9 19

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 19"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X5,10,6,11 X3948 X9,3,10,2 X13,16,14,17 X7,15,8,14 X15,7,16,6 X11,18,12,1 X17,12,18,13

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 3, -4, 2, -8, 9, -5, 6, -7, 5, -9, 8

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 8 10 14 2 18 16 6 12

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[23112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(5,{1,−2,1,−2,−2,−3,2,4,−3,4})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 5, 10, 5 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 5}, {4, 9}, {10, 6}, {5, 7}, {9, 11}, {6, 3}, {2, 4}, {3, 1}, {8, 2}, {7, 10}, {1, 8}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_19.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q11 + 2q9−q7 + 2q5−q3 + q−1−2q−3 + 2q−5−q−7 + q−9
2	q32−2q30−2q28 + 6q26−q24−7q22 + 7q20 + 3q18−10q16 + 5q14 + 6q12−8q10 + q8 + 5q6−2q4−4q2 + 2 + 7q−2−7q−4−3q−6 + 11q−8−5q−10−5q−12 + 8q−14−2q−16−3q−18 + 3q−20−q−22−q−24 + q−26
3	−q63 + 2q61 + 2q59−3q57−6q55 + q53 + 13q51 + 2q49−16q47−10q45 + 17q43 + 20q41−13q39−30q37 + 6q35 + 33q33 + 5q31−35q29−13q27 + 34q25 + 20q23−27q21−24q19 + 21q17 + 23q15−13q13−24q11 + 5q9 + 21q7 + 6q5−17q3−17q + 13q−1 + 29q−3−5q−5−34q−7−4q−9 + 37q−11 + 13q−13−35q−15−17q−17 + 25q−19 + 19q−21−17q−23−16q−25 + 10q−27 + 11q−29−5q−31−6q−33 + 3q−35 + 3q−37−2q−39−q−41 + 2q−43−q−47−q−49 + q−51
4	q104−2q102−2q100 + 3q98 + 3q96 + 6q94−8q92−13q90−q88 + 7q86 + 31q84 + q82−30q80−28q78−13q76 + 57q74 + 44q72−7q70−56q68−81q66 + 31q64 + 85q62 + 70q60−25q58−138q56−53q54 + 60q52 + 142q50 + 61q48−130q46−126q44−14q42 + 147q40 + 128q38−73q36−141q34−73q32 + 105q30 + 139q28−17q26−110q24−87q22 + 54q20 + 112q18 + 27q16−69q14−85q12 + q10 + 74q8 + 76q6−15q4−84q2−75 + 20q−2 + 131q−4 + 61q−6−60q−8−145q−10−61q−12 + 138q−14 + 132q−16 + 10q−18−155q−20−132q−22 + 79q−24 + 134q−26 + 76q−28−88q−30−131q−32 + 6q−34 + 69q−36 + 82q−38−16q−40−73q−42−17q−44 + 9q−46 + 43q−48 + 9q−50−23q−52−6q−54−9q−56 + 12q−58 + 5q−60−4q−62 + 4q−64−6q−66 + q−68−q−72 + 4q−74−q−76−q−80−q−82 + q−84
5	−q155 + 2q153 + 2q151−3q149−3q147−3q145 + q143 + 8q141 + 13q139 + q137−17q135−22q133−13q131 + 13q129 + 40q127 + 44q125−3q123−57q121−72q119−39q117 + 43q115 + 114q113 + 106q111−123q107−173q105−104q103 + 78q101 + 233q99 + 226q97 + 30q95−227q93−348q91−200q89 + 147q87 + 423q85 + 394q83 + 14q81−429q79−553q77−225q75 + 338q73 + 664q71 + 439q69−191q67−687q65−607q63 + 4q61 + 633q59 + 715q57 + 168q55−531q53−746q51−292q49 + 397q47 + 709q45 + 376q43−277q41−635q39−394q37 + 172q35 + 533q33 + 392q31−91q29−442q27−362q25 + 22q23 + 351q21 + 348q19 + 48q17−267q15−349q13−139q11 + 184q9 + 362q7 + 257q5−75q3−379q−403q−1−65q−3 + 381q−5 + 543q−7 + 243q−9−324q−11−667q−13−442q−15 + 217q−17 + 733q−19 + 619q−21−50q−23−705q−25−752q−27−143q−29 + 598q−31 + 799q−33 + 301q−35−412q−37−740q−39−423q−41 + 218q−43 + 610q−45 + 453q−47−48q−49−430q−51−413q−53−72q−55 + 261q−57 + 325q−59 + 124q−61−130q−63−221q−65−125q−67 + 41q−69 + 133q−71 + 103q−73 + 2q−75−71q−77−68q−79−17q−81 + 30q−83 + 40q−85 + 20q−87−9q−89−23q−91−14q−93 + q−95 + 7q−97 + 9q−99 + 6q−101−4q−103−6q−105−q−107−2q−109 + q−111 + 4q−113 + q−115−q−117−q−121−q−123 + q−125

