9 40

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 40"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1627 X7,12,8,13 X5,15,6,14 X11,3,12,2 X15,10,16,11 X3,16,4,17 X9,4,10,5 X17,9,18,8 X13,18,14,1

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -6, 7, -3, 1, -2, 8, -7, 5, -4, 2, -9, 3, -5, 6, -8, 9

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

6 16 14 12 4 2 18 10 8

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[9*]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(4,{−1,2,−1,−3,2,−1,−3,2,−3})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 4, 9, 4 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{11, 3}, {2, 8}, {9, 4}, {3, 5}, {4, 1}, {7, 2}, {8, 6}, {10, 7}, {5, 9}, {6, 11}, {1, 10}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 9_40.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q15−3q13 + 4q11−3q9 + 2q7−2q3 + 3q−3q−1 + 4q−3−q−5
2	q42−3q40 + q38 + 9q36−16q34−3q32 + 33q30−22q28−22q26 + 40q24−8q22−30q20 + 20q18 + 12q16−17q14−8q12 + 23q10 + 2q8−31q6 + 22q4 + 22q2−39 + 6q−2 + 30q−4−23q−6−9q−8 + 17q−10−q−12−4q−14 + q−16
3	q81−3q79 + q77 + 6q75−4q73−15q71 + 6q69 + 47q67−7q65−96q63−23q61 + 150q59 + 98q57−188q55−190q53 + 175q51 + 278q49−113q47−333q45 + 25q43 + 330q41 + 63q39−274q37−133q35 + 194q33 + 176q31−106q29−195q27 + 19q25 + 205q23 + 57q21−209q19−133q17 + 203q15 + 208q13−176q11−271q9 + 115q7 + 321q5−34q3−324q−59q−1 + 279q−3 + 139q−5−192q−7−173q−9 + 96q−11 + 153q−13−16q−15−102q−17−28q−19 + 52q−21 + 24q−23−11q−25−13q−27 + q−29 + 4q−31−q−33
4	q132−3q130 + q128 + 6q126−7q124−3q122−6q120 + 26q118 + 38q116−57q114−83q112−54q110 + 169q108 + 307q106−58q104−449q102−561q100 + 209q98 + 1103q96 + 687q94−602q92−1796q90−834q88 + 1520q86 + 2270q84 + 609q82−2404q80−2683q78 + 308q76 + 2944q74 + 2520q72−1207q70−3340q68−1547q66 + 1770q64 + 3142q62 + 602q60−2211q58−2299q56 + 53q54 + 2248q52 + 1548q50−641q48−1962q46−1023q44 + 1075q42 + 1812q40 + 483q38−1542q36−1702q34 + 205q32 + 2090q30 + 1450q28−1214q26−2450q24−829q22 + 2208q20 + 2605q18−303q16−2836q14−2279q12 + 1320q10 + 3252q8 + 1350q6−1886q4−3163q2−544 + 2305q−2 + 2419q−4 + 110q−6−2297q−8−1724q−10 + 331q−12 + 1714q−14 + 1253q−16−522q−18−1171q−20−683q−22 + 324q−24 + 800q−26 + 287q−28−187q−30−393q−32−164q−34 + 136q−36 + 134q−38 + 65q−40−44q−42−53q−44−4q−46 + 7q−48 + 13q−50−q−52−4q−54 + q−56
5	q195−3q193 + q191 + 6q189−7q187−6q185 + 6q183 + 14q181 + 17q179−6q177−68q175−90q173 + 31q171 + 223q169 + 281q167 + 9q165−504q163−829q161−385q159 + 910q157 + 1976q155 + 1479q153−919q151−3669q149−3993q147−320q145 + 5365q143 + 7993q141 + 3795q139−5578q137−12701q135−10047q133 + 2784q131 + 16391q129 + 18101q127 + 3797q125−16705q123−25866q121−13539q119 + 12444q117 + 30646q115 + 24001q113−3906q111−30412q109−32341q107−6868q105 + 25059q103 + 36221q101 + 16940q99−16089q97−34824q95−23986q93 + 5996q91 + 29197q89 + 26869q87 + 2813q85−21320q83−25896q81−9071q79 + 13300q77 + 22554q75 + 12559q73−6644q71−18493q69−13997q67 + 1817q65 + 15043q63 + 14672q61 + 1434q59−12928q57−15598q55−3914q53 + 11985q51 + 17517q49 + 6674q47−11643q45−20517q43−10461q41 + 10796q39 + 23989q37 + 15718q35−8296q33−26901q31−22122q29 + 3419q27 + 27710q25 + 28570q23 + 4041q21−25170q19−33454q17−13019q15 + 18728q13 + 34795q11 + 21734q9−9014q7−31506q5−27744q3−2006q + 23734q−1 + 29144q−3 + 11595q−5−13164q−7−25450q−9−17354q−11 + 2643q−13 + 17992q−15 + 18081q−17 + 5151q−19−9254q−21−14599q−23−8790q−25 + 1983q−27 + 9097q−29 + 8440q−31 + 2256q−33−3848q−35−5856q−37−3509q−39 + 517q−41 + 2960q−43 + 2723q−45 + 860q−47−888q−49−1496q−51−918q−53 + 30q−55 + 527q−57 + 501q−59 + 179q−61−102q−63−195q−65−107q−67 + 7q−69 + 45q−71 + 33q−73 + 8q−75−7q−77−13q−79 + q−81 + 4q−83−q−85

