9 43

Polynomial invariants

Alexander polynomial	[math]\displaystyle{ -t^3+3 t^2-2 t+1-2 t^{-1} +3 t^{-2} - t^{-3} }[/math]
Conway polynomial	[math]\displaystyle{ -z^6-3 z^4+z^2+1 }[/math]
2nd Alexander ideal (db, data sources)	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
Determinant and Signature	{ 13, 4 }
Jones polynomial	[math]\displaystyle{ -q^7+2 q^6-2 q^5+2 q^4-2 q^3+2 q^2-q+1 }[/math]
HOMFLY-PT polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -5 z^4 a^{-4} +z^4 a^{-6} +4 z^2 a^{-2} -7 z^2 a^{-4} +4 z^2 a^{-6} +3 a^{-2} -4 a^{-4} +3 a^{-6} - a^{-8} }[/math]
Kauffman polynomial (db, data sources)	[math]\displaystyle{ z^7 a^{-3} +z^7 a^{-5} +z^6 a^{-2} +3 z^6 a^{-4} +2 z^6 a^{-6} -4 z^5 a^{-3} -3 z^5 a^{-5} +z^5 a^{-7} -5 z^4 a^{-2} -13 z^4 a^{-4} -8 z^4 a^{-6} +3 z^3 a^{-3} +z^3 a^{-5} -2 z^3 a^{-7} +7 z^2 a^{-2} +14 z^2 a^{-4} +9 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} +z a^{-7} +z a^{-9} -3 a^{-2} -4 a^{-4} -3 a^{-6} - a^{-8} }[/math]
The A2 invariant	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-2} + q^{-4} + q^{-6} -2 q^{-12} + q^{-18} + q^{-20} - q^{-26} }[/math]
The G2 invariant	[math]\displaystyle{ q^{-2} +2 q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} + q^{-12} - q^{-14} +4 q^{-16} - q^{-18} +2 q^{-20} + q^{-22} - q^{-24} +3 q^{-26} - q^{-30} +2 q^{-32} - q^{-34} +2 q^{-38} -3 q^{-40} +2 q^{-42} -2 q^{-44} - q^{-48} -3 q^{-50} + q^{-52} -3 q^{-54} + q^{-56} -2 q^{-58} - q^{-64} + q^{-66} - q^{-68} +2 q^{-72} +3 q^{-78} -2 q^{-80} +4 q^{-82} +2 q^{-88} -2 q^{-90} +2 q^{-92} - q^{-100} - q^{-102} + q^{-104} - q^{-106} - q^{-108} - q^{-112} - q^{-116} + q^{-120} }[/math]

