10 20

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 20"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X1425 X11,14,12,15 X3,13,4,12 X13,3,14,2 X5,18,6,19 X7,20,8,1 X19,6,20,7 X9,16,10,17 X15,10,16,11 X17,8,18,9

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

-1, 4, -3, 1, -5, 7, -6, 10, -8, 9, -2, 3, -4, 2, -9, 8, -10, 5, -7, 6

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 12 18 20 16 14 2 10 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[352]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(5,{−1,−1,−1,−1,−2,1,−2,−3,2,4,−3,4})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 5, 12, 5 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{12, 3}, {4, 2}, {3, 11}, {1, 4}, {10, 12}, {11, 9}, {8, 10}, {9, 5}, {2, 6}, {5, 7}, {6, 8}, {7, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_20.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	q19−q17 + q15−q13 + q11−q9−q7 + q5−q3 + 2q + q−3
2	q54−q52−q50 + 3q48−q46−4q44 + 3q42 + 2q40−4q38 + q36 + 3q34−3q32−q30 + 3q28−q26−q24 + 2q22 + 2q20−2q18−2q16 + 4q14−q12−3q10 + 3q8−q6−2q4 + 2q2−1 + 2q−4 + q−10
3	q105−q103−q101 + q99 + 2q97−q95−5q93 + 7q89 + 3q87−6q85−7q83 + 4q81 + 9q79−q77−8q75−4q73 + 6q71 + 7q69−2q67−8q65−2q63 + 8q61 + 6q59−7q57−6q55 + 6q53 + 7q51−6q49−7q47 + 2q45 + 6q43−2q41−6q39 + 5q35 + 6q33−4q31−8q29 + 10q25 + 3q23−7q21−7q19 + 6q17 + 6q15 + q13−5q11−2q9 + 3q7 + 3q5−4q−q−1 + 2q−3 + 2q−5−2q−7−q−9 + 2q−13 + q−21
4	q172−q170−q168 + q166 + 2q162−3q160−3q158 + 2q156 + 2q154 + 9q152−3q150−11q148−5q146−q144 + 18q142 + 9q140−6q138−13q136−18q134 + 10q132 + 16q130 + 10q128−20q124−8q122−2q120 + 11q118 + 21q116 + 2q114−8q112−25q110−14q108 + 20q106 + 27q104 + 13q102−28q100−36q98 + 4q96 + 33q94 + 30q92−15q90−40q88−10q86 + 24q84 + 29q82−5q80−30q78−11q76 + 16q74 + 22q72 + q70−19q68−11q66 + 10q64 + 14q62 + 8q60−8q58−20q56−8q54 + 8q52 + 29q50 + 14q48−26q46−34q44−13q42 + 37q40 + 45q38−7q36−43q34−41q32 + 18q30 + 51q28 + 17q26−20q24−43q22−6q20 + 30q18 + 22q16 + 3q14−26q12−13q10 + 10q8 + 13q6 + 11q4−11q2−10 + q−2 + 5q−4 + 9q−6−4q−8−5q−10−2q−12 + 5q−16−q−18−q−20−q−22−q−24 + 2q−26 + q−36
5	q255−q253−q251 + q249−q241−2q239 + 2q237 + 5q235 + 2q233−q231−6q229−9q227−5q225 + 9q223 + 17q221 + 11q219−q217−19q215−25q213−13q211 + 14q209 + 31q207 + 26q205 + 5q203−24q201−36q199−23q197 + 8q195 + 29q193 + 29q191 + 16q189−6q187−22q185−28q183−21q181−6q179 + 18q177 + 43q175 + 44q173 + 10q171−45q169−75q167−54q165 + 19q163 + 95q161 + 99q159 + 19q157−88q155−130q153−66q151 + 60q149 + 144q147 + 108q145−23q143−139q141−133q139−15q137 + 115q135 + 146q133 + 48q131−91q129−141q127−62q125 + 62q123 + 123q121 + 72q119−42q117−103q115−63q113 + 28q111 + 79q109 + 53q107−20q105−65q103−42q101 + 16q99 + 48q97 + 35q95−6q93−42q91−42q89−8q87 + 38q85 + 54q83 + 36q81−20q79−78q77−75q75−3q73 + 89q71 + 121q69 + 48q67−83q65−158q63−99q61 + 55q59 + 181q57 + 146q55−18q53−164q51−174q49−33q47 + 134q45 + 174q43 + 58q41−87q39−144q37−81q35 + 46q33 + 110q31 + 71q29−17q27−72q25−55q23 + 45q19 + 41q17 + 4q15−28q13−25q11−3q9 + 18q7 + 20q5 + 3q3−13q−13q−1−4q−3 + 10q−5 + 13q−7 + 3q−9−6q−11−7q−13−6q−15 + 2q−17 + 9q−19 + 3q−21−q−23−2q−25−4q−27−2q−29 + 3q−31 + q−33−q−39−q−41 + q−43 + q−55

