10 45

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.org/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 45"];

In[4]:=

PD[K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

X4251 X12,6,13,5 X10,3,11,4 X2,11,3,12 X20,14,1,13 X14,7,15,8 X6,19,7,20 X18,15,19,16 X16,10,17,9 X8,18,9,17

In[5]:=

GaussCode[K]

Out[5]=

1, -4, 3, -1, 2, -7, 6, -10, 9, -3, 4, -2, 5, -6, 8, -9, 10, -8, 7, -5

In[6]:=

DTCode[K]

Out[6]=

4 10 12 14 16 2 20 18 8 6

(The path below may be different on your system)

In[7]:=

AppendTo[$Path, "C:/bin/LinKnot/"];

In[8]:=

ConwayNotation[K]

Out[8]=

[21111112]

In[9]:=

br = BR[K]

KnotTheory::credits: The minimum braids representing the knots with up to 10 crossings were provided by Thomas Gittings. See arXiv:math.GT/0401051.

Out[9]=

BR(5,{−1,2,−1,2,−3,2,−3,4,−3,4})

In[10]:=

{First[br], Crossings[br], BraidIndex[K]}

KnotTheory::credits: The braid index data known to KnotTheory` is taken from Charles Livingston's http://www.indiana.edu/~knotinfo/.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in IndianaData`.

Out[10]=

{ 5, 10, 5 }

In[11]:=

Show[BraidPlot[br]]

Out[11]=

-Graphics-

In[12]:=

Show[DrawMorseLink[K]]

KnotTheory::credits: "MorseLink was added to KnotTheory` by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

KnotTheory::credits: "DrawMorseLink was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005."

Out[12]=

-Graphics-

In[13]:=

ap = ArcPresentation[K]

Out[13]=

ArcPresentation[{2, 13}, {1, 8}, {12, 3}, {13, 11}, {9, 12}, {7, 2}, {8, 4}, {3, 6}, {5, 7}, {6, 10}, {4, 9}, {10, 5}, {11, 1}]

In[14]:=

Draw[ap]

Out[14]=

-Graphics-

Further quantum knot invariants for 10_45.

A1 Invariants.

