7 6

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["7 6"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X3849 X5,12,6,13 X9,1,10,14 X13,11,14,10 X11,6,12,7 X7283

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 7, -2, 1, -3, 6, -7, 2, -4, 5, -6, 3, -5, 4

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 12 2 14 6 10

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[2212]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,−1,2,−1,−3,2,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 7, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{10, 2}, {1, 8}, {6, 9}, {8, 10}, {7, 3}, {2, 6}, {4, 7}, {3, 5}, {9, 4}, {5, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 7_6.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q13 + q11−q9 + q7 + q5 + q−q−1 + q−3
2	q36−q34−q32 + 3q30−2q28−3q26 + 4q24−q22−3q20 + 2q18 + q16−q12 + 2q10 + q8−3q6 + 2q4 + 3q2−3 + q−2 + 3q−4−2q−6−q−8 + q−10
3	−q69 + q67 + q65−q63−2q61 + 2q59 + 5q57−3q55−7q53 + 2q51 + 9q49−q47−11q45−q43 + 11q41 + 2q39−7q37−4q35 + 5q33 + 3q31−2q29−4q27−2q25 + 3q23 + 4q21−3q19−6q17 + 5q15 + 8q13−2q11−8q9 + 2q7 + 10q5 + q3−9q−2q−1 + 7q−3 + 4q−5−5q−7−5q−9 + 3q−11 + 4q−13−2q−17−q−19 + q−21
4	q112−q110−q108 + q106 + 2q102−4q100−3q98 + 4q96 + 4q94 + 7q92−10q90−12q88 + 4q86 + 12q84 + 18q82−13q80−25q78−6q76 + 15q74 + 32q72−5q70−28q68−15q66 + 8q64 + 31q62 + 5q60−16q58−16q56−3q54 + 17q52 + 9q50−3q48−10q46−8q44 + 9q40 + 9q38−5q36−13q34−10q32 + 12q30 + 19q28−q26−16q24−18q22 + 14q20 + 26q18 + 4q16−16q14−26q12 + 7q10 + 25q8 + 13q6−7q4−29q2−4 + 16q−2 + 17q−4 + 6q−6−19q−8−11q−10 + q−12 + 11q−14 + 12q−16−6q−18−7q−20−5q−22 + q−24 + 6q−26 + q−28−2q−32−q−34 + q−36
5	−q165 + q163 + q161−q159 + 2q151 + 2q149−4q147−6q145−2q143 + 5q141 + 11q139 + 7q137−6q135−21q133−17q131 + 9q129 + 31q127 + 31q125−q123−41q121−52q119−11q117 + 47q115 + 68q113 + 30q111−43q109−81q107−49q105 + 31q103 + 85q101 + 61q99−16q97−78q95−65q93−q91 + 60q89 + 68q87 + 12q85−42q83−52q81−21q79 + 21q77 + 43q75 + 25q73−8q71−27q69−26q67−8q65 + 15q63 + 26q61 + 18q59−7q57−29q55−29q53−2q51 + 34q49 + 39q47 + 4q45−39q43−48q41−10q39 + 44q37 + 61q35 + 15q33−47q31−67q29−26q27 + 46q25 + 75q23 + 36q21−35q19−77q17−47q15 + 23q13 + 73q11 + 58q9−3q7−58q5−64q3−14q + 42q−1 + 60q−3 + 28q−5−19q−7−48q−9−38q−11 + q−13 + 32q−15 + 35q−17 + 12q−19−14q−21−26q−23−19q−25 + 3q−27 + 16q−29 + 15q−31 + 4q−33−5q−35−9q−37−7q−39 + q−41 + 4q−43 + 3q−45 + q−47−2q−51−q−53 + q−55
6	q228−q226−q224 + q222−2q216 + 2q214−q212−2q210 + 6q208 + 4q206−8q202−4q200−8q198−3q196 + 19q194 + 21q192 + 9q190−19q188−24q186−38q184−19q182 + 41q180 + 67q178 + 57q176−9q174−58q172−110q170−86q168 + 32q166 + 126q164 + 155q162 + 67q160−49q158−188q156−200q154−51q152 + 124q150 + 237q148 + 178q146 + 35q144−185q142−273q140−156q138 + 43q136 + 222q134 + 233q132 + 128q130−98q128−235q126−194q124−46q122 + 123q120 + 186q118 + 156q116−4q114−128q112−149q110−83q108 + 25q106 + 93q104 + 116q102 + 47q100−29q98−77q96−75q94−33q92 + 20q90 + 65q88 + 65q86 + 35q84−26q82−66q80−71q78−24q76 + 39q74 + 88q72 + 80q70−6q68−83q66−118q64−54q62 + 43q60 + 133q58 + 132q56 + 7q54−115q52−173q50−92q48 + 42q46 + 178q44 + 191q42 + 43q40−123q38−220q36−149q34−q32 + 184q30 + 239q28 + 111q26−69q24−213q22−200q20−88q18 + 116q16 + 230q14 + 175q12 + 32q10−130q8−192q6−166q4−q2 + 137 + 170q−2 + 114q−4−6q−6−101q−8−160q−10−84q−12 + 16q−14 + 86q−16 + 108q−18 + 69q−20 + 3q−22−78q−24−76q−26−47q−28 + 39q−32 + 56q−34 + 43q−36−8q−38−23q−40−32q−42−23q−44−6q−46 + 14q−48 + 23q−50 + 9q−52 + 4q−54−5q−56−8q−58−9q−60−q−62 + 4q−64 + q−66 + 3q−68 + q−70−2q−74−q−76 + q−78

