7 7

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["7 7"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X5,10,6,11 X3948 X9,3,10,2 X11,14,12,1 X7,13,8,12 X13,7,14,6

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 3, -4, 2, -5, 6, -7, 5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 10 12 2 14 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[21112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{1,−2,1,−2,3,−2,3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 7, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{9, 3}, {2, 7}, {8, 4}, {3, 5}, {7, 9}, {4, 1}, {6, 2}, {5, 8}, {1, 6}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 7_7.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q7 + 2q5 + q−q−3 + q−5−q−7 + q−9
2	q20−2q18−2q16 + 5q14−q12−3q10 + 5q8−3q4 + 2q2 + 1−q−2−2q−4 + 2q−6 + 2q−8−4q−10 + 2q−12 + 4q−14−4q−16 + 3q−20−2q−22−q−24 + q−26
3	−q39 + 2q37 + 2q35−3q33−5q31 + q29 + 10q27−2q25−11q23 + 14q19 + 3q17−13q15−5q13 + 12q11 + 6q9−9q7−5q5 + 4q3 + 6q−q−1−5q−3−4q−5 + 5q−7 + 7q−9−2q−11−9q−13 + 3q−15 + 13q−17−q−19−13q−21−3q−23 + 12q−25 + 4q−27−11q−29−6q−31 + 8q−33 + 7q−35−4q−37−6q−39 + 2q−41 + 4q−43−2q−47−q−49 + q−51
4	q64−2q62−2q60 + 3q58 + 3q56 + 5q54−8q52−10q50 + 2q48 + 8q46 + 20q44−11q42−26q40−7q38 + 15q36 + 40q34−3q32−36q30−25q28 + 8q26 + 50q24 + 13q22−30q20−33q18−4q16 + 39q14 + 19q12−13q10−26q8−13q6 + 18q4 + 16q2 + 5−10q−2−15q−4−4q−6 + 14q−8 + 21q−10 + q−12−18q−14−23q−16 + 10q−18 + 30q−20 + 10q−22−19q−24−40q−26 + 4q−28 + 37q−30 + 22q−32−11q−34−46q−36−8q−38 + 29q−40 + 30q−42 + 6q−44−38q−46−19q−48 + 10q−50 + 25q−52 + 18q−54−19q−56−18q−58−6q−60 + 10q−62 + 16q−64−3q−66−6q−68−6q−70 + 6q−74 + q−76−2q−80−q−82 + q−84
5	−q95 + 2q93 + 2q91−3q89−3q87−3q85 + 2q83 + 8q81 + 10q79−2q77−17q75−17q73 + 23q69 + 30q67 + 14q65−34q63−58q61−23q59 + 36q57 + 77q55 + 55q53−31q51−102q49−82q47 + 17q45 + 108q43 + 113q41 + 9q39−107q37−128q35−35q33 + 93q31 + 132q29 + 55q27−69q25−125q23−67q21 + 42q19 + 102q17 + 69q15−16q13−77q11−64q9−q7 + 48q5 + 58q3 + 23q−26q−1−45q−3−34q−5 + 42q−9 + 51q−11 + 15q−13−37q−15−62q−17−35q−19 + 34q−21 + 80q−23 + 47q−25−34q−27−93q−29−65q−31 + 28q−33 + 104q−35 + 86q−37−20q−39−110q−41−100q−43 + 4q−45 + 107q−47 + 116q−49 + 20q−51−96q−53−120q−55−42q−57 + 69q−59 + 117q−61 + 62q−63−39q−65−103q−67−76q−69 + 8q−71 + 77q−73 + 76q−75 + 18q−77−46q−79−67q−81−32q−83 + 21q−85 + 48q−87 + 34q−89−27q−93−29q−95−8q−97 + 12q−99 + 17q−101 + 8q−103−2q−105−8q−107−8q−109 + 4q−113 + 3q−115 + q−117−2q−121−q−123 + q−125
6	q132−2q130−2q128 + 3q126 + 3q124 + 3q122−4q120−2q118−8q116−10q114 + 11q112 + 17q110 + 17q108−3q106−12q104−38q102−37q100 + 16q98 + 54q96 + 68q94 + 21q92−17q90−106q88−127q86−23q84 + 94q82 + 180q80 + 132q78 + 31q76−176q74−281q72−165q70 + 57q68 + 278q66 + 310q64 + 191q62−145q60−391q58−355q56−98q54 + 250q52 + 416q50 + 368q48 + q46−350q44−444q42−259q40 + 103q38 + 359q36 + 422q34 + 145q32−189q30−364q28−299q26−42q24 + 198q22 + 329q20 + 191q18−30q16−198q14−226q12−114q10 + 43q8 + 179q6 + 161q4 + 69q2−54−129q−2−134q−4−59q−6 + 56q−8 + 125q−10 + 134q−12 + 44q−14−69q−16−159q−18−135q−20−25q−22 + 128q−24 + 209q−26 + 120q−28−47q−30−215q−32−220q−34−90q−36 + 155q−38 + 306q−40 + 212q−42−20q−44−271q−46−319q−48−181q−50 + 147q−52 + 378q−54 + 320q−56 + 61q−58−264q−60−389q−62−305q−64 + 49q−66 + 357q−68 + 396q−70 + 196q−72−141q−74−356q−76−391q−78−111q−80 + 209q−82 + 362q−84 + 297q−86 + 50q−88−193q−90−355q−92−227q−94 + 3q−96 + 197q−98 + 267q−100 + 174q−102 + 4q−104−194q−106−205q−108−117q−110 + 17q−112 + 126q−114 + 154q−116 + 97q−118−36q−120−88q−122−98q−124−54q−126 + 8q−128 + 61q−130 + 72q−132 + 20q−134−6q−136−31q−138−33q−140−20q−142 + 6q−144 + 22q−146 + 11q−148 + 8q−150−2q−152−7q−154−10q−156−2q−158 + 4q−160 + q−162 + 3q−164 + q−166−2q−170−q−172 + q−174