Further Quantum Invariants

Further quantum knot invariants for 9_43.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	[math]\displaystyle{ q+ q^{-3} + q^{-13} - q^{-15} }[/math]
2	[math]\displaystyle{ q^6-q^2+1+ q^{-2} - q^{-4} + q^{-8} + q^{-10} + q^{-14} + q^{-16} - q^{-18} + q^{-22} - q^{-24} - q^{-26} - q^{-32} + q^{-36} }[/math]
3	[math]\displaystyle{ q^{15}-q^{11}-q^9+q^7+2 q^5-2 q- q^{-1} + q^{-3} +2 q^{-5} + q^{-7} - q^{-11} + q^{-13} +3 q^{-15} + q^{-17} -2 q^{-19} -2 q^{-21} +2 q^{-23} +2 q^{-25} - q^{-27} -2 q^{-29} + q^{-31} +2 q^{-33} - q^{-35} -2 q^{-37} + q^{-39} + q^{-41} -2 q^{-43} -2 q^{-45} + q^{-49} + q^{-51} -2 q^{-55} - q^{-57} +3 q^{-59} +3 q^{-61} -2 q^{-63} -4 q^{-65} +2 q^{-67} +3 q^{-69} -2 q^{-73} - q^{-75} + q^{-77} }[/math]
4	[math]\displaystyle{ q^{28}-q^{24}-q^{22}-q^{20}+2 q^{18}+2 q^{16}+q^{14}-q^{12}-4 q^{10}-q^8+q^6+3 q^4+3 q^2- q^{-2} -3 q^{-4} -2 q^{-6} +2 q^{-8} +4 q^{-10} +4 q^{-12} -5 q^{-16} -4 q^{-18} + q^{-20} +6 q^{-22} +6 q^{-24} -2 q^{-26} -5 q^{-28} -4 q^{-30} +2 q^{-32} +8 q^{-34} +3 q^{-36} -3 q^{-38} -6 q^{-40} -3 q^{-42} +5 q^{-44} +4 q^{-46} - q^{-48} -5 q^{-50} -4 q^{-52} +3 q^{-54} +3 q^{-56} - q^{-58} -3 q^{-60} -2 q^{-62} +3 q^{-64} +2 q^{-66} - q^{-68} -3 q^{-70} -2 q^{-72} +3 q^{-74} +3 q^{-76} + q^{-78} - q^{-80} -4 q^{-82} -3 q^{-84} +3 q^{-86} +7 q^{-88} +5 q^{-90} -4 q^{-92} -10 q^{-94} -3 q^{-96} +6 q^{-98} +10 q^{-100} +2 q^{-102} -10 q^{-104} -6 q^{-106} +6 q^{-110} +4 q^{-112} -3 q^{-114} -2 q^{-116} - q^{-118} +2 q^{-120} + q^{-122} - q^{-124} }[/math]
5	[math]\displaystyle{ q^{45}-q^{41}-q^{39}-q^{37}+2 q^{33}+3 q^{31}+q^{29}-q^{27}-3 q^{25}-4 q^{23}-2 q^{21}+2 q^{19}+5 q^{17}+4 q^{15}+2 q^{13}-q^{11}-4 q^9-5 q^7-3 q^5+4 q+7 q^{-1} +6 q^{-3} + q^{-5} -6 q^{-7} -9 q^{-9} -7 q^{-11} +9 q^{-15} +13 q^{-17} +8 q^{-19} -3 q^{-21} -11 q^{-23} -12 q^{-25} -4 q^{-27} +8 q^{-29} +16 q^{-31} +12 q^{-33} -12 q^{-37} -16 q^{-39} -8 q^{-41} +6 q^{-43} +16 q^{-45} +13 q^{-47} -13 q^{-51} -16 q^{-53} -5 q^{-55} +9 q^{-57} +16 q^{-59} +9 q^{-61} -6 q^{-63} -15 q^{-65} -12 q^{-67} +2 q^{-69} +12 q^{-71} +11 q^{-73} -11 q^{-77} -11 q^{-79} - q^{-81} +8 q^{-83} +8 q^{-85} -7 q^{-89} -6 q^{-91} +3 q^{-93} +7 q^{-95} +4 q^{-97} -4 q^{-99} -7 q^{-101} -2 q^{-103} +5 q^{-105} +8 q^{-107} +4 q^{-109} -3 q^{-111} -7 q^{-113} -7 q^{-115} -2 q^{-117} +6 q^{-119} +11 q^{-121} +9 q^{-123} + q^{-125} -10 q^{-127} -17 q^{-129} -10 q^{-131} +6 q^{-133} +18 q^{-135} +17 q^{-137} +2 q^{-139} -17 q^{-141} -24 q^{-143} -11 q^{-145} +12 q^{-147} +22 q^{-149} +16 q^{-151} -2 q^{-153} -16 q^{-155} -15 q^{-157} -2 q^{-159} +9 q^{-161} +9 q^{-163} +3 q^{-165} -3 q^{-167} -4 q^{-169} -2 q^{-171} + q^{-173} + q^{-175} }[/math]

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	[math]\displaystyle{ 1+ q^{-2} + q^{-4} + q^{-6} -2 q^{-12} + q^{-18} + q^{-20} - q^{-26} }[/math]
1,1	[math]\displaystyle{ q^4+4-2 q^{-2} +6 q^{-4} -4 q^{-6} +4 q^{-8} -4 q^{-10} - q^{-12} +2 q^{-14} -4 q^{-16} +6 q^{-18} -4 q^{-20} +10 q^{-22} -4 q^{-24} +8 q^{-26} -4 q^{-28} +2 q^{-30} -4 q^{-32} -4 q^{-34} -6 q^{-38} +4 q^{-40} -2 q^{-42} +4 q^{-44} +2 q^{-48} - q^{-52} -2 q^{-54} + q^{-60} }[/math]
2,0	[math]\displaystyle{ q^4+q^2+1+ q^{-4} + q^{-6} - q^{-10} + q^{-20} + q^{-22} + q^{-24} + q^{-26} +2 q^{-28} +2 q^{-30} + q^{-32} -3 q^{-36} -3 q^{-38} -3 q^{-40} -2 q^{-42} - q^{-44} +2 q^{-48} +3 q^{-50} +2 q^{-52} - q^{-58} - q^{-60} - q^{-62} + q^{-66} }[/math]

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	[math]\displaystyle{ 1+2 q^{-4} +2 q^{-6} +2 q^{-8} +2 q^{-10} + q^{-12} - q^{-16} -2 q^{-18} -2 q^{-20} - q^{-22} - q^{-24} + q^{-28} + q^{-30} +2 q^{-32} + q^{-34} + q^{-36} - q^{-40} - q^{-42} - q^{-44} - q^{-46} + q^{-50} }[/math]
1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-1} + q^{-3} +2 q^{-5} + q^{-7} +2 q^{-9} - q^{-13} -2 q^{-15} -2 q^{-17} - q^{-19} +2 q^{-23} + q^{-25} +2 q^{-27} - q^{-33} - q^{-35} }[/math]

