3 1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["3 1"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3641 X5263

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 3, -2, 1, -3, 2

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 6 2

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[3]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(2,{−1,−1,−1})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 2, 3, 2 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{5, 2}, {1, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 3_1.

The braid index of 3_1 is only 2, so it's easy to calculate lots of quantum invariants. A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q9 + q5 + q3 + q
2	q24−q20−q18−q16 + q10 + q8 + q6 + q4 + q2
3	−q45 + q41 + q39 + q37−q31−q29−q27−q25−q23 + q15 + q13 + q11 + q9 + q7 + q5 + q3
4	q72−q68−q66−q64 + q58 + q56 + q54 + q52 + q50−q42−q40−q38−q36−q34−q32−q30 + q20 + q18 + q16 + q14 + q12 + q10 + q8 + q6 + q4
5	−q105 + q101 + q99 + q97−q91−q89−q87−q85−q83 + q75 + q73 + q71 + q69 + q67 + q65 + q63−q53−q51−q49−q47−q45−q43−q41−q39−q37 + q25 + q23 + q21 + q19 + q17 + q15 + q13 + q11 + q9 + q7 + q5
6	q144−q140−q138−q136 + q130 + q128 + q126 + q124 + q122−q114−q112−q110−q108−q106−q104−q102 + q92 + q90 + q88 + q86 + q84 + q82 + q80 + q78 + q76−q64−q62−q60−q58−q56−q54−q52−q50−q48−q46−q44 + q30 + q28 + q26 + q24 + q22 + q20 + q18 + q16 + q14 + q12 + q10 + q8 + q6
8	q240−q236−q234−q232 + q226 + q224 + q222 + q220 + q218−q210−q208−q206−q204−q202−q200−q198 + q188 + q186 + q184 + q182 + q180 + q178 + q176 + q174 + q172−q160−q158−q156−q154−q152−q150−q148−q146−q144−q142−q140 + q126 + q124 + q122 + q120 + q118 + q116 + q114 + q112 + q110 + q108 + q106 + q104 + q102−q86−q84−q82−q80−q78−q76−q74−q72−q70−q68−q66−q64−q62−q60−q58 + q40 + q38 + q36 + q34 + q32 + q30 + q28 + q26 + q24 + q22 + q20 + q18 + q16 + q14 + q12 + q10 + q8

A2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q14−q12 + q8 + 2q6 + q4 + q2
0,2	q34 + q32 + q30−q28−2q26−3q24−3q22−q20 + 2q16 + 2q14 + 3q12 + 2q10 + 2q8 + q6 + q4
1,0	−q14−q12 + q8 + 2q6 + q4 + q2
1,1	q36−2q24−2q22−3q20−2q18 + 2q14 + 3q12 + 4q10 + 4q8 + 2q6 + q4
2,0	q34 + q32 + q30−q28−2q26−3q24−3q22−q20 + 2q16 + 2q14 + 3q12 + 2q10 + 2q8 + q6 + q4
3,0	−q60−q58−q56 + 2q52 + 3q50 + 4q48 + 3q46 + 2q44−q42−3q40−5q38−5q36−5q34−4q32−2q30−q28 + q26 + 2q24 + 3q22 + 3q20 + 4q18 + 3q16 + 3q14 + 2q12 + 2q10 + q8 + q6

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,0,1	−q19−q17−q15 + q11 + 2q9 + 2q7 + q5 + q3
0,1,0	q30−q24−2q22−2q20−2q18 + q14 + 3q12 + 3q10 + 3q8 + q6 + q4
1,0,0	−q19−q17−q15 + q11 + 2q9 + 2q7 + q5 + q3
1,0,1	q48 + q38 + q36 + q34−q32−3q30−5q28−6q26−6q24−3q22 + q20 + 4q18 + 7q16 + 8q14 + 7q12 + 5q10 + 2q8 + q6

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,0,0,1	−q24−q22−q20−q18 + q14 + 2q12 + 2q10 + 2q8 + q6 + q4
0,1,0,0	q40 + q38 + q36−q32−3q30−4q28−4q26−3q24−q22 + q20 + 4q18 + 4q16 + 5q14 + 4q12 + 3q10 + q8 + q6
1,0,0,0	−q24−q22−q20−q18 + q14 + 2q12 + 2q10 + 2q8 + q6 + q4

A5 Invariants.

Weight	Invariant
0,0,0,0,1	−q29−q27−q25−q23−q21 + q17 + 2q15 + 2q13 + 2q11 + 2q9 + q7 + q5
1,0,0,0,0	−q29−q27−q25−q23−q21 + q17 + 2q15 + 2q13 + 2q11 + 2q9 + q7 + q5

A6 Invariants.