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q10 + q8 + q6 + 2q2 + q−2−q−4−q−6−q−10 + q−12 + q−14
1,1	q28−4q26 + 8q24−12q22 + 18q20−28q18 + 30q16−30q14 + 30q12−18q10 + 12q8 + 10q6−23q4 + 38q2−52 + 54q−2−60q−4 + 52q−6−44q−8 + 30q−10−11q−12 + 2q−14 + 16q−16−24q−18 + 31q−20−30q−22 + 26q−24−24q−26 + 15q−28−10q−30 + 6q−32−2q−34 + q−36
2,0	q26−q24−2q22 + 2q18 + q16−3q14 + 2q12 + 4q10 + q8−q6 + 2q4 + q2−1−q−2−q−4−2q−6−2q−8 + 2q−10−q−14 + 3q−16 + 4q−18−q−22 + q−24 + q−26−2q−28−3q−30 + q−34 + q−36
3,0	−q48 + q46 + 2q44 + q42−2q40−6q38 + q36 + 4q34 + 5q32−4q30−11q28 + 10q24 + 12q22−4q20−11q18 + 11q14 + 8q12−4q10−8q8 + q6 + 4q4 + q2−5−4q−2−q−4−2q−6−3q−8 + 8q−12 + 5q−14−q−18 + 8q−20 + 11q−22−2q−24−11q−26−7q−28 + 5q−30 + 7q−32−6q−34−11q−36−5q−38 + 6q−40 + 10q−42−4q−46−4q−48 + 4q−50 + 7q−52 + 2q−54−2q−56−5q−58−2q−60 + q−64 + q−66

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q22−2q20−q18 + 3q16−3q14 + q12 + 5q10−q8 + 3q4−q2−1 + q−4−2q−8 + 3q−10 + q−12−4q−14 + 2q−16 + q−18−3q−20 + 2q−22 + q−24−q−26 + q−28
1,0,0	−q13 + q11 + q7 + 2q3 + q + q−1 + q−3−q−5−q−7−2q−9−q−13 + q−15 + q−17 + q−19

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q28−q26−2q24 + q22 + q20−2q18−q16 + 4q14 + 3q12 + 2q8 + 6q6−2q2 + 1−2q−2−5q−4−q−6 + q−8−q−10 + q−12 + 5q−14 + 3q−16−2q−18 + 2q−22−2q−24−3q−26 + q−30 + q−36 + q−38
1,0,0,0	−q16 + q14 + q8 + 2q4 + q2 + 2 + q−2 + q−4−q−6−q−8−2q−10−2q−12−q−16 + q−18 + q−20 + q−22 + q−24

