9 11

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ -t^3+5 t^2-7 t+7-7 t^{-1} +5 t^{-2} - t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ -z^6-z^4+4 z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 33, 4 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ -q^9+2 q^8-4 q^7+5 q^6-5 q^5+6 q^4-4 q^3+3 q^2-2 q+1 }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} +2 z^4 a^{-6} +3 z^2 a^{-2} -4 z^2 a^{-4} +6 z^2 a^{-6} -z^2 a^{-8} + a^{-2} - a^{-4} +3 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^8 a^{-4} +z^8 a^{-6} +2 z^7 a^{-3} +4 z^7 a^{-5} +2 z^7 a^{-7} +z^6 a^{-2} -z^6 a^{-4} +z^6 a^{-6} +3 z^6 a^{-8} -8 z^5 a^{-3} -12 z^5 a^{-5} -z^5 a^{-7} +3 z^5 a^{-9} -4 z^4 a^{-2} -5 z^4 a^{-4} -7 z^4 a^{-6} -4 z^4 a^{-8} +2 z^4 a^{-10} +8 z^3 a^{-3} +9 z^3 a^{-5} -3 z^3 a^{-7} -3 z^3 a^{-9} +z^3 a^{-11} +4 z^2 a^{-2} +5 z^2 a^{-4} +6 z^2 a^{-6} +4 z^2 a^{-8} -z^2 a^{-10} -z a^{-3} -2 z a^{-5} +2 z a^{-7} +2 z a^{-9} -z a^{-11} - a^{-2} - a^{-4} -3 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ 1- q^{-8} +2 q^{-10} +2 q^{-14} + q^{-16} + q^{-20} - q^{-22} - q^{-26} - q^{-28} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-6} -4 q^{-8} +3 q^{-10} - q^{-12} -2 q^{-14} +10 q^{-16} -12 q^{-18} +13 q^{-20} -7 q^{-22} -2 q^{-24} +10 q^{-26} -17 q^{-28} +17 q^{-30} -12 q^{-32} +2 q^{-34} +8 q^{-36} -13 q^{-38} +12 q^{-40} -7 q^{-42} -2 q^{-44} +7 q^{-46} -8 q^{-48} +4 q^{-50} - q^{-52} -5 q^{-54} +16 q^{-56} -12 q^{-58} +10 q^{-60} - q^{-62} -8 q^{-64} +19 q^{-66} -20 q^{-68} +18 q^{-70} -9 q^{-72} +16 q^{-76} -19 q^{-78} +17 q^{-80} -8 q^{-82} -2 q^{-84} +8 q^{-86} -10 q^{-88} +4 q^{-90} -4 q^{-94} +7 q^{-96} -6 q^{-98} +3 q^{-102} -10 q^{-104} +10 q^{-106} -9 q^{-108} +4 q^{-110} - q^{-112} -4 q^{-114} +8 q^{-116} -11 q^{-118} +11 q^{-120} -7 q^{-122} +2 q^{-124} + q^{-126} -6 q^{-128} +6 q^{-130} -6 q^{-132} +5 q^{-134} -2 q^{-136} + q^{-140} -2 q^{-142} +2 q^{-144} - q^{-146} + q^{-148} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 9_11.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ q- q^{-1} + q^{-3} - q^{-5} +2 q^{-7} + q^{-9} + q^{-13} -2 q^{-15} + q^{-17} - q^{-19} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^6-q^4-2 q^2+3+ q^{-2} -4 q^{-4} +3 q^{-6} +4 q^{-8} -4 q^{-10} + q^{-12} +4 q^{-14} -4 q^{-16} - q^{-18} +4 q^{-20} -2 q^{-24} +2 q^{-26} +3 q^{-28} -2 q^{-30} -4 q^{-32} +4 q^{-34} - q^{-36} -5 q^{-38} +4 q^{-40} - q^{-42} -3 q^{-44} +3 q^{-46} - q^{-50} + q^{-52} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ q^{15}-q^{13}-2 q^{11}+4 q^7+3 q^5-5 q^3-6 q+4 q^{-1} +9 q^{-3} -11 q^{-7} -4 q^{-9} +11 q^{-11} +8 q^{-13} -7 q^{-15} -10 q^{-17} +4 q^{-19} +13 q^{-21} + q^{-23} -9 q^{-25} -3 q^{-27} +10 q^{-29} +4 q^{-31} -8 q^{-33} -8 q^{-35} +8 q^{-37} +8 q^{-39} -7 q^{-41} -9 q^{-43} +4 q^{-45} +10 q^{-47} -8 q^{-51} -6 q^{-53} +6 q^{-55} +8 q^{-57} - q^{-59} -14 q^{-61} -2 q^{-63} +10 q^{-65} +5 q^{-67} -9 q^{-69} -4 q^{-71} +6 