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	q28 + q22−q20−q14−q10−q4 + 2q2 + 1 + q−2 + q−4
1,1	q76−2q74 + 4q72−8q70 + 15q68−22q66 + 30q64−38q62 + 43q60−44q58 + 38q56−28q54 + 11q52 + 8q50−26q48 + 44q46−59q44 + 64q42−68q40 + 64q38−55q36 + 46q34−28q32 + 18q30−3q28−4q26 + 12q24−12q22 + 13q20−12q18 + 10q16−14q14 + 11q12−18q10 + 14q8−18q6 + 16q4−12q2 + 12−6q−2 + 8q−4−2q−6 + 4q−8 + q−12
2,0	q72 + q64−3q60−q58 + q56 + q54−q52−q50 + 2q48 + q46−2q44−2q42 + q40 + q38−q36 + 2q32 + 2q30 + 3q26 + q24−q22 + 2q20 + q18−3q16−3q14 + q12−5q8−3q6 + 2q4 + 2q−2 + 3q−4 + q−6 + q−8 + q−10 + q−12

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q60−q58 + q54−2q52 + q50 + q48−2q46 + 2q44−3q40 + 2q38 + 2q36−2q34 + 2q32 + 3q30−q28 + q22−3q20−q18 + 2q16−4q14−3q12 + 2q10−2q8−3q6 + 4q4 + 2q2 + 1 + 3q−2 + 2q−4 + q−8
1,0,0	q37 + q33 + q29−q27−q23−q19−q13−q9−q5 + 2q3 + q + 2q−1 + q−3 + q−5

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	q60−q58 + 2q56−3q54 + 4q52−5q50 + 5q48−4q46 + 4q44−2q42 + q40 + 2q38−4q36 + 6q34−8q32 + 7q30−9q28 + 8q26−8q24 + 5q22−3q20 + q18−2q14 + 3q12−4q10 + 4q8−3q6 + 4q4−2q2 + 3−q−2 + 2q−4 + q−8
1,0	q98−q94−q92 + q90 + 2q88−q86−3q84 + 4q80 + 2q78−4q76−4q74 + 2q72 + 5q70−5q66−3q64 + 3q62 + 4q60−3q56 + 3q52 + q50−q48−q46 + 3q44 + 2q42−2q40−3q38 + 2q36 + 3q34−q32−4q30−q28 + 3q26 + q24−4q22−4q20 + 3q16 + q14−3q12−3q10 + 4q6 + 2q4−1 + q−2 + 2q−4 + 2q−6 + q−14

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q142−q140 + 2q138−3q136 + 2q134−2q132−q130 + 6q128−9q126 + 10q124−9q122 + 3q120 + 4q118−11q116 + 16q114−13q112 + 9q110 + q108−8q106 + 12q104−9q102 + 3q100 + 3q98−7q96 + 7q94−2q92−4q90 + 11q88−12q86 + 9q84−4q82−5q80 + 10q78−15q76 + 15q74−9q72 + 3q70 + 5q68−12q66 + 13q64−10q62 + 4q60 + q58−7q56 + 7q54−3q52−2q50 + 5q48−6q46 + q44 + 2q42−7q40 + 7q38−5q36 + 3q34−q32−3q30 + 4q28−5q26 + 5q24−5q22 + 4q20−3q18−q16 + 4q14−6q12 + 8q10−4q8 + 3q6 + q4−q2 + 4−3q−2 + 4q−4−q−6 + q−8 + q−10−q−12 + 2q−14 + q−18

