10 127

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 127"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3849 X14,6,15,5 X15,20,16,1 X9,16,10,17 X11,18,12,19 X17,10,18,11 X19,12,20,13 X6,14,7,13 X7283

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 10, -2, 1, 3, -9, -10, 2, -5, 7, -6, 8, 9, -3, -4, 5, -7, 6, -8, 4

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 -14 2 16 18 -6 20 10 12

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[41,21,2-]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(3,{−1,−1,−1,−1,−1,−2,1,1,−2,−2})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 3, 10, 3 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 3}, {2, 9}, {8, 10}, {9, 11}, {4, 1}, {3, 8}, {5, 2}, {6, 4}, {7, 5}, {10, 6}, {1, 7}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_127.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q21−q19 + q17−2q15−q9 + 2q7 + 2q3
2	q58−q56−q54 + 2q52−2q50−2q48 + 5q46−q44−5q42 + 6q40 + q38−4q36 + 2q34 + 2q32−q30−4q28 + 2q26 + 2q24−6q22 + q20 + 4q18−5q16 + 5q12−q10−q8 + 3q6 + q4
3	q111−q109−q107 + q103−q99 + 2q97 + 2q95−3q93−5q91 + 4q89 + 9q87−2q85−15q83−q81 + 17q79 + 7q77−19q75−10q73 + 14q71 + 12q69−8q67−12q65 + 4q63 + 9q61 + 3q59−7q57−7q55 + 5q53 + 12q51−4q49−13q47 + q45 + 17q43−q41−17q39−5q37 + 17q35 + 7q33−14q31−12q29 + 7q27 + 13q25−3q23−10q21−2q19 + 8q17 + 5q15−2q13−4q11 + 2q9 + 2q7 + 2q5
5	q265−q263−q261−q257 + q255 + 3q253 + 2q251−q249−q247−4q245−5q243 + q241 + 6q239 + 6q237 + 4q235−2q233−12q231−14q229−2q227 + 14q225 + 24q223 + 18q221−6q219−38q217−44q215−10q213 + 40q211 + 75q209 + 54q207−26q205−107q203−112q201−19q199 + 119q197 + 179q195 + 89q193−96q191−231q189−182q187 + 38q185 + 250q183 + 257q181 + 46q179−214q177−308q175−128q173 + 156q171 + 297q169 + 187q167−71q165−248q163−207q161 + 178q157 + 187q155 + 48q153−99q151−148q149−78q147 + 42q145 + 101q143 + 76q141 + 4q139−67q137−79q135−29q133 + 49q131 + 83q129 + 46q127−44q125−104q123−61q121 + 51q119 + 132q117 + 93q115−58q113−171q111−122q109 + 50q107 + 201q105 + 177q103−29q101−224q99−217q97−17q95 + 208q93 + 262q91 + 79q89−174q87−270q85−143q83 + 98q81 + 250q79 + 196q77−14q75−194q73−214q71−69q69 + 109q67 + 190q65 + 129q63−21q61−134q59−139q57−55q55 + 59q53 + 114q51 + 88q49 + 9q47−65q45−88q43−47q41 + 15q39 + 52q37 + 58q35 + 21q33−23q31−38q29−26q27−5q25 + 17q23 + 25q21 + 11q19−2q17−6q15−10q13−4q11 + 2q9 + 4q7 + 2q5 + 2q3
6	q366−q364−q362−q358 + q356 + q354 + 5q352−3q348−q346−5q344−4q342−2q340 + 10q338 + 6q336 + 2q334 + 4q332−6q330−13q328−15q326 + 7q324 + 11q322 + 13q320 + 22q318 + 4q316−24q314−45q312−17q310 + 2q308 + 30q306 + 71q304 + 56q302−7q300−90q298−104q296−90q294−3q292 + 146q290 + 216q288 + 154q286−40q284−218q282−351q280−265q278 + 60q276 + 396q274 + 542q272 + 336q270−83q268−596q266−783q264−445q262 + 219q260 + 834q258 + 957q256 + 530q254−374q252−1085q250−1118q248−441q246 + 556q244 + 1206q242 + 1176q240 + 301q238−737q236−1274q234−1003q232−114q230 + 778q228 + 1199q226 + 772q224−70q222−778q220−934q218−517q216 + 144q214 + 678q212 + 677q210 + 301q208−193q206−479q204−449q202−176q200 + 178q198 + 338q196 + 295q194 + 79q192−135q190−255q188−205q186−29q184 + 159q182 + 245q180 + 135q178−60q176−248q174−246q172−71q170 + 219q168 + 383q166 + 233q164−103q162−440q160−466q158−173q156 + 355q154 + 683q152 + 500q150−49q148−645q146−812q144−461q142 + 322q140 + 926q138 + 888q136 + 259q134−593q132−1055q130−888q128−48q126 + 821q124 + 1135q122 + 742q120−130q118−884q116−1141q114−614q112 + 250q110 + 909q108 + 1006q106 + 507q104−240q102−863q100−877q98−423q96 + 222q94 + 688q92 + 745q90 + 406q88−170q86−528q84−598q82−356q80 + 34q78 + 376q76 + 487q74 + 305q72 + 48q70−220q68−345q66−303q64−96q62 + 121q60 + 223q58 + 241q56 + 128q54−24q52−158q50−175q48−111q46−24q44 + 76q42 + 118q40 + 100q38 + 26q36−28q34−59q32−64q30−33q28 + 5q26 + 34q24 + 31q22 + 21q20 + 8q18−8q16−15q14−11q12−3q10 + q8 + 3q6 + 3q4 + 3q2 + 1