q^{-73} +2 q^{-75} -3 q^{-77} +3 q^{-81} - q^{-83} -2 q^{-85} +2 q^{-87} +2 q^{-89} - q^{-91} - q^{-93} + q^{-97} - q^{-99} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ q^{28}-q^{26}-2 q^{24}+q^{20}+6 q^{18}+q^{16}-5 q^{14}-7 q^{12}-7 q^{10}+12 q^8+13 q^6+3 q^4-10 q^2-24+16 q^{-4} +23 q^{-6} +9 q^{-8} -29 q^{-10} -21 q^{-12} -4 q^{-14} +25 q^{-16} +33 q^{-18} -5 q^{-20} -21 q^{-22} -31 q^{-24} +35 q^{-28} +21 q^{-30} +3 q^{-32} -36 q^{-34} -28 q^{-36} +14 q^{-38} +30 q^{-40} +30 q^{-42} -20 q^{-44} -37 q^{-46} -6 q^{-48} +23 q^{-50} +36 q^{-52} -9 q^{-54} -36 q^{-56} -13 q^{-58} +20 q^{-60} +30 q^{-62} -7 q^{-64} -32 q^{-66} -16 q^{-68} +19 q^{-70} +29 q^{-72} +3 q^{-74} -25 q^{-76} -27 q^{-78} +6 q^{-80} +22 q^{-82} +24 q^{-84} + q^{-86} -29 q^{-88} -25 q^{-90} -6 q^{-92} +38 q^{-94} +35 q^{-96} -11 q^{-98} -37 q^{-100} -38 q^{-102} +22 q^{-104} +47 q^{-106} +14 q^{-108} -18 q^{-110} -45 q^{-112} - q^{-114} +28 q^{-116} +17 q^{-118} +5 q^{-120} -26 q^{-122} -7 q^{-124} +7 q^{-126} +5 q^{-128} +11 q^{-130} -8 q^{-132} -2 q^{-134} -2 q^{-136} -3 q^{-138} +7 q^{-140} -2 q^{-142} + q^{-144} - q^{-146} -3 q^{-148} +2 q^{-150} - q^{-152} + q^{-154} - q^{-158} + q^{-160} }[/math]
5	[math]\displaystyle{ q^{45}-q^{43}-2 q^{41}+q^{37}+3 q^{35}+4 q^{33}+q^{31}-7 q^{29}-9 q^{27}-5 q^{25}+3 q^{23}+15 q^{21}+18 q^{19}+5 q^{17}-18 q^{15}-28 q^{13}-20 q^{11}+5 q^9+35 q^7+41 q^5+16 q^3-27 q-53 q^{-1} -43 q^{-3} - q^{-5} +51 q^{-7} +67 q^{-9} +35 q^{-11} -27 q^{-13} -69 q^{-15} -66 q^{-17} -16 q^{-19} +51 q^{-21} +84 q^{-23} +59 q^{-25} -9 q^{-27} -73 q^{-29} -89 q^{-31} -43 q^{-33} +41 q^{-35} +100 q^{-37} +92 q^{-39} +10 q^{-41} -83 q^{-43} -118 q^{-45} -67 q^{-47} +48 q^{-49} +132 q^{-51} +111 q^{-53} -7 q^{-55} -120 q^{-57} -139 q^{-59} -44 q^{-61} +98 q^{-63} +156 q^{-65} +73 q^{-67} -67 q^{-69} -145 q^{-71} -97 q^{-73} +40 q^{-75} +135 q^{-77} +98 q^{-79} -23 q^{-81} -112 q^{-83} -94 q^{-85} +12 q^{-87} +99 q^{-89} +81 q^{-91} -16 q^{-93} -90 q^{-95} -73 q^{-97} +16 q^{-99} +86 q^{-101} +69 q^{-103} -18 q^{-105} -88 q^{-107} -75 q^{-109} +4 q^{-111} +75 q^{-113} +87 q^{-115} +31 q^{-117} -52 q^{-119} -90 q^{-121} -74 q^{-123} +5 q^{-125} +91 q^{-127} +114 q^{-129} +55 q^{-131} -56 q^{-133} -148 q^{-135} -122 q^{-137} +18 q^{-139} +149 q^{-141} +166 q^{-143} +51 q^{-145} -127 q^{-147} -199 q^{-149} -96 q^{-151} +86 q^{-153} +190 q^{-155} +132 q^{-157} -37 q^{-159} -167 q^{-161} -141 q^{-163} - q^{-165} +127 q^{-167} +128 q^{-169} +23 q^{-171} -82 q^{-173} -104 q^{-175} -34 q^{-177} +51 q^{-179} +74 q^{-181} +33 q^{-183} -25 q^{-185} -47 q^{-187} -29 q^{-189} +8 q^{-191} +28 q^{-193} +22 q^{-195} - q^{-197} -15 q^{-199} -14 q^{-201} -4 q^{-203} +6 q^{-205} +9 q^{-207} +4 q^{-209} -4 q^{-211} -3 q^{-213} - q^{-215} - q^{-217} +2 q^{-219} +2 q^{-221} - q^{-223} + q^{-227} - q^{-229} + q^{-233} - q^{-235} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ 1- q^{-8} +2 q^{-10} +2 