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q22−q20−2q18 + 3q16−q14 + 2q12 + q10−3q8 + q6−4q4 + 3q2 + 1 + 3q−4−q−6
1,1	q60−6q58 + 18q56−38q54 + 75q52−144q50 + 244q48−382q46 + 576q44−798q42 + 1004q40−1168q38 + 1223q36−1110q34 + 828q32−360q30−236q28 + 880q26−1502q24 + 1988q22−2316q20 + 2426q18−2296q16 + 1966q14−1452q12 + 850q10−198q8−408q6 + 885q4−1194q2 + 1304−1250q−2 + 1061q−4−814q−6 + 568q−8−338q−10 + 184q−12−88q−14 + 32q−16−8q−18 + q−20
2,0	q56−q54−3q52 + 2q50 + 6q48−q46−11q44−q42 + 16q40−3q38−13q36 + 6q34 + 16q32−3q30−19q28 + 7q26 + 4q24−12q22−q20 + 8q18−2q16 + 16q12−12q8 + 2q6 + 14q4−10q2−18 + 12q−2 + 10q−4−8q−6−6q−8 + 6q−10 + 9q−12−3q−14−3q−16 + q−18

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q48−3q46 + 9q42−10q40−4q38 + 22q36−19q34−10q32 + 29q30−20q28−8q26 + 24q24−7q22−6q20 + 5q18 + 7q16−4q14−15q12 + 13q10 + 7q8−28q6 + 15q4 + 15q2−26 + 16q−2 + 10q−4−15q−6 + 9q−8 + 2q−10−4q−12 + q−14
1,0,0	q29−q27−2q23 + 3q21−2q19 + 4q17 + q13−2q11−2q9−q7−3q5 + 3q3 + 4q−1−q−3 + 3q−5−q−7

A4 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0,0	q62−q60−3q58 + q56 + 6q54 + q52−10q50 + 2q48 + 15q46−9q44−19q42 + 16q40 + 13q38−21q36−6q34 + 23q32−21q28 + 13q26 + 18q24−20q22−4q20 + 29q18−12q16−23q14 + 20q12 + 8q10−28q8−8q6 + 21q4−15 + 11q−2 + 17q−4−6q−6−4q−8 + 8q−10−q−12−3q−14 + q−16
1,0,0,0	q36−q34−2q28 + 3q26−2q24 + 3q22 + 2q20 + q16−2q14−q12−4q10−3q6 + 3q4 + 3 + 3q−2−q−4 + 3q−6−q−8