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q20−q18 + q16 + q12 + q10 + q6−q4 + q2 + q−4
1,1	q52−2q50 + 4q48−6q46 + 11q44−14q42 + 16q40−22q38 + 19q36−18q34 + 10q32−2q30−7q28 + 22q26−28q24 + 36q22−39q20 + 36q18−34q16 + 26q14−16q12 + 8q10 + 6q8−10q6 + 19q4−20q2 + 22−18q−2 + 13q−4−10q−6 + 6q−8−2q−10 + q−12
2,0	q50 + q48−2q44−q42 + q40−q38−2q36 + 2q32−2q28 + q26 + q24−q22 + q20 + q18 + 2q12−q8 + q6 + 3q4−1 + 2q−2 + q−4−q−6−q−8 + q−12
3,0	−q90−q88 + q84 + 3q82−q78−q76 + 2q74 + 5q72−2q70−5q68−5q66 + 3q64 + 7q62−q60−7q58−6q56 + 4q54 + 8q52−5q48−2q46 + 5q44 + 3q42−3q40−4q38−q36−4q32−2q30 + q28 + 4q26 + q24−2q22 + 3q20 + 8q18 + 5q16−3q14−6q12 + 3q10 + 7q8 + 2q6−6q4−6q2 + 4 + 6q−2 + 2q−4−4q−6−4q−8 + 2q−10 + 3q−12 + 3q−14−q−16−2q−18−q−20 + q−24

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q42−q40 + 2q36−3q34−2q32 + 2q30−3q28−q26 + 3q24 + q20 + q18 + 2q16−q12 + 2q10 + q8−3q6 + 2q4 + 2q2−2 + 2q−2 + q−4−q−6 + q−8
1,0,0	−q27−q25−q23 + q21 + 2q17 + q15 + q13−q5 + q3 + q−1 + q−5

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q56 + q54−q50−3q44−4q42−2q36 + q34 + 4q32 + 2q30 + 2q26 + q24−2q22−q20 + 3q18−q16 + 4q12 + 2q10−2q8 + 2q4−1 + q−2 + 2q−4 + q−10
1,0,0,0	−q34−q32−q30−q28 + q26 + 2q22 + 2q20 + q18 + q16−q10−q6 + q4 + 1 + q−2 + q−6

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q42 + q40−2q38 + 2q36−3q34 + 2q32−2q30 + q28 + q26−q24 + 4q22−3q20 + 5q18−4q16 + 4q14−3q12 + 2q10−q8−q6 + 2q4−2q2 + 2−2q−2 + 3q−4−q−6 + q−8
1,0	q68−q64−q62 + q60 + 2q58−3q54−2q52 + q50 + 2q48−q46−3q44 + 2q40 + q38−2q36 + 2q32 + 2q30−q28−q26 + q24 + 2q22−q18 + 2q14 + q12−2q10−2q8 + 2q6 + 3q4−2−q−2 + 2q−4 + 2q−6−q−8−q−10 + q−14

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q58−q56 + q54−q52 + 2q50−3q48−3q44 + q42−2q40−q38 + 4q32−q30 + 4q28−2q26 + 5q24−2q22 + 3q20−3q18 + 2q16−q14 + q12−q10−q8 + 2q6−q4 + 2q2−1 + 3q−2−q−4 + 2q−6−q−8 + q−10