q^{-14} + q^{-16} + q^{-20} - q^{-22} - q^{-26} - q^{-28} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^4-2 q^2+6-12 q^{-2} +19 q^{-4} -30 q^{-6} +40 q^{-8} -44 q^{-10} +49 q^{-12} -44 q^{-14} +38 q^{-16} -18 q^{-18} +3 q^{-20} +18 q^{-22} -34 q^{-24} +54 q^{-26} -68 q^{-28} +74 q^{-30} -76 q^{-32} +74 q^{-34} -63 q^{-36} +50 q^{-38} -32 q^{-40} +14 q^{-42} -2 q^{-44} -10 q^{-46} +14 q^{-48} -22 q^{-50} +25 q^{-52} -26 q^{-54} +24 q^{-56} -28 q^{-58} +26 q^{-60} -22 q^{-62} +18 q^{-64} -14 q^{-66} +11 q^{-68} -6 q^{-70} +4 q^{-72} -2 q^{-74} + q^{-76} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^4-1- q^{-2} + q^{-4} + q^{-6} -2 q^{-8} +4 q^{-12} +3 q^{-14} - q^{-16} + q^{-18} +2 q^{-20} - q^{-22} - q^{-24} + q^{-28} -2 q^{-30} +3 q^{-32} +3 q^{-34} + q^{-38} +4 q^{-40} -4 q^{-44} - q^{-46} -2 q^{-50} -4 q^{-52} - q^{-54} - q^{-58} + q^{-66} + q^{-68} + q^{-70} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} + q^{-4} + q^{-6} -2 q^{-8} +3 q^{-10} + q^{-12} -2 q^{-14} +3 q^{-16} -4 q^{-20} +3 q^{-22} +3 q^{-24} -2 q^{-26} +5 q^{-28} +4 q^{-30} +2 q^{-32} - q^{-34} -6 q^{-40} -3 q^{-42} +2 q^{-44} -4 q^{-46} -2 q^{-48} +5 q^{-50} -2 q^{-52} -2 q^{-54} +3 q^{-56} - q^{-60} + q^{-62} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-1} + q^{-5} - q^{-7} + q^{-9} - q^{-11} + q^{-13} + q^{-17} + q^{-19} + q^{-21} +2 q^{-23} +2 q^{-27} - q^{-29} -2 q^{-33} - q^{-35} - q^{-37} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-8} + q^{-14} + q^{-16} +2 q^{-20} +2 q^{-22} - q^{-24} - q^{-26} +2 q^{-28} +2 q^{-30} -4 q^{-32} +2 q^{-34} +6 q^{-36} +2 q^{-38} + q^{-40} +7 q^{-42} +4 q^{-44} + q^{-48} -5 q^{-52} -6 q^{-54} -2 q^{-56} -4 q^{-58} -6 q^{-60} - q^{-62} +2 q^{-64} -2 q^{-66} - q^{-68} +2 q^{-70} +2 q^{-72} + q^{-78} + q^{-80} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-6} + q^{-12} - q^{-14} + q^{-16} - q^{-18} + q^{-20} + q^{-24} + q^{-26} +2 q^{-28} +2 q^{-30} + q^{-32} +2 q^{-34} - q^{-36} -2 q^{-40} -2 q^{-42} - q^{-44} - q^{-46} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ 1- q^{-2} +3 q^{-4} -3 q^{-6} +4 q^{-8} -5 q^{-10} +5 q^{-12} -4 q^{-14} +3 q^{-16} -2 q^{-18} +3 q^{-22} -5 q^{-24} +8 q^{-26} -7 q^{-28} +10 q^{-30} -8 q^{-32} +9 q^{-34} -6 q^{-36} +4 q^{-38} -2 q^{-40} - q^{-42} +2 q^{-44} -4 q^{-46} +4 q^{-48} -5 q^{-50} +4 q^{-52} -4 q^{-54} +3 q^{-56} -2 q^{-58} + q^{-60} - q^{-62} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^2- q^{-2} - q^{-4} +2 q^{-6} +2 q^{-8} -2 q^{-10} -3 q^{-12} + q^{-14} +5 q^{-16} +2 q^{-18} -4 q^{-20} -3 q^{-22} +3 q^{-24} +5 q^{-26} -5 q^{-30} -3 q^{-32} +3 q^{-34} +4 q^{-36} -3 q^{-40} +2 q^{-42} +4 q^{-44} +2 q^{-46} -2 q^{-48} + q^{-50} +4 q^{-52} +2 q^{-54} -4 q^{-56} -3 q^{-58} +2 q^{-60} +2 q^{-62} -3 q^{-64} -5 q^{-66} - q^{-68} +3 q^{-70} + q^{-72} -4 q^{-74} -4 q^{-76} + q^{-78} +5 q^{-80} + q^{-82} -3 q^{-84} -3 q^{-86} + q^{-88} +3 q^{-90} + q^{-92} - q^{-94} - q^{-96} + q^{-100} }[/math]

D4 Invariants.