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q48−3q46 + 6q44−11q42 + 18q40−24q38 + 30q36−33q34 + 28q32−21q30 + 10q28 + 4q26−18q24 + 37q22−48q20 + 57q18−59q16 + 54q14−47q12 + 31q10−17q8−2q6 + 15q4−23q2 + 30−30q−2 + 32q−4−23q−6 + 17q−8−10q−10 + 4q−12−q−14
1,0	q78−3q74−3q72 + 3q70 + 10q68 + 3q66−14q64−14q62 + 9q60 + 26q58 + 4q56−31q54−19q52 + 22q50 + 29q48−9q46−32q44−2q42 + 29q40 + 12q38−23q36−14q34 + 17q32 + 18q30−11q28−21q26 + 6q24 + 21q22−q20−23q18−5q16 + 24q14 + 15q12−24q10−27q8 + 15q6 + 34q4−32−15q−2 + 23q−4 + 25q−6−10q−8−19q−10−q−12 + 13q−14 + 6q−16−4q−18−4q−20 + q−24

D4 Invariants.

Weight	Invariant
1,0,0,0	q66−3q64 + 3q62−4q60 + 10q58−14q56 + 14q54−17q52 + 26q50−27q48 + 21q46−23q44 + 20q42−11q40 + 2q38 + q36−10q34 + 28q32−29q30 + 36q28−41q26 + 48q24−43q22 + 40q20−43q18 + 30q16−24q14 + 14q12−12q10−4q8 + 14q6−15q4 + 21q2−22 + 29q−2−22q−4 + 24q−6−19q−8 + 14q−10−8q−12 + 6q−14−4q−16 + q−18

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q114−3q112 + 6q110−10q108 + 10q106−8q104 + q102 + 17q100−35q98 + 57q96−69q94 + 58q92−26q90−41q88 + 121q86−182q84 + 197q82−139q80 + 14q78 + 135q76−248q74 + 274q72−196q70 + 38q68 + 122q66−223q64 + 212q62−79q60−87q58 + 218q56−237q54 + 135q52 + 47q50−232q48 + 337q46−328q44 + 209q42−7q40−197q38 + 334q36−361q34 + 269q32−104q30−93q28 + 225q26−263q24 + 194q22−39q20−123q18 + 217q16−194q14 + 58q12 + 116q10−252q8 + 282q6−192q4 + 31q2 + 141−245q−2 + 261q−4−179q−6 + 57q−8 + 53q−10−121q−12 + 126q−14−87q−16 + 44q−18−2q−20−19q−22 + 24q−24−20q−26 + 10q−28−4q−30 + q−32

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 40"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

t3−7t2 + 18t−23 + 18t−1−7t−2 + t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

z6−z4−z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 75, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q2 + 5q−8 + 11q−1−13q−2 + 13q−3−11q−4 + 8q−5−4q−6 + q−7

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a6−2z4a4−2z2a4 + a4 + z6a2 + 2z4a2−2a2−z4 + 2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z4a8 + 4z5a7−2z3a7 + 8z6a6−9z4a6 + 4z2a6 + 9z7a5−12z5a5 + 6z3a5−za5 + 4z8a4 + 7z6a4−20z4a4 + 7z2a4 + a4 + 17z7a3−32z5a3 + 14z3a3−za3 + 4z8a2 + 4z6a2−17z4a2 + 3z2a2 + 2a2 + 8z7a−15z5a + 6z3a + 5z6−7z4 + 2 + z5a−1