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q16 + q14 + q12−q10 + 2q8 + q2−1 + q−2−2q−4 + q−8−q−10 + q−12 + q−14
1,1	q44−4q42 + 10q40−22q38 + 40q36−62q34 + 86q32−112q30 + 129q28−130q26 + 120q24−90q22 + 48q20 + 8q18−70q16 + 128q14−177q12 + 216q10−234q8 + 234q6−214q4 + 172q2−122 + 64q−2−9q−4−38q−6 + 78q−8−94q−10 + 104q−12−100q−14 + 92q−16−78q−18 + 62q−20−50q−22 + 36q−24−26q−26 + 17q−28−10q−30 + 6q−32−2q−34 + q−36
2,0	q42−q40−2q38 + 3q34 + 2q32−5q30−q28 + 5q26 + 3q24−5q22−3q20 + 6q18 + 3q16−5q14−q12 + 5q10−q8−2q6 + q4−q2−1 + 2q−2 + 2q−4−5q−6−2q−8 + 8q−10 + 2q−12−6q−14 + q−16 + 7q−18 + q−20−5q−22−2q−24 + 2q−26−2q−30 + q−34 + q−36

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q34−2q32 + 2q28−5q26 + 4q24 + 4q22−6q20 + 5q18 + 5q16−8q14 + q12 + 4q10−5q8−q6 + 3q4 + 3q2−1−q−2 + 7q−4−4q−6−6q−8 + 8q−10−3q−12−6q−14 + 6q−16−3q−20 + 3q−22 + q−24−q−26 + q−28
1,0,0	−q21 + q19 + q15−q13 + 2q11 + q7 + q3−q−1 + q−3−2q−5−q−9 + q−11−q−13 + q−15 + q−17 + q−19

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q34 + 2q32−4q30 + 6q28−7q26 + 8q24−8q22 + 8q20−5q18 + 3q16 + 2q14−5q12 + 10q10−13q8 + 15q6−15q4 + 15q2−13 + 9q−2−5q−4 + 2q−8−6q−10 + 7q−12−8q−14 + 8q−16−6q−18 + 5q−20−3q−22 + 3q−24−q−26 + q−28
1,0	q56−2q52−2q50 + 2q48 + 4q46−2q44−6q42−q40 + 8q38 + 6q36−5q34−8q32 + 2q30 + 9q28 + 4q26−7q24−6q22 + 3q20 + 6q18−2q16−6q14 + 5q10 + q8−5q6−2q4 + 6q2 + 5−4q−2−5q−4 + 4q−6 + 7q−8−2q−10−8q−12−2q−14 + 8q−16 + 5q−18−5q−20−8q−22 + 7q−26 + 3q−28−3q−30−4q−32 + 3q−36 + 2q−38−q−40−q−42 + q−46