Weight

Invariant

1,0,0,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +2 q^{-6} -2 q^{-8} +4 q^{-10} -3 q^{-12} +4 q^{-14} -3 q^{-16} +5 q^{-18} -3 q^{-20} +2 q^{-22} -2 q^{-24} + q^{-26} -2 q^{-30} +3 q^{-32} -3 q^{-34} +7 q^{-36} -4 q^{-38} +10 q^{-40} -3 q^{-42} +10 q^{-44} -5 q^{-46} +7 q^{-48} -5 q^{-50} +2 q^{-52} -5 q^{-54} -3 q^{-56} -3 q^{-58} -3 q^{-60} + q^{-62} -4 q^{-64} +2 q^{-66} -3 q^{-68} +5 q^{-70} -3 q^{-72} +2 q^{-74} -3 q^{-76} +3 q^{-78} - q^{-80} + q^{-82} - q^{-84} + q^{-86} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} - q^{-4} +3 q^{-6} -4 q^{-8} +3 q^{-10} - q^{-12} -2 q^{-14} +10 q^{-16} -12 q^{-18} +13 q^{-20} -7 q^{-22} -2 q^{-24} +10 q^{-26} -17 q^{-28} +17 q^{-30} -12 q^{-32} +2 q^{-34} +8 q^{-36} -13 q^{-38} +12 q^{-40} -7 q^{-42} -2 q^{-44} +7 q^{-46} -8 q^{-48} +4 q^{-50} - q^{-52} -5 q^{-54} +16 q^{-56} -12 q^{-58} +10 q^{-60} - q^{-62} -8 q^{-64} +19 q^{-66} -20 q^{-68} +18 q^{-70} -9 q^{-72} +16 q^{-76} -19 q^{-78} +17 q^{-80} -8 q^{-82} -2 q^{-84} +8 q^{-86} -10 q^{-88} +4 q^{-90} -4 q^{-94} +7 q^{-96} -6 q^{-98} +3 q^{-102} -10 q^{-104} +10 q^{-106} -9 q^{-108} +4 q^{-110} - q^{-112} -4 q^{-114} +8 q^{-116} -11 q^{-118} +11 q^{-120} -7 q^{-122} +2 q^{-124} + q^{-126} -6 q^{-128} +6 q^{-130} -6 q^{-132} +5 q^{-134} -2 q^{-136} + q^{-140} -2 q^{-142} +2 q^{-144} - q^{-146} + q^{-148} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 11"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ -t^3+5 t^2-7 t+7-7 t^{-1} +5 t^{-2} - t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ -z^6-z^4+4 z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 33, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ -q^9+2 q^8-4 q^7+5 q^6-5 q^5+6 q^4-4 q^3+3 q^2-2 q+1 }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -4 z^4 a^{-4} +2 z^4 a^{-6} +3 z^2 a^{-2} -4 z^2 a^{-4} +6 z^2 a^{-6} -z^2 a^{-8} + a^{-2} - a^{-4} +3 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ z^8 a^{-4} +z^8 a^{-6} +2 z^7 a^{-3} +4 z^7 a^{-5} +2 z^7 a^{-7} +z^6 a^{-2} -z^6 a^{-4} +z^6 a^{-6} +3 z^6 a^{-8} -8 z^5 a^{-3} -12 z^5 a^{-5} -z^5 a^{-7} +3 z^5 a^{-9} -4 z^4 a^{-2} -5 z^4 a^{-4} -7 z^4 a^{-6} -4 z^4 a^{-8} +2 z^4 a^{-10} +8 z^3 a^{-3} +9 z^3 a^{-5} -3 z^3 a^{-7} -3 z^3 a^{-9} +z^3 a^{-11} +4 z^2 a^{-2} +5 z^2 a^{-4} +6 z^2 a^{-6} +4 z^2 a^{-8} -z^2 a^{-10} -z a^{-3} -2 z a^{-5} +2 z a^{-7} +2 z a^{-9} -z a^{-11} - a^{-2} - a^{-4} -3 a^{-6} -2 a^{-8} }[/math]