{12}-4 q^{10}+10 q^8-20 q^6+30 q^4-42 q^2+58-62 q^{-2} +59 q^{-4} -48 q^{-6} +26 q^{-8} -2 q^{-10} -34 q^{-12} +68 q^{-14} -86 q^{-16} +112 q^{-18} -108 q^{-20} +114 q^{-22} -94 q^{-24} +70 q^{-26} -40 q^{-28} +2 q^{-30} +22 q^{-32} -46 q^{-34} +61 q^{-36} -68 q^{-38} +56 q^{-40} -48 q^{-42} +31 q^{-44} -22 q^{-46} +10 q^{-48} -2 q^{-50} +2 q^{-52} +2 q^{-54} }[/math] |
| 2,0 | [math]\displaystyle{ q^{12}-q^{10}-2 q^8+3 q^4+3 q^2-4- q^{-2} +4 q^{-4} + q^{-6} -4 q^{-8} -2 q^{-10} +2 q^{-12} - q^{-14} +2 q^{-18} +5 q^{-20} +2 q^{-22} +6 q^{-24} +4 q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} +3 q^{-32} -2 q^{-34} -7 q^{-36} -4 q^{-38} - q^{-40} -4 q^{-42} -6 q^{-44} +4 q^{-48} +4 q^{-50} + q^{-52} }[/math] |
A3 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 0,1,0 | [math]\displaystyle{ q^8-2 q^6+3 q^2-4+3 q^{-2} +4 q^{-4} -6 q^{-6} + q^{-10} -4 q^{-12} +6 q^{-16} +6 q^{-18} +7 q^{-20} +4 q^{-22} +6 q^{-24} -3 q^{-26} -9 q^{-28} - q^{-30} -6 q^{-32} -7 q^{-34} +4 q^{-36} + q^{-38} - q^{-40} +3 q^{-42} }[/math] |
| 1,0,0 | [math]\displaystyle{ q^5-q^3- q^{-1} + q^{-3} - q^{-5} + q^{-7} + q^{-9} + q^{-11} +2 q^{-13} +2 q^{-15} +3 q^{-17} + q^{-21} -2 q^{-23} -2 q^{-25} -2 q^{-27} }[/math] |
A4 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 0,1,0,0 | [math]\displaystyle{ q^{10}-q^8-2 q^6+2 q^4+q^2-2+5 q^{-4} + q^{-6} -5 q^{-8} +3 q^{-12} -5 q^{-14} -7 q^{-16} +3 q^{-18} + q^{-20} + q^{-22} +9 q^{-24} +14 q^{-26} +9 q^{-28} +9 q^{-30} +10 q^{-32} + q^{-34} -10 q^{-36} -8 q^{-38} -7 q^{-40} -13 q^{-42} -10 q^{-44} - q^{-46} +2 q^{-48} +2 q^{-52} +4 q^{-54} +3 q^{-56} }[/math] |
| 1,0,0,0 | [math]\displaystyle{ q^6-q^4- q^{-2} + q^{-4} - q^{-6} + q^{-8} + q^{-12} + q^{-14} +2 q^{-16} +2 q^{-18} +3 q^{-20} +3 q^{-22} + q^{-26} -2 q^{-28} -2 q^{-30} -2 q^{-32} -2 q^{-34} }[/math] |
B2 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 0,1 | [math]\displaystyle{ q^8-2 q^6+4 q^4-5 q^2+4-5 q^{-2} +4 q^{-4} -2 q^{-6} +3 q^{-10} -4 q^{-12} +8 q^{-14} -8 q^{-16} +10 q^{-18} -7 q^{-20} +8 q^{-22} -4 q^{-24} +3 q^{-26} + q^{-28} -3 q^{-30} +4 q^{-32} -5 q^{-34} +4 q^{-36} -5 q^{-38} +3 q^{-40} -3 q^{-42} }[/math] |
| 1,0 | [math]\displaystyle{ q^{14}-2 q^{10}-2 q^8+2 q^6+4 q^4-q^2-4- q^{-2} +6 q^{-4} +4 q^{-6} -4 q^{-8} -5 q^{-10} +3 q^{-14} - q^{-16} -4 q^{-18} -2 q^{-20} +4 q^{-22} +3 q^{-24} +6 q^{-30} +7 q^{-32} +3 q^{-34} -2 q^{-36} +2 q^{-38} +4 q^{-40} -7 q^{-44} -5 q^{-46} + q^{-48} + q^{-50} -5 q^{-52} -7 q^{-54} - q^{-56} +4 q^{-58} +3 q^{-60} -2 q^{-62} -2 q^{-64} + q^{-66} +3 q^{-68} }[/math] |
D4 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1,0,0,0 | [math]\displaystyle{ q^{10}-2 q^8+2 q^6-3 q^4+4 q^2-4+4 q^{-2} -3 q^{-4} +4 q^{-6} -2 q^{-8} - q^{-10} -2 q^{-14} +2 q^{-16} -6 q^{-18} +6 q^{-20} -3 q^{-22} +12 q^{-24} - q^{-26} +12 q^{-28} +10 q^{-32} - q^{-34} -5 q^{-38} -6 q^{-40} -2 q^{-42} -8 q^{-44} - q^{-46} -6 q^{-48} +4 q^{-50} -2 q^{-52} +4 q^{-54} -2 q^{-56} +3 q^{-58} }[/math] |
G2 Invariants.