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 20"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−3t2 + 9t−11 + 9t−1−3t−2

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−3z4−3z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 35, -2 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

q−1 + 3q−1−4q−2 + 5q−3−6q−4 + 5q−5−4q−6 + 3q−7−2q−8 + q−9

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

z2a8 + a8−z4a6−2z2a6−a6−z4a4−z2a4−z4a2−2z2a2−a2 + z2 + 2

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

z6a10−4z4a10 + 3z2a10 + 2z7a9−8z5a9 + 7z3a9−za9 + 2z8a8−8z6a8 + 9z4a8−5z2a8 + a8 + z9a7−3z7a7 + 3z5a7−4z3a7 + 2za7 + 3z8a6−12z6a6 + 17z4a6−9z2a6 + a6 + z9a5−4z7a5 + 9z5a5−8z3a5 + 3za5 + z8a4−2z6a4 + 3z4a4 + z7a3−z5a3 + 2z3a3−za3 + z6a2−2z2a2 + a2 + z5a−z3a−za + z4−3z2 + 2

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 20"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −3t2 + 9t−11 + 9t−1−3t−2, q−1 + 3q−1−4q−2 + 5q−3−6q−4 + 5q−5−4q−6 + 3q−7−2q−8 + q−9 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{10_162, K11n117,}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q4−q3 + 3q−3−q−1 + 6q−2−7q−3 + 10q−5−13q−6 + 2q−7 + 15q−8−19q−9 + 2q−10 + 19q−11−19q−12−q−13 + 19q−14−15q−15−5q−16 + 17q−17−9q−18−7q−19 + 12q−20−3q−21−6q−22 + 5q−23−2q−25 + q−26
3	q9−q8 + 3q5−3q4−q3−q2 + 7q−3−4q−1−4q−2 + 11q−3−4q−5−9q−6 + 8q−7 + 6q−8 + q−9−9q−10−5q−11 + 6q−12 + 11q−13−2q−14−15q−15−2q−16 + 15q−17 + 8q−18−16q−19−7q−20 + 9q−21 + 12q−22−8q−23−11q−24 + 13q−26 + 5q−27−12q−28−12q−29 + 12q−30 + 18q−31−10q−32−22q−33 + 6q−34 + 24q−35−q−36−23q−37−4q−38 + 20q−39 + 6q−40−13q−41−9q−42 + 9q−43 + 7q−44−4q−45−5q−46 + 2q−47 + 2q−48−2q−50 + q−51
4	q16−q15 + 3q11−4q10 + 9q6−9q5−2q4−3q3 + q2 + 22q−13−6q−1−14q−2 + 44q−4−11q−5−9q−6−37q−7−13q−8 + 73q−9 + 8q−10−q−11−73q−12−50q−13 + 96q−14 + 45q−15 + 33q−16−106q−17−109q−18 + 94q−19 + 81q−20 + 85q−21−114q−22−159q−23 + 73q−24 + 89q−25 + 125q−26−99q−27−180q−28 + 57q−29 + 77q−30 + 137q−31−83q−32−174q−33 + 53q−34 + 56q−35 + 129q−36−63q−37−153q−38 + 47q−39 + 29q−40 + 110q−41−38q−42−119q−43 + 42q−44−5q−45 + 80q−46−13q−47−74q−48 + 45q−49−34q−50 + 40q−51−5q−52−33q−53 + 59q−54−41q−55 + 6q−56−16q−57−16q−58 + 69q−59−22q−60−4q−61−29q−62−22q−63 + 57q−64−2q−65 + 6q−66−23q−67−28q−68 + 29q−69 + 3q−70 + 13q−71−8q−72−19q−73 + 10q−74−q−75 + 7q−76−7q−78 + 3q−79−q−80 + 2q−81−2q−83 + q−84