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q30 + q26−2q22−q20−3q18 + q12 + 3q10 + q8 + 2q6
1,1	q84−2q82 + 4q80−8q78 + 11q76−14q74 + 18q72−24q70 + 29q68−30q66 + 34q64−36q62 + 28q60−16q58−2q56 + 20q54−44q52 + 62q50−72q48 + 82q46−74q44 + 72q42−50q40 + 38q38−17q36−10q34 + 18q32−44q30 + 38q28−52q26 + 40q24−30q22 + 26q20−10q18 + 12q16 + 4q14 + 4q12 + 2q10
2,0	q76−q68−q66−q64 + q62−q60−3q58 + 2q54 + 2q50 + 6q48 + 5q46 + q44−4q38−6q36−2q34−4q32−5q30−q28−q24 + 5q20 + 4q18 + 2q16 + 2q14 + 4q12 + q10

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q68−q66 + q62−3q60 + 3q56−4q54−q52 + 5q50−3q48 + q46 + 5q44 + 3q42 + 3q40 + 2q38 + q36−5q34−10q32−5q30−6q28−8q26 + 4q24 + 5q22 + 2q20 + 7q18 + 5q16 + q14 + 3q12
1,0,0	q39 + 2q35 + q31−2q29−2q27−4q25−3q23−q21 + 3q17 + 2q15 + 4q13 + q11 + 2q9
1,0,1	q110−2q108 + 3q106−3q104−q102 + 6q100−9q98 + 9q96−4q94−6q92 + 16q90−19q88 + 13q86 + 6q84−28q82 + 38q80−30q78 + 5q76 + 24q74−41q72 + 39q70−30q68 + q66 + 3q64−16q62 + 6q60 + 7q58 + 11q56 + 4q54 + 50q52−29q50 + 48q48−15q46−26q44 + 18q42−70q40 + 8q38−37q36−15q34 + 11q32−11q30 + 25q28 + 11q26 + 14q24 + 16q22 + 7q20 + 5q18 + 2q16

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q86 + 2q80−4q76−q74−5q70−5q68 + q64−q62 + 5q60 + 12q58 + 9q56 + 9q54 + 14q52 + 5q50−5q48−7q46−12q44−22q42−19q40−12q38−7q36−4q34 + 5q32 + 12q30 + 9q28 + 10q26 + 9q24 + 6q22 + 2q20 + 3q18
1,0,0,0	q48 + 2q44 + q42 + q40 + q38−2q36−2q34−5q32−4q30−4q28−q26 + 3q22 + 4q20 + 3q18 + 4q16 + q14 + 2q12

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q68−q66 + 2q64−3q62 + 3q60−4q58 + 5q56−4q54 + 3q52−q50−q48 + 3q46−5q44 + 7q42−9q40 + 8q38−9q36 + 5q34−6q32 + q30−2q26 + 4q24−3q22 + 6q20−3q18 + 5q16−q14 + 3q12
1,0	q110−q106−q104 + q102 + 2q100−q98−3q96−2q94 + 2q92 + 4q90−q88−5q86−2q84 + 4q82 + 4q80−2q78−3q76 + 2q74 + 5q72 + q70−2q68 + q66 + 5q64 + 2q62−2q60−3q58 + q56−4q52−7q50−2q48 + q46−2q44−6q42−4q40 + 4q38 + 5q36 + q34−3q32 + q30 + 5q28 + 5q26 + q20 + 3q18