| Weight | Invariant |
|---|---|
| 1,0 | [math]\displaystyle{ q^{18}-2 q^{16}+4 q^{14}-6 q^{12}+3 q^{10}+q^8-6 q^6+14 q^4-14 q^2+15-8 q^{-2} -7 q^{-4} +16 q^{-6} -23 q^{-8} +18 q^{-10} -9 q^{-12} -5 q^{-14} +13 q^{-16} -13 q^{-18} +10 q^{-20} + q^{-22} -13 q^{-24} +16 q^{-26} -13 q^{-28} + q^{-30} +15 q^{-32} -24 q^{-34} +27 q^{-36} -14 q^{-38} +11 q^{-40} +7 q^{-42} -22 q^{-44} +29 q^{-46} -22 q^{-48} +19 q^{-50} -2 q^{-52} -14 q^{-54} +21 q^{-56} -8 q^{-58} +6 q^{-60} + q^{-62} -15 q^{-64} +14 q^{-66} -5 q^{-68} -8 q^{-70} +14 q^{-72} -24 q^{-74} +21 q^{-76} -5 q^{-78} -10 q^{-80} +11 q^{-82} -18 q^{-84} +16 q^{-86} -9 q^{-88} -2 q^{-90} +3 q^{-92} -7 q^{-94} +7 q^{-96} -2 q^{-98} + q^{-100} + q^{-102} }[/math] |
.
Computer Talk
The above data is available with the Mathematica package
KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.
(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)
In[1]:=
|
AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"];
<< KnotTheory`
|
Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625.
|
In[3]:=
|
K = Knot["9 48"];
|
In[4]:=
|
Alexander[K][t]
|
KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.
|
Out[4]=
|
[math]\displaystyle{ -t^2+7 t-11+7 t^{-1} - t^{-2} }[/math] |
In[5]:=
|
Conway[K][z]
|
Out[5]=
|
[math]\displaystyle{ -z^4+3 z^2+1 }[/math] |
In[6]:=
|
Alexander[K, 2][t]
|
KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.
|
Out[6]=
|
[math]\displaystyle{ \{3,t+1\} }[/math] |
In[7]:=
|
{KnotDet[K], KnotSignature[K]}
|
Out[7]=
|
{ 27, 2 } |
In[8]:=
|
Jones[K][q]
|
KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.
|
Out[8]=
|
[math]\displaystyle{ -2 q^6+3 q^5-4 q^4+6 q^3-4 q^2+4 q-3+ q^{-1} }[/math] |
In[9]:=
|
HOMFLYPT[K][a, z]
|
KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.
|
Out[9]=
|
[math]\displaystyle{ -z^4 a^{-2} -z^2 a^{-2} +3 z^2 a^{-4} +z^2+3 a^{-4} -2 a^{-6} }[/math] |
In[10]:=
|
Kauffman[K][a, z]
|
KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.
|
Out[10]=
|
[math]\displaystyle{ z^7 a^{-3} +z^7 a^{-5} +3 z^6 a^{-2} +4 z^6 a^{-4} +z^6 a^{-6} +3 z^5 a^{-1} +2 z^5 a^{-3} -z^5 a^{-5} -5 z^4 a^{-2} -6 z^4 a^{-4} +z^4-5 z^3 a^{-1} -3 z^3 a^{-3} +5 z^3 a^{-5} +3 z^3 a^{-7} +2 z^2 a^{-2} +2 z^2 a^{-4} -z^2 a^{-6} -z^2-z a^{-3} -5 z a^{-5} -4 z a^{-7} +3 a^{-4} +2 a^{-6} }[/math] |