Weight	Invariant
1	−q11 + 3q9−3q7 + 4q5−3q3 + q + q−1−3q−3 + 4q−5−3q−7 + 3q−9−q−11
2	q32−3q30−q28 + 11q26−9q24−11q22 + 27q20−10q18−28q16 + 37q14−37q10 + 27q8 + 13q6−26q4 + q2 + 19 + q−2−26q−4 + 13q−6 + 27q−8−37q−10 + 37q−14−28q−16−10q−18 + 27q−20−11q−22−9q−24 + 11q−26−q−28−3q−30 + q−32
3	−q63 + 3q61 + q59−7q57−6q55 + 13q53 + 21q51−24q49−40q47 + 27q45 + 75q43−24q41−118q39 + 5q37 + 165q35 + 29q33−202q31−82q29 + 222q27 + 141q25−217q23−191q21 + 184q19 + 230q17−134q15−239q13 + 65q11 + 228q9 + 6q7−193q5−75q3 + 140q + 140q−1−75q−3−193q−5 + 6q−7 + 228q−9 + 65q−11−239q−13−134q−15 + 230q−17 + 184q−19−191q−21−217q−23 + 141q−25 + 222q−27−82q−29−202q−31 + 29q−33 + 165q−35 + 5q−37−118q−39−24q−41 + 75q−43 + 27q−45−40q−47−24q−49 + 21q−51 + 13q−53−6q−55−7q−57 + q−59 + 3q−61−q−63
4	q104−3q102−q100 + 7q98 + 2q96 + 2q94−23q92−13q90 + 33q88 + 29q86 + 28q84−89q82−93q80 + 65q78 + 135q76 + 160q74−190q72−334q70−22q68 + 317q66 + 553q64−155q62−748q60−450q58 + 363q56 + 1210q54 + 300q52−1027q50−1229q48−76q46 + 1737q44 + 1165q42−755q40−1891q38−951q36 + 1634q34 + 1906q32 + 44q30−1906q28−1709q26 + 898q24 + 2002q22 + 864q20−1261q18−1886q16−49q14 + 1461q12 + 1334q10−332q8−1524q6−873q4 + 613q2 + 1459 + 613q−2−873q−4−1524q−6−332q−8 + 1334q−10 + 1461q−12−49q−14−1886q−16−1261q−18 + 864q−20 + 2002q−22 + 898q−24−1709q−26−1906q−28 + 44q−30 + 1906q−32 + 1634q−34−951q−36−1891q−38−755q−40 + 1165q−42 + 1737q−44−76q−46−1229q−48−1027q−50 + 300q−52 + 1210q−54 + 363q−56−450q−58−748q−60−155q−62 + 553q−64 + 317q−66−22q−68−334q−70−190q−72 + 160q−74 + 135q−76 + 65q−78−93q−80−89q−82 + 28q−84 + 29q−86 + 33q−88−13q−90−23q−92 + 2q−94 + 2q−96 + 7q−98−q−100−3q−102 + q−104
5	−q155 + 3q153 + q151−7q149−2q147 + 2q145 + 8q143 + 15q141 + 4q139−33q137−43q135−q133 + 58q131 + 95q129 + 41q127−98q125−222q123−135q121 + 165q119 + 406q117 + 333q115−139q113−712q111−764q109 + 23q107 + 1089q105 + 1418q103 + 432q101−1404q99−2455q97−1334q95 + 1492q93 + 3692q91 + 2874q89−1004q87−4953q85−5068q83−319q81 + 5824q79 + 7722q77 + 2646q75−5867q73−10372q71−5922q69 + 4731q67 + 12493q65 + 9707q63−2337q61−13500q59−13387q57−1098q55 + 13073q53 + 16317q51 + 5018q49−11250q47−17911q45−8741q43 + 8263q41 + 17990q39 + 11748q37−4766q35−16633q33−13554q31 + 1176q29 + 14178q27 + 14228q25 + 2011q23−11137q21−13854q19−4629q17 + 7850q15 + 12833q13 + 6722q11−4616q9−11487q7−8436q5 + 1525q3 + 9988q + 9988q−1 + 1525q−3−8436q−5−11487q−7−4616q−9 + 6722q−11 + 12833q−13 + 7850q−15−4629q−17−13854q−19−11137q−21 + 2011q−23 + 14228q−25 + 14178q−27 + 1176q−29−13554q−31−16633q−33−4766q−35 + 11748q−37 + 17990q−39 + 8263q−41−8741q−43−17911q−45−11250q−47 + 5018q−49 + 16317q−51 + 13073q−53−1098q−55−13387q−57−13500q−59−2337q−61 + 9707q−63 + 12493q−65 + 4731q−67−5922q−69−10372q−71−5867q−73 + 2646q−75 + 7722q−77 + 5824q−79−319q−81−5068q−83−4953q−85−1004q−87 + 2874q−89 + 3692q−91 + 1492q−93−1334q−95−2455q−97−1404q−99 + 432q−101 + 1418q−103 + 1089q−105 + 23q−107−764q−109−712q−111−139q−113 + 333q−115 + 406q−117 + 165q−119−135q−121−222q−123−98q−125 + 41q−127 + 95q−129 + 58q−131−q−133−43q−135−33q−137 + 4q−139 + 15q−141 + 8q−143 + 2q−145−2q−147−7q−149 + q−151 + 3q−153−q−155

A2 Invariants.

Weight	Invariant
1,0	−q16 + q14 + 2q12−2q10 + 3q8−2q4 + 2q2−3 + 2q−2−2q−4 + 3q−8−2q−10 + 2q−12 + q−14−q−16
1,1	q44−6q42 + 20q40−50q38 + 105q36−198q34 + 336q32−524q30 + 755q28−1002q26 + 1248q24−1436q22 + 1518q20−1454q18 + 1210q16−784q14 + 187q12 + 522q10−1274q8 + 1984q6−2565q4 + 2950q2−3078 + 2950q−2−2565q−4 + 1984q−6−1274q−8 + 522q−10 + 187q−12−784q−14 + 1210q−16−1454q−18 + 1518q−20−1436q−22 + 1248q−24−1002q−26 + 755q−28−524q−30 + 336q−32−198q−34 + 105q−36−50q−38 + 20q−40−6q−42 + q−44
2,0	q42−q40−3q38 + 6q34 + 3q32−10q30−2q28 + 15q26 + 4q24−19q22−5q20 + 21q18 + 4q16−24q14 + 20q10−6q8−12q6 + 8q4 + 6q2−6 + 6q−2 + 8q−4−12q−6−6q−8 + 20q−10−24q−14 + 4q−16 + 21q−18−5q−20−19q−22 + 4q−24 + 15q−26−2q−28−10q−30 + 3q−32 + 6q−34−3q−38−q−40 + q−42