Weight	Invariant
0,0,0,0,0,1	−q34−q32−q30−q28−q26−q24 + q20 + 2q18 + 2q16 + 2q14 + 2q12 + 2q10 + q8 + q6
1,0,0,0,0,0	−q34−q32−q30−q28−q26−q24 + q20 + 2q18 + 2q16 + 2q14 + 2q12 + 2q10 + q8 + q6

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q30−q24 + q14 + q12 + q10 + q8 + q6 + q4
1,0	q48−q38−q36−q34−q32−q30−q28 + q22 + q20 + 2q18 + q16 + 2q14 + q12 + q10 + q6

B3 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0	q72−q58−q54−q52−q50−q48−q46−q44−q42 + q34 + 2q30 + q28 + 2q26 + q24 + 2q22 + q20 + 2q18 + q14 + q10

B4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q96−q78−q74−q70−q68−q66−q64−q62−q60−q58−q54 + q46 + 2q42 + 2q38 + q36 + 2q34 + q32 + 2q30 + q28 + 2q26 + 2q22 + q18 + q14

B5 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0,0	q120−q98−q94−q90−q86−q84−q82−q80−q78−q76−q74−q70−q66 + q58 + 2q54 + 2q50 + 2q46 + q44 + 2q42 + q40 + 2q38 + q36 + 2q34 + 2q30 + 2q26 + q22 + q18

C3 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0	−q42−q34−q32−q24 + q20 + 2q18 + q16 + q14 + q12 + 2q10 + q8 + q6

C4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	−q54−q44−q42−q40−q32−q30 + q26 + 2q24 + 2q22 + q20 + q18 + q16 + 2q14 + 2q12 + q10 + q8

D4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q72−q64−q62 + 2q56 + 4q54 + 5q52 + 4q50 + 3q48−q46−5q44−9q42−13q40−14q38−13q36−9q34−4q32 + 2q30 + 7q28 + 12q26 + 12q24 + 14q22 + 11q20 + 9q18 + 6q16 + 4q14 + q12 + q10
1,0,0,0	q42−q34−q32−2q30−2q28−2q26−q24 + q20 + 2q18 + 3q16 + 3q14 + 3q12 + 2q10 + q8 + q6

G2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q144−q126 + q122−q116 + 2q112 + q110−q108 + 2q104 + q102−q98−q96 + q94−2q90−2q88−q86−q84−2q82−3q80−2q78−2q76−2q74−2q72−2q70−q68−q64−q62 + q60 + q58 + q56 + 2q54 + q52 + 2q50 + 3q48 + 2q46 + 2q44 + 3q42 + 2q40 + 2q38 + 3q36 + 2q34 + q32 + 2q30 + q28 + q26 + q24 + q18
1,0	q72−q64−q62−q56−2q54−q52 + q50−q46−2q44 + 2q40 + q38−q36 + 2q32 + 2q30 + q28 + 2q22 + 2q20 + q14 + q12 + q10

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["3 1"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

t−1 + t−1

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 3, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−1 + q−3−q−4

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−a4 + z2a2 + 2a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

za5 + z2a4−a4 + za3 + z2a2−2a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["3 1"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ t−1 + t−1, q−1 + q−3−q−4 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−2 + q−5−q−7 + q−8−q−9−q−10 + q−11
3	q−3 + q−7−q−10 + q−11−q−13−q−14 + q−15−q−17 + q−19 + q−20−q−21
4	q−4 + q−9−q−13 + q−14−q−17−q−18 + q−19−q−22−q−23 + 2q−24−q−28 + 2q−29−q−32−q−33 + q−34
5	q−5 + q−11−q−16 + q−17−q−21−q−22 + q−23−q−27−q−28 + q−29 + q−30−q−33 + q−35 + q−36−q−39 + q−42−q−44−q−45 + q−48 + q−49−q−50
6	q−6 + q−13−q−19 + q−20−q−25−q−26 + q−27−q−32−q−33 + q−34 + q−36−q−39−q−40 + 2q−41 + q−43−q−46−q−47 + 2q−48−q−53−2q−54 + 2q−55−q−60−q−61 + 2q−62 + q−64−q−67−q−68 + q−69
7	q−7 + q−15−q−22 + q−23−q−29−q−30 + q−31−q−37−q−38 + q−39 + q−42−q−45−q−46 + q−47 + q−48 + q−50−q−53−q−54 + q−55 + q−56 + q−58−q−59−q−61−q−62 + q−63 + q−66−q−67−q−69−q−70 + q−71 + q−73 + q−74−q−75−q−78 + q−79 + q−81 + q−82−q−83−q−84−q−86 + q−89 + q−90−q−91