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q22 + 2q20−3q18 + 3q16−3q14 + 3q12−q10 + q8 + 2q6−q4 + 5q2−5 + 6q−2−5q−4 + 4q−6−4q−8 + q−10−q−12−2q−14 + 2q−16−3q−18 + 3q−20−2q−22 + 3q−24−q−26 + q−28
1,0	q36−2q32−2q30 + q28 + 3q26−3q22−q20 + 4q18 + 3q16−2q12 + q10 + 2q8 + q6−3q4−q2 + 2 + q−2−2q−4−2q−6 + q−8 + 2q−10−2q−14 + q−16 + 3q−18 + q−20−3q−22−2q−24 + 2q−26 + 3q−28−q−30−3q−32−q−34 + 2q−36 + 2q−38−q−40−q−42 + q−46

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q30−2q28 + q26−2q24 + 3q22−3q20 + 2q18−q16 + 3q14 + q12 + q8 + 4q4−3q2 + 4−4q−2 + 5q−4−3q−6 + 3q−8−4q−10 + 2q−12−q−14−q−18−2q−20 + 2q−22−2q−24 + 2q−26−2q−28 + 3q−30−q−32 + 2q−34−q−36 + q−38

G2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q52−2q50 + 3q48−4q46 + q42−4q40 + 9q38−9q36 + 9q34−3q32−4q30 + 9q28−10q26 + 9q24−5q22−q20 + 5q18−4q16 + 4q14 + 2q12−7q10 + 10q8−5q6−2q4 + 8q2−12 + 17q−2−11q−4 + 5q−6 + 3q−8−9q−10 + 15q−12−14q−14 + 6q−16−q−18−4q−20 + 6q−22−6q−24 + q−26 + 3q−28−7q−30 + 5q−32−4q−34−5q−36 + 10q−38−11q−40 + 9q−42−4q−44−q−46 + 7q−48−8q−50 + 9q−52−4q−54 + q−56 + q−58−3q−60 + 3q−62−q−64 + q−66

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["7 7"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

t2−5t + 9−5t−1 + t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

z4−z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 21, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q4−2q3 + 3q2−4q + 4−3q−1 + 3q−2−q−3

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z4−a2z2−2z2a−2 + 2z2−2a−2 + a−4 + 2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z6a−2 + z6 + 3az5 + 5z5a−1 + 2z5a−3 + 3a2z4 + 2z4a−2 + z4a−4 + 4z4 + a3z3−3az3−8z3a−1−4z3a−3−3a2z2−6z2a−2−2z2a−4−7z2 + az + 3za−1 + 2za−3 + 2a−2 + a−4 + 2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["7 7"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ t2−5t + 9−5t−1 + t−2, q4−2q3 + 3q2−4q + 4−3q−1 + 3q−2−q−3 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{K11n28,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q12−2q11−q10 + 6q9−5q8−5q7 + 14q6−7q5−11q4 + 20q3−7q2−15q + 21−5q−1−14q−2 + 16q−3−2q−4−9q−5 + 8q−6−3q−8 + q−9
3	q24−2q23−q22 + 2q21 + 5q20−4q19−9q18 + 4q17 + 16q16−3q15−23q14−q13 + 31q12 + 5q11−38q10−11q9 + 43q8 + 19q7−48q6−23q5 + 50q4 + 28q3−50q2−32q + 49 + 32q−1−43q−2−34q−3 + 40q−4 + 28q−5−28q−6−28q−7 + 23q−8 + 20q−9−12q−10−17q−11 + 9q−12 + 9q−13−3q−14−5q−15 + 3q−17−q−18
4	q40−2q39−q38 + 2q37 + q36 + 6q35−8q34−7q33 + 2q32 + 4q31 + 25q30−14q29−23q28−10q27 + 3q26 + 62q25−7q24−38q23−39q22−16q21 + 106q20 + 17q19−39q18−76q17−54q16 + 141q15 + 50q14−24q13−109q12−98q11 + 162q10 + 79q9−4q8−129q7−131q6 + 167q5 + 98q4 + 16q3−136q2−149q + 156 + 103q−1 + 31q−2−125q−3−147q−4 + 125q−5 + 90q−6 + 44q−7−93q−8−127q−9 + 82q−10 + 61q−11 + 47q−12−50q−13−90q−14 + 40q−15 + 28q−16 + 36q−17−17q−18−47q−19 + 15q−20 + 6q−21 + 17q−22−2q−23−16q−24 + 3q−25 + 5q−27−3q−29 + q−30
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