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["9 40"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ t3−7t2 + 18t−23 + 18t−1−7t−2 + t−3, −q2 + 5q−8 + 11q−1−13q−2 + 13q−3−11q−4 + 8q−5−4q−6 + q−7 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_59, K11n66,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q7−5q6 + 3q5 + 19q4−31q3−11q2 + 72q−55−56q−1 + 133q−2−55q−3−109q−4 + 166q−5−34q−6−140q−7 + 157q−8−5q−9−132q−10 + 107q−11 + 17q−12−84q−13 + 45q−14 + 17q−15−29q−16 + 9q−17 + 4q−18−4q−19 + q−20
3	−q15 + 5q14−3q13−14q12 + q11 + 40q10 + 25q9−94q8−73q7 + 126q6 + 194q5−151q4−342q3 + 107q2 + 525q−11−680q−1−158q−2 + 815q−3 + 344q−4−886q−5−544q−6 + 910q−7 + 728q−8−891q−9−880q−10 + 834q−11 + 994q−12−743q−13−1066q−14 + 620q−15 + 1083q−16−461q−17−1048q−18 + 293q−19 + 942q−20−124q−21−781q−22−12q−23 + 584q−24 + 96q−25−390q−26−115q−27 + 219q−28 + 98q−29−104q−30−63q−31 + 46q−32 + 25q−33−15q−34−9q−35 + 5q−36 + 4q−37−4q−38 + q−39
4	q26−5q25 + 3q24 + 14q23−6q22−10q21−54q20 + 12q19 + 123q18 + 63q17−8q16−354q15−217q14 + 329q13 + 537q12 + 505q11−830q10−1224q9−159q8 + 1186q7 + 2280q6−369q5−2607q4−2214q3 + 613q2 + 4687q + 1940−2721q−1−5063q−2−2006q−3 + 5964q−4 + 5176q−5−819q−6−6995q−7−5605q−8 + 5407q−9 + 7709q−10 + 2089q−11−7392q−12−8642q−13 + 3786q−14 + 8945q−15 + 4753q−16−6752q−17−10527q−18 + 1879q−19 + 9105q−20 + 6778q−21−5423q−22−11264q−23−219q−24 + 8166q−25 + 8099q−26−3234q−27−10564q−28−2414q−29 + 5814q−30 + 8187q−31−421q−32−8024q−33−3786q−34 + 2497q−35 + 6394q−36 + 1712q−37−4297q−38−3362q−39−139q−40 + 3403q−41 + 1991q−42−1284q−43−1701q−44−889q−45 + 1049q−46 + 1029q−47−90q−48−412q−49−473q−50 + 155q−51 + 259q−52 + 22q−53−21q−54−108q−55 + 17q−56 + 36q−57−7q−58 + 5q−59−13q−60 + 5q−61 + 4q−62−4q−63 + q−64
5	−q40 + 5q39−3q38−14q37 + 6q36 + 15q35 + 24q34 + 17q33−41q32−128q31−82q30 + 108q29 + 305q28 + 339q27−15q26−625q25−1030q24−470q23 + 913q22 + 2087q21 + 1848q20−388q19−3473q18−4496q17−1434q16 + 4095q15 + 7952q14 + 5796q13−2816q12−11610q11−12207q10−1714q9 + 13297q8 + 20201q7 + 10114q6−11699q5−27556q4−21711q3 + 5201q2 + 32487q + 34873 + 5850q−1−32966q−2−47451q−3−20537q−4 + 28725q−5 + 57365q−6 + 36598q−7−19905q−8−63518q−9−52284q−10 + 8290q−11 + 65649q−12 + 65809q−13 + 4624q−14−64378q−15−76575q−16−17251q−17 + 60870q−18 + 84414q−19 + 28638q−20−56107q−21−89768q−22−38508q−23 + 50814q−24 + 93288q−25 + 46955q−26−45264q−27−95300q−28−54407q−29 + 39130q−30 + 95958q−31 + 61317q−32−32026q−33−94929q−34−67633q−35 + 23316q−36 + 91462q−37 + 73166q−38−12823q−39−84934q−40−76887q−41 + 945q−42 + 74637q−43 + 77742q−44 + 11310q−45−60878q−46−74559q−47−22256q−48 + 44655q−49 + 66904q−50 + 30045q−51−27849q−52−55278q−53−33418q−54 + 12728q−55 + 41431q−56 + 31974q−57−1343q−58−27371q−59−26773q−60−5474q−61 + 15448q−62 + 19647q−63 + 7818q−64−6869q−65−12469q−66−7184q−67 + 1841q−68 + 6816q−69 + 5164q−70 + 254q−71−3096q−72−2986q−73−787q−74 + 1131q−75 + 1491q−76 + 578q−77−346q−78−588q−79−290q−80 + 65q−81 + 196q−82 + 134q−83−21q−84−75q−85−18q−86 + 7q−87 + 4q−88 + 13q−89 + q−90−13q−91 + 5q−92 + 4q−93−4q−94 + q−95
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