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-4} +2 q^{-6} +3 q^{-8} +4 q^{-10} +4 q^{-12} +3 q^{-14} + q^{-16} -2 q^{-20} -4 q^{-22} -4 q^{-24} -2 q^{-26} - q^{-28} +2 q^{-34} + q^{-36} - q^{-38} + q^{-42} +2 q^{-46} +3 q^{-48} + q^{-50} - q^{-56} -3 q^{-58} -2 q^{-60} - q^{-66} + q^{-68} + q^{-70} }[/math]
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} + q^{-4} +2 q^{-6} +2 q^{-8} +2 q^{-10} +2 q^{-12} - q^{-16} -3 q^{-18} -2 q^{-20} -3 q^{-22} - q^{-24} +2 q^{-28} +2 q^{-30} +2 q^{-32} +2 q^{-34} - q^{-40} - q^{-42} - q^{-44} }[/math]

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	[math]\displaystyle{ 1+2 q^{-4} +2 q^{-8} + q^{-12} - q^{-16} -2 q^{-20} + q^{-22} -3 q^{-24} +2 q^{-26} - q^{-28} + q^{-30} + q^{-34} + q^{-36} + q^{-40} - q^{-42} + q^{-44} - q^{-46} - q^{-50} }[/math]
1,0	[math]\displaystyle{ q^2+2 q^{-6} + q^{-8} +2 q^{-14} + q^{-16} - q^{-20} + q^{-24} - q^{-28} - q^{-30} - q^{-38} + q^{-42} - q^{-46} + q^{-50} + q^{-52} - q^{-56} + q^{-58} + q^{-60} - q^{-64} - q^{-72} - q^{-74} + q^{-80} }[/math]

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	[math]\displaystyle{ q^{-2} +2 q^{-6} + q^{-8} +4 q^{-10} +2 q^{-12} +3 q^{-14} +2 q^{-16} +2 q^{-18} -2 q^{-22} -2 q^{-24} -4 q^{-26} -2 q^{-28} -4 q^{-30} - q^{-32} -3 q^{-34} +2 q^{-36} +3 q^{-40} +2 q^{-42} +3 q^{-44} +2 q^{-46} +2 q^{-48} + q^{-50} - q^{-52} -2 q^{-56} - q^{-58} -2 q^{-60} - q^{-64} + q^{-70} }[/math]

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

[math]\displaystyle{ q^{-2} +2 q^{-6} - q^{-8} + q^{-10} + q^{-12} - q^{-14} +4 q^{-16} - q^{-18} +2 q^{-20} + q^{-22} - q^{-24} +3 q^{-26} - q^{-30} +2 q^{-32} - q^{-34} +2 q^{-38} -3 q^{-40} +2 q^{-42} -2 q^{-44} - q^{-48} -3 q^{-50} + q^{-52} -3 q^{-54} + q^{-56} -2 q^{-58} - q^{-64} + q^{-66} - q^{-68} +2 q^{-72} +3 q^{-78} -2 q^{-80} +4 q^{-82} +2 q^{-88} -2 q^{-90} +2 q^{-92} - q^{-100} - q^{-102} + q^{-104} - q^{-106} - q^{-108} - q^{-112} - q^{-116} + q^{-120} }[/math]

.

Computer Talk

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 43"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

[math]\displaystyle{ -t^3+3 t^2-2 t+1-2 t^{-1} +3 t^{-2} - t^{-3} }[/math]

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

[math]\displaystyle{ -z^6-3 z^4+z^2+1 }[/math]

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 13, 4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

[math]\displaystyle{ -q^7+2 q^6-2 q^5+2 q^4-2 q^3+2 q^2-q+1 }[/math]

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

[math]\displaystyle{ -z^6 a^{-4} +z^4 a^{-2} -5 z^4 a^{-4} +z^4 a^{-6} +4 z^2 a^{-2} -7 z^2 a^{-4} +4 z^2 a^{-6} +3 a^{-2} -4 a^{-4} +3 a^{-6} - a^{-8} }[/math]

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

[math]\displaystyle{ z^7 a^{-3} +z^7 a^{-5} +z^6 a^{-2} +3 z^6 a^{-4} +2 z^6 a^{-6} -4 z^5 a^{-3} -3 z^5 a^{-5} +z^5 a^{-7} -5 z^4 a^{-2} -13 z^4 a^{-4} -8 z^4 a^{-6} +3 z^3 a^{-3} +z^3 a^{-5} -2 z^3 a^{-7} +7 z^2 a^{-2} +14 z^2 a^{-4} +9 z^2 a^{-6} +2 z^2 a^{-8} +z a^{-7} +z a^{-9} -3 a^{-2} -4 a^{-4} -3 a^{-6} - a^{-8} }[/math]