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q94−q92 + q90−2q88 + 2q86−3q84 + 2q82−3q80 + 4q78−4q76 + 2q74−2q72 + 2q70−2q66 + 3q64−q62 + 9q60−2q58 + 10q56−3q54 + 9q52−6q50 + q48−12q46−6q44−10q42−8q40−6q38−5q36 + 4q34 + q32 + 9q30 + 3q28 + 10q26 + 2q24 + 6q22 + 3q18

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q162−q160 + 2q158−3q156 + q154−3q150 + 5q148−6q146 + 6q144−5q142 + q140 + 3q138−8q136 + 12q134−11q132 + 9q130−3q128−5q126 + 13q124−13q122 + 12q120−3q118−5q116 + 11q114−8q112 + 2q110 + 9q108−14q106 + 16q104−8q102−5q100 + 15q98−22q96 + 21q94−16q92 + 2q90 + 7q88−17q86 + 17q84−17q82 + 5q80−11q76 + 9q74−9q72 + 7q68−13q66 + 10q64−4q62−7q60 + 17q58−17q56 + 14q54−3q52−4q50 + 14q48−12q46 + 13q44−4q42 + q40 + 6q38−5q36 + 5q34 + 2q30 + q28

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 127"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 4t2−6t + 7−6t−1 + 4t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6−2z4 + z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 29, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

2q−2−2q−3 + 4q−4−5q−5 + 5q−6−5q−7 + 3q−8−2q−9 + q−10

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4a8 + 3z2a8 + 2a8−z6a6−5z4a6−9z2a6−6a6 + 2z4a4 + 7z2a4 + 5a4

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a12−2z2a12 + 2z5a11−4z3a11 + za11 + 2z6a10−3z4a10 + z2a10 + 2z7a9−5z5a9 + 7z3a9−2za9 + z8a8−2z6a8 + 4z4a8−2z2a8 + 2a8 + 3z7a7−10z5a7 + 16z3a7−8za7 + z8a6−4z6a6 + 11z4a6−14z2a6 + 6a6 + z7a5−3z5a5 + 5z3a5−5za5 + 3z4a4−9z2a4 + 5a4

