10 25

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 25"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X5,14,6,15 X3,13,4,12 X13,3,14,2 X11,20,12,1 X19,6,20,7 X9,18,10,19 X7,16,8,17 X17,8,18,9 X15,10,16,11

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -2, 6, -8, 9, -7, 10, -5, 3, -4, 2, -10, 8, -9, 7, -6, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 12 14 16 18 20 2 10 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[32212]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,−1,−1,−2,1,−2,−2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 11, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 7}, {1, 10}, {11, 8}, {7, 9}, {10, 12}, {6, 11}, {8, 3}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 1}, {9, 2}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_25.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q21−2q19 + 3q17−3q15 + q13−q11−q9 + 3q7−2q5 + 3q3−q + q−1
2	q58−2q56 + 6q52−8q50−3q48 + 16q46−13q44−9q42 + 23q40−9q38−12q36 + 16q34 + q32−11q30 + 11q26−3q24−15q22 + 13q20 + 7q18−22q16 + 9q14 + 14q12−16q10 + 2q8 + 12q6−7q4−2q2 + 5−q−2−q−4 + q−6
3	q111−2q109 + 3q105 + q103−7q101−4q99 + 15q97 + 6q95−24q93−12q91 + 36q89 + 25q87−51q85−41q83 + 63q81 + 59q79−63q77−81q75 + 59q73 + 92q71−41q69−98q67 + 17q65 + 88q63 + 11q61−69q59−39q57 + 47q55 + 58q53−17q51−74q49−7q47 + 80q45 + 37q43−84q41−55q39 + 73q37 + 76q35−61q33−92q31 + 39q29 + 96q27−15q25−92q23−7q21 + 78q19 + 25q17−57q15−32q13 + 35q11 + 34q9−17q7−24q5 + 4q3 + 17q + q−1−8q−3−2q−5 + 4q−7 + q−9−q−11−q−13 + q−15
4	q180−2q178 + 3q174−2q172 + 2q170−8q168 + q166 + 14q164−5q162 + 2q160−27q158 + 4q156 + 48q154−5q152−16q150−80q148 + 12q146 + 132q144 + 31q142−58q140−214q138−19q136 + 277q134 + 169q132−74q130−425q128−161q126 + 378q124 + 396q122 + 45q120−563q118−398q116 + 284q114 + 543q112 + 275q110−455q108−536q106 + 8q104 + 438q102 + 440q100−141q98−444q96−258q94 + 152q92 + 424q90 + 181q88−209q86−402q84−128q82 + 303q80 + 401q78 + 15q76−444q74−324q72 + 154q70 + 535q68 + 210q66−420q64−465q62−30q60 + 569q58 + 398q56−274q54−525q52−274q50 + 437q48 + 524q46−6q44−420q42−462q40 + 155q38 + 461q36 + 234q34−158q32−444q30−101q28 + 226q26 + 273q24 + 77q22−242q20−167q18 + 8q16 + 143q14 + 133q12−56q10−85q8−55q6 + 24q4 + 70q2 + 7−13q−2−29q−4−8q−6 + 19q−8 + 4q−10 + 3q−12−6q−14−4q−16 + 4q−18 + q−22−q−24−q−26 + q−28
5	q265−2q263 + 3q259−2q257−q255 + q253−3q251 + 9q247 + q245−9q243−5q241−2q239 + 10q237 + 17q235 + 3q233−31q231−40q229 + 14q227 + 69q225 + 71q223−18q221−142q219−164q217 + 19q215 + 280q213 + 320q211 + 11q209−450q207−597q205−139q203 + 653q201 + 1023q199 + 400q197−825q195−1544q193−867q191 + 858q189 + 2109q187 + 1539q185−673q183−2601q181−2306q179 + 210q177 + 2815q175 + 3087q173 + 517q171−2721q169−3641q167−1339q165 + 2193q163 + 3855q161 + 2144q159−1401q157−3640q155−2706q153 + 442q151 + 3028q149 + 2958q147 + 489q145−2171q143−2875q141−1244q139 + 1217q137 + 2528q135 + 1785q133−315q131−2073q129−2095q127−440q125 + 1587q123 + 2299q121 + 1016q119−1182q117−2406q115−1502q113 + 859q111 + 2547q109 + 1892q107−592q105−2641q103−2317q101 + 274q99 + 2763q97 + 2727q95 + 111q93−2719q91−3143q89−670q87 + 2525q85 + 3474q83 + 1302q81−2047q79−3605q77−1997q75 + 1329q73 + 3462q71 + 2597q69−442q67−2983q65−2948q63−500q61 + 2212q59 + 2971q57 + 1292q55−1276q53−2621q51−1795q49 + 335q47 + 1982q45 + 1931q43 + 421q41−1216q39−1722q37−864q35 + 491q33 + 1269q31 + 1004q29 + 48q27−772q25−865q23−327q21 + 319q19 + 611q17 + 408q15−44q13−341q11−327q9−96q7 + 139q5 + 214q3 + 117q−26q−1−106q−3−91q−5−14q−7 + 41q−9 + 47q−11 + 25q−13−10q−15−25q−17−12q−19 + 3q−21 + 4q−23 + 7q−25 + 3q−27−5q−29−2q−31 + 2q−33 + q−39−q−41−q−43 + q−45