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q100−q98 + 2q96−2q94−3q88 + 5q86−6q84 + 4q82−4q80−q78 + 5q76−8q74 + 8q72−5q70 + q68 + 2q66−5q64 + 4q62−2q58 + 6q56−5q54 + 2q52 + 6q50−9q48 + 11q46−9q44 + 5q42 + 2q40−6q38 + 10q36−9q34 + 8q32−3q30−3q28 + 5q26−5q24 + 3q22−3q18 + 5q16−3q14−q12 + 5q10−8q8 + 8q6−5q4−q2 + 5−6q−2 + 8q−4−4q−6 + 2q−8 + q−10−3q−12 + 3q−14−q−16 + q−18

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["7 6"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t2 + 5t−7 + 5t−1−t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z4 + z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 19, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−2 + 3q−1−3q−2 + 4q−3−3q−4 + 2q−5−q−6

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−a6 + 2z2a4 + 2a4−z4a2−2z2a2−a2 + z2 + 1

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z3a7−za7 + 2z4a6−2z2a6 + a6 + 2z5a5−z3a5 + z6a4 + 2z4a4−4z2a4 + 2a4 + 4z5a3−6z3a3 + 2za3 + z6a2 + z4a2−4z2a2 + a2 + 2z5a−4z3a + za + z4−2z2 + 1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["7 6"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t2 + 5t−7 + 5t−1−t−2, q−2 + 3q−1−3q−2 + 4q−3−3q−4 + 2q−5−q−6 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_133,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q4−2q3−q2 + 6q−4−5q−1 + 12q−2−5q−3−10q−4 + 16q−5−4q−6−13q−7 + 17q−8−3q−9−12q−10 + 12q−11−q−12−7q−13 + 5q−14−2q−16 + q−17
3	q9−2q8−q7 + 2q6 + 5q5−3q4−9q3 + 2q2 + 14q−18q−1−5q−2 + 24q−3 + 9q−4−26q−5−15q−6 + 30q−7 + 19q−8−29q−9−26q−10 + 33q−11 + 26q−12−30q−13−31q−14 + 31q−15 + 28q−16−25q−17−29q−18 + 22q−19 + 25q−20−16q−21−20q−22 + 10q−23 + 15q−24−6q−25−10q−26 + 3q−27 + 6q−28−2q−29−2q−30 + 2q−32−q−33
4	q16−2q15−q14 + 2q13 + q12 + 6q11−7q10−7q9 + 2q7 + 24q6−8q5−17q4−12q3−6q2 + 49q + 3−18q−1−32q−2−31q−3 + 71q−4 + 23q−5−6q−6−50q−7−64q−8 + 81q−9 + 43q−10 + 16q−11−62q−12−96q−13 + 83q−14 + 58q−15 + 36q−16−69q−17−118q−18 + 80q−19 + 66q−20 + 50q−21−69q−22−127q−23 + 72q−24 + 64q−25 + 57q−26−57q−27−119q−28 + 52q−29 + 51q−30 + 57q−31−36q−32−93q−33 + 29q−34 + 28q−35 + 44q−36−13q−37−56q−38 + 12q−39 + 7q−40 + 25q−41−q−42−25q−43 + 6q−44−q−45 + 9q−46 + q−47−8q−48 + 3q−49−q−50 + 2q−51−2q−53 + q−54
5	q25−2q24−q23 + 2q22 + q21 + 2q20 + 2q19−5q18−9q17 + 5q15 + 11q14 + 13q13−4q12−22q11−22q10−2q9 + 23q8 + 39q7 + 19q6−25q5−53q4−41q3 + 13q2 + 68q + 66 + 7q−1−71q−2−97q−3−37q−4 + 74q−5 + 121q−6 + 68q−7−56q−8−147q−9−107q−10 + 44q−11 + 163q−12 + 139q−13−17q−14−176q−15−179q−16 + 3q−17 + 183q−18 + 201q−19 + 29q−20−193q−21−233q−22−35q−23 + 192q−24 + 244q−25 + 64q−26−198q−27−269q−28−62q−29 + 192q−30 + 266q−31 + 89q−32−190q−33−280q−34−85q−35 + 174q−36 + 265q−37 + 108q−38−157q−39−262q−40−107q−41 + 132q−42 + 234q−43 + 118q−44−103q−45−206q−46−115q−47 + 71q−48 + 170q−49 + 105q−50−41q−51−129q−52−91q−53 + 17q−54 + 90q−55 + 73q−56−3q−57−56q−58−53q−59−4q−60 + 32q−61 + 32q−62 + 8q−63−16q−64−21q−65−4q−66 + 10q−67 + 6q−68 + 4q−69−q−70−8q−71 + 4q−73−q−74 + q−76−2q−77 + 2q−79−q−80
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