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 127"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 4t2−6t + 7−6t−1 + 4t−2−t−3, 2q−2−2q−3 + 4q−4−5q−5 + 5q−6−5q−7 + 3q−8−2q−9 + q−10 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_150, K11n51,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q−3 + 2q−4−4q−5 + q−6 + 8q−7−9q−8−4q−9 + 17q−10−12q−11−11q−12 + 25q−13−12q−14−17q−15 + 28q−16−9q−17−17q−18 + 22q−19−4q−20−12q−21 + 11q−22−6q−24 + 4q−25−2q−27 + q−28
3	2q−4−6q−7 + 4q−8 + 7q−9 + 3q−10−16q−11−4q−12 + 14q−13 + 19q−14−22q−15−23q−16 + 12q−17 + 40q−18−12q−19−45q−20 + 56q−22 + 6q−23−61q−24−14q−25 + 65q−26 + 22q−27−68q−28−26q−29 + 65q−30 + 32q−31−62q−32−31q−33 + 49q−34 + 36q−35−42q−36−29q−37 + 25q−38 + 27q−39−16q−40−19q−41 + 7q−42 + 13q−43−3q−44−8q−45 + 2q−46 + 4q−47−q−48−3q−49 + 2q−50 + q−51−2q−53 + q−54
4	q−4 + 2q−5−4q−7−2q−8−3q−9 + 9q−10 + 12q−11−5q−12−8q−13−25q−14 + 6q−15 + 33q−16 + 11q−17 + 8q−18−57q−19−27q−20 + 32q−21 + 34q−22 + 63q−23−62q−24−69q−25−13q−26 + 26q−27 + 138q−28−24q−29−85q−30−80q−31−24q−32 + 196q−33 + 35q−34−68q−35−136q−36−89q−37 + 229q−38 + 84q−39−41q−40−170q−41−140q−42 + 242q−43 + 115q−44−15q−45−187q−46−172q−47 + 234q−48 + 131q−49 + 13q−50−176q−51−189q−52 + 187q−53 + 125q−54 + 51q−55−128q−56−181q−57 + 109q−58 + 85q−59 + 75q−60−54q−61−133q−62 + 38q−63 + 25q−64 + 64q−65 + q−66−68q−67 + 11q−68−14q−69 + 31q−70 + 14q−71−24q−72 + 11q−73−17q−74 + 8q−75 + 6q−76−9q−77 + 11q−78−7q−79 + q−80 + q−81−5q−82 + 5q−83−q−84 + q−85−2q−87 + q−88
5	2q−4 + 2q−6−2q−7−6q−8−6q−9 + 6q−10 + 4q−11 + 15q−12 + 12q−13−14q−14−28q−15−15q−16−8q−17 + 30q−18 + 56q−19 + 23q−20−34q−21−52q−22−70q−23−11q−24 + 79q−25 + 97q−26 + 45q−27−26q−28−125q−29−125q−30−5q−31 + 102q−32 + 158q−33 + 124q−34−64q−35−206q−36−183q−37−43q−38 + 178q−39 + 304q−40 + 146q−41−152q−42−335q−43−284q−44 + 51q−45 + 400q−46 + 399q−47 + 31q−48−389q−49−509q−50−149q−51 + 393q−52 + 594q−53 + 237q−54−365q−55−660q−56−321q−57 + 344q−58 + 707q−59 + 388q−60−326q−61−741q−62−433q−63 + 301q−64 + 767q−65 + 478q−66−289q−67−775q−68−511q−69 + 251q−70 + 779q−71 + 549q−72−217q−73−750q−74−570q−75 + 131q−76 + 709q−77 + 598q−78−70q−79−611q−80−579q−81−47q−82 + 502q−83 + 557q−84 + 107q−85−353q−86−469q−87−188q−88 + 218q−89 + 377q−90 + 201q−91−93q−92−258q−93−195q−94 + 6q−95 + 157q−96 + 152q−97 + 42q−98−73q−99−105q−100−54q−101 + 19q−102 + 59q−103 + 47q−104 + 8q−105−25q−106−33q−107−16q−108 + 9q−109 + 13q−110 + 14q−111 + 7q−112−9q−113−10q−114−q−115−3q−116 + 2q−117 + 9q−118 + q−119−4q−120 + q−121−3q−122−3q−123 + 3q−124 + 2q−125−q−126 + q−127−2q−129 + q−130
6	q−3 + 2q−4−2q−7−4q−8−8q−9−3q−10 + 9q−11 + 16q−12 + 13q−13 + 8q−14−q−15−37q−16−41q−17−22q−18 + 21q−19 + 44q−20 + 62q−21 + 73q−22−19q−23−83q−24−122q−25−66q−26−20q−27 + 79q−28 + 207q−29 + 133q−30 + 30q−31−140q−32−168q−33−237q−34−128q−35 + 165q−36 + 258q−37 + 298q−38 + 117q−39 + 14q−40−348q−41−470q−42−225q−43 + 16q−44 + 368q−45 + 475q−46 + 590q−47−9q−48−527q−49−691q−50−629q−51−86q−52 + 489q−53 + 1213q−54 + 738q−55−28q−56−788q−57−1288q−58−950q−59−38q−60 + 1470q−61 + 1492q−62 + 844q−63−395q−64−1602q−65−1819q−66−878q−67 + 1303q−68 + 1954q−69 + 1696q−70 + 234q−71−1564q−72−2423q−73−1661q−74 + 952q−75 + 2121q−76 + 2292q−77 + 783q−78−1381q−79−2751q−80−2189q−81 + 659q−82 + 2147q−83 + 2629q−84 + 1119q−85−1231q−86−2915q−87−2479q−88 + 484q−89 + 2145q−90 + 2817q−91 + 1314q−92−1121q−93−3001q−94−2667q−95 + 308q−96 + 2095q−97 + 2937q−98 + 1528q−99−905q−100−2958q−101−2827q−102−46q−103 + 1822q−104 + 2907q−105 + 1814q−106−411q−107−2582q−108−2826q−109−580q−110 + 1161q−111 + 2490q−112 + 1970q−113 + 297q−114−1740q−115−2399q−116−1001q−117 + 269q−118 + 1601q−119 + 1699q−120 + 834q−121−702q−122−1524q−123−971q−124−381q−125 + 604q−126 + 1022q−127 + 867q−128 + 9q−129−620q−130−544q−131−504q−132−11q−133 + 358q−134 + 529q−135 + 196q−136−107q−137−125q−138−298q−139−157q−140 + 22q−141 + 204q−142 + 110q−143 + 26q−144 + 53q−145−104q−146−95q−147−48q−148 + 55q−149 + 23q−150 + 12q−151 + 67q−152−21q−153−32q−154−33q−155 + 14q−156−5q−157−7q−158 + 39q−159−4q−161−15q−162 + 5q−163−7q−164−11q−165 + 17q−166 + 2q−167 + 3q−168−5q−169 + 3q−170−3q−171−7q−172 + 5q−173 + 2q−175−q−176 + q−177−2q−179 + q−180