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q30−q28 + q26 + q24−2q22 + q20−3q18−q12 + 3q10−q8 + 2q6 + q4 + 1
1,1	q84−4q82 + 10q80−20q78 + 40q76−72q74 + 112q72−164q70 + 233q68−306q66 + 364q64−412q62 + 439q60−418q58 + 342q56−218q54 + 53q52 + 150q50−372q48 + 578q46−749q44 + 866q42−906q40 + 876q38−769q36 + 610q34−402q32 + 176q30 + 25q28−210q26 + 346q24−436q22 + 456q20−436q18 + 390q16−314q14 + 237q12−162q10 + 110q8−62q6 + 35q4−16q2 + 8−2q−2 + q−4
2,0	q76−q74 + 2q70−3q66−q64 + 4q62−2q60−7q58 + 3q56 + 7q54−6q52−4q50 + 9q48 + 6q46−7q44−q42 + 8q40−3q38−6q36 + 6q34 + q32−9q30 + q28 + 4q26−7q24−7q22 + 7q20 + 5q18−6q16 + 9q12 + q10−4q8 + q6 + 4q4 + q2−1 + q−4

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q68−2q66 + 5q62−7q60−2q58 + 13q56−11q54−6q52 + 18q50−10q48−8q46 + 16q44−2q42−6q40 + 7q38 + 4q36−4q34−10q32 + 6q30 + 2q28−18q26 + 8q24 + 9q22−16q20 + 6q18 + 9q16−10q14 + 6q12 + 6q10−3q8 + 3q6 + 2q4−q2 + 1
1,0,0	q39−q37 + 2q35−q33 + 2q31−2q29 + q27−3q25−q23−q21−q19 + q17−q15 + 3q13−q11 + 3q9 + 2q5 + q

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q86−q84−2q82 + 4q80 + 2q78−7q76−q74 + 8q72−2q70−11q68 + 3q66 + 9q64−7q62−7q60 + 13q58 + 5q56−9q54 + 9q52 + 12q50−6q48−4q46 + 10q44−5q42−17q40−q38 + 6q36−12q34−10q32 + 10q30 + 2q28−8q26 + q24 + 7q22 + 5q16 + 5q14 + q12 + 2q10 + 3q8 + q6 + q2
1,0,0,0	q48−q46 + 2q44 + 2q38−2q36 + q34−3q32−q30−2q28−q26−q24 + q20−q18 + 3q16−q14 + 3q12 + q10 + q8 + 2q6 + q2

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q68−2q66 + 4q64−7q62 + 11q60−14q58 + 17q56−19q54 + 18q52−16q50 + 10q48−2q46−6q44 + 16q42−24q40 + 31q38−36q36 + 36q34−34q32 + 26q30−20q28 + 10q26−2q24−7q22 + 14q20−16q18 + 19q16−16q14 + 16q12−12q10 + 9q8−5q6 + 4q4−q2 + 1
1,0	q110−2q106−2q104 + 2q102 + 6q100 + q98−9q96−8q94 + 6q92 + 15q90 + 2q88−17q86−12q84 + 11q82 + 19q80−2q78−19q76−6q74 + 15q72 + 12q70−9q68−12q66 + 6q64 + 14q62−13q58−2q56 + 11q54 + 3q52−13q50−7q48 + 10q46 + 9q44−11q42−17q40 + 4q38 + 20q36 + 5q34−18q32−14q30 + 10q28 + 19q26−14q22−7q20 + 10q18 + 10q16−q14−6q12−q10 + 4q8 + 3q6−q4−q2 + q−2

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q94−2q92 + 2q90−3q88 + 6q86−9q84 + 8q82−10q80 + 15q78−15q76 + 12q74−14q72 + 15q70−9q68 + 4q66−3q64−q62 + 12q60−12q58 + 18q56−21q54 + 28q52−26q50 + 26q48−31q46 + 22q44−22q42 + 14q40−16q38 + 5q36−q34−3q32 + 6q30−11q28 + 14q26−13q24 + 14q22−13q20 + 15q18−8q16 + 11q14−5q12 + 7q10−2q8 + 3q6−q4 + q2