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q80−2q78 + 4q76−7q74 + 5q72−3q70−5q68 + 16q66−21q64 + 24q62−18q60 + 2q58 + 18q56−34q54 + 40q52−31q50 + 13q48 + 11q46−28q44 + 33q42−24q40 + 8q38 + 10q36−23q34 + 20q32−6q30−13q28 + 30q26−34q24 + 27q22−6q20−20q18 + 41q16−51q14 + 48q12−25q10−3q8 + 30q6−44q4 + 44q2−27 + 4q−2 + 14q−4−24q−6 + 19q−8−4q−10−13q−12 + 23q−14−22q−16 + 7q−18 + 9q−20−26q−22 + 33q−24−29q−26 + 17q−28−2q−30−14q−32 + 22q−34−24q−36 + 21q−38−12q−40 + 4q−42 + 4q−44−9q−46 + 11q−48−9q−50 + 8q−52−3q−54 + 2q−58−3q−60 + 3q−62−q−64 + q−66

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 19"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

2t2−10t + 17−10t−1 + 2t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

2z4−2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 41, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q4−2q3 + 4q2−6q + 7−7q−1 + 6q−2−4q−3 + 3q−4−q−5

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z2a4 + z4a2 + z2a2 + a2 + z4−2z2a−2−a−2 + a−4

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

a2z8 + z8 + 3a3z7 + 5az7 + 2z7a−1 + 3a4z6 + 3a2z6 + 2z6a−2 + 2z6 + a5z5−7a3z5−11az5−z5a−1 + 2z5a−3−8a4z4−11a2z4 + z4a−4−4z4−2a5z3 + 4a3z3 + 10az3 + z3a−1−3z3a−3 + 4a4z2 + 8a2z2−3z2a−2−2z2a−4 + 3z2−a3z−3az−za−1 + za−3−a2 + a−2 + a−4

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 19"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ 2t2−10t + 17−10t−1 + 2t−2, q4−2q3 + 4q2−6q + 7−7q−1 + 6q−2−4q−3 + 3q−4−q−5 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q12−2q11 + 5q9−8q8 + q7 + 15q6−21q5 + q4 + 31q3−35q2−3q + 45−40q−1−9q−2 + 47q−3−33q−4−13q−5 + 38q−6−19q−7−14q−8 + 23q−9−6q−10−10q−11 + 9q−12−3q−14 + q−15
3	q24−2q23 + q21 + 3q20−5q19−q18 + 6q17 + 3q16−14q15 + 22q13 + 2q12−40q11−q10 + 58q9 + 8q8−82q7−19q6 + 106q5 + 32q4−123q3−49q2 + 135q + 66−139q−1−79q−2 + 135q−3 + 89q−4−124q−5−95q−6 + 106q−7 + 100q−8−88q−9−97q−10 + 61q−11 + 97q−12−41q−13−83q−14 + 14q−15 + 75q−16−q−17−55q−18−13q−19 + 39q−20 + 16q−21−22q−22−16q−23 + 12q−24 + 10q−25−4q−26−5q−27 + 3q−29−q−30
4	q40−2q39 + q37−q36 + 6q35−7q34 + q33 + 2q32−8q31 + 16q30−15q29 + 10q28 + 9q27−29q26 + 19q25−32q24 + 42q23 + 43q22−63q21−7q20−88q19 + 99q18 + 141q17−76q16−70q15−225q14 + 142q13 + 305q12−18q11−125q10−436q9 + 119q8 + 470q7 + 104q6−119q5−635q4 + 35q3 + 555q2 + 225q−49−746q−1−60q−2 + 546q−3 + 294q−4 + 42q−5−748q−6−133q−7 + 460q−8 + 310q−9 + 138q−10−663q−11−191q−12 + 319q−13 + 287q−14 + 231q−15−507q−16−225q−17 + 141q−18 + 219q−19 + 299q−20−306q−21−206q−22−20q−23 + 107q−24 + 295q−25−115q−26−125q−27−102q−28−6q−29 + 210q−30−2q−31−30q−32−87q−33−60q−34 + 98q−35 + 23q−36 + 19q−37−36q−38−47q−39 + 28q−40 + 8q−41 + 17q−42−5q−43−17q−44 + 4q−45 + 5q−47−3q−49 + q−50
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