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q162−2q160 + 4q158−6q156 + 5q154−4q152−2q150 + 12q148−22q146 + 30q144−32q142 + 21q140−q138−26q136 + 59q134−76q132 + 76q130−52q128 + 6q126 + 43q124−86q122 + 106q120−91q118 + 48q116 + 10q114−58q112 + 79q110−61q108 + 19q106 + 31q104−66q102 + 63q100−22q98−40q96 + 104q94−132q92 + 112q90−47q88−43q86 + 119q84−163q82 + 151q80−95q78 + 10q76 + 67q74−116q72 + 117q70−77q68 + 11q66 + 41q64−71q62 + 59q60−15q58−38q56 + 82q54−89q52 + 58q50 + q48−65q46 + 108q44−111q42 + 81q40−27q38−31q36 + 73q34−82q32 + 71q30−38q28 + 5q26 + 20q24−32q22 + 32q20−22q18 + 12q16−4q12 + 6q10−5q8 + 4q6−q4 + q2

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 25"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−2t3 + 8t2−14t + 17−14t−1 + 8t−2−2t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−2z6−4z4 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 65, -4 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

1−2q−1 + 5q−2−7q−3 + 10q−4−11q−5 + 10q−6−9q−7 + 6q−8−3q−9 + q−10

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4a8 + 2z2a8 + a8−z6a6−3z4a6−3z2a6−2a6−z6a4−3z4a4−2z2a4 + z4a2 + 3z2a2 + 2a2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a12−z2a12 + 3z5a11−3z3a11 + za11 + 5z6a10−6z4a10 + 3z2a10 + 5z7a9−5z5a9 + 2z3a9 + 3z8a8 + z6a8−5z4a8 + z2a8 + a8 + z9a7 + 5z7a7−9z5a7 + 3z3a7−2za7 + 5z8a6−8z6a6 + 3z4a6−4z2a6 + 2a6 + z9a5 + 2z7a5−7z5a5 + 2z3a5 + 2z8a4−3z6a4−3z4a4 + 4z2a4 + 2z7a3−6z5a3 + 4z3a3 + za3 + z6a2−4z4a2 + 5z2a2−2a2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 25"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −2t3 + 8t2−14t + 17−14t−1 + 8t−2−2t−3, 1−2q−1 + 5q−2−7q−3 + 10q−4−11q−5 + 10q−6−9q−7 + 6q−8−3q−9 + q−10 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_56, K11a140,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{10_56,}

n	Jn
2	q2−2q + 7q−1−9q−2−5q−3 + 26q−4−19q−5−23q−6 + 56q−7−24q−8−54q−9 + 85q−10−18q−11−82q−12 + 97q−13−4q−14−93q−15 + 86q−16 + 8q−17−78q−18 + 58q−19 + 11q−20−46q−21 + 26q−22 + 7q−23−17q−24 + 7q−25 + 2q−26−3q−27 + q−28
3	q6−2q5 + 2q3 + 4q2−8q−6 + 11q−1 + 20q−2−21q−3−34q−4 + 18q−5 + 71q−6−20q−7−101q−8−7q−9 + 153q−10 + 33q−11−186q−12−92q−13 + 230q−14 + 144q−15−243q−16−223q−17 + 261q−18 + 281q−19−246q−20−351q−21 + 232q−22 + 402q−23−203q−24−438q−25 + 165q−26 + 459q−27−128q−28−449q−29 + 79q−30 + 429q−31−48q−32−372q−33 + 8q−34 + 314q−35 + 9q−36−239q−37−25q−38 + 174q−39 + 27q−40−117q−41−21q−42 + 70q−43 + 17q−44−41q−45−10q−46 + 22q−47 + 5q−48−11q−49−q−50 + 3q−51 + 2q−52−3q−53 + q−54
4	q12−2q11 + 2q9−q8 + 5q7−10q6−2q5 + 11q4 + 20q2−37q−23 + 27q−1 + 20q−2 + 83q−3−83q−4−102q−5−3q−6 + 49q−7 + 272q−8−73q−9−237q−10−178q−11−26q−12 + 591q−13 + 123q−14−284q−15−505q−16−369q−17 + 877q−18 + 515q−19−57q−20−811q−21−986q−22 + 919q−23 + 929q−24 + 473q−25−898q−26−1697q−27 + 668q−28 + 1180q−29 + 1145q−30−727q−31−2296q−32 + 233q−33 + 1225q−34 + 1775q−35−402q−36−2677q−37−245q−38 + 1105q−39 + 2234q−40−16q−41−2775q−42−676q−43 + 831q−44 + 2427q−45 + 374q−46−2532q−47−948q−48 + 421q−49 + 2241q−50 + 677q−51−1951q−52−950q−53−9q−54 + 1697q−55 + 758q−56−1221q−57−682q−58−268q−59 + 1015q−60 + 593q−61−613q−62−331q−63−286q−64 + 476q−65 + 329q−66−262q−67−88q−68−178q−69 + 180q−70 + 134q−71−106q−72 + q−73−77q−74 + 60q−75 + 42q−76−42q−77 + 12q−78−24q−79 + 16q−80 + 11q−81−13q−82 + 5q−83−5q−84 + 3q−85 + 2q−86−3q−87 + q−88