A3 Invariants.

Weight	Invariant
0,1,0	q34−3q32 + q30 + 6q28−12q26 + 5q24 + 16q22−23q20 + 6q18 + 26q16−30q14 + 27q10−23q8−7q6 + 18q4−q2−8−q−2 + 18q−4−7q−6−23q−8 + 27q−10−30q−14 + 26q−16 + 6q−18−23q−20 + 16q−22 + 5q−24−12q−26 + 6q−28 + q−30−3q−32 + q−34
1,0,0	−q21 + q19 + 2q15−2q13 + 4q11−q9 + 2q7−2q5 + q3−2q−2q−1 + q−3−2q−5 + 2q−7−q−9 + 4q−11−2q−13 + 2q−15 + q−19−q−21

B2 Invariants.

Weight	Invariant
0,1	−q34 + 3q32−7q30 + 12q28−18q26 + 25q24−30q22 + 35q20−34q18 + 32q16−22q14 + 10q12 + 7q10−25q8 + 41q6−56q4 + 65q2−70 + 65q−2−56q−4 + 41q−6−25q−8 + 7q−10 + 10q−12−22q−14 + 32q−16−34q−18 + 35q−20−30q−22 + 25q−24−18q−26 + 12q−28−7q−30 + 3q−32−q−34
1,0	q56−3q52−3q50 + 4q48 + 9q46−q44−15q42−9q40 + 17q38 + 23q36−6q34−32q32−11q30 + 30q28 + 30q26−16q24−38q22−3q20 + 34q18 + 16q16−25q14−23q12 + 14q10 + 24q8−7q6−23q4 + 3q2 + 25 + 3q−2−23q−4−7q−6 + 24q−8 + 14q−10−23q−12−25q−14 + 16q−16 + 34q−18−3q−20−38q−22−16q−24 + 30q−26 + 30q−28−11q−30−32q−32−6q−34 + 23q−36 + 17q−38−9q−40−15q−42−q−44 + 9q−46 + 4q−48−3q−50−3q−52 + q−56

G2 Invariants.

Weight

Invariant

1,0

q80−3q78 + 7q76−13q74 + 14q72−12q70−q68 + 26q66−51q64 + 77q62−84q60 + 57q58−82q54 + 162q52−205q50 + 193q48−112q46−20q44 + 163q42−263q40 + 285q38−209q36 + 66q34 + 90q32−201q30 + 222q28−143q26 + 10q24 + 123q22−188q20 + 146q18−16q16−156q14 + 293q12−328q10 + 240q8−49q6−182q4 + 363q2−433 + 363q−2−182q−4−49q−6 + 240q−8−328q−10 + 293q−12−156q−14−16q−16 + 146q−18−188q−20 + 123q−22 + 10q−24−143q−26 + 222q−28−201q−30 + 90q−32 + 66q−34−209q−36 + 285q−38−263q−40 + 163q−42−20q−44−112q−46 + 193q−48−205q−50 + 162q−52−82q−54 + 57q−58−84q−60 + 77q−62−51q−64 + 26q−66−q−68−12q−70 + 14q−72−13q−74 + 7q−76−3q−78 + q−80

.

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`, as shown in the (simulated) Mathematica session below. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting. This Mathematica session is also available (albeit only for the knot 5_2) as the notebook PolynomialInvariantsSession.nb.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of August 31, 2006, 11:25:27.5625. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 45"];

In[4]:=

Alexander[K][t]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

Out[4]=

−t3 + 7t2−21t + 31−21t−1 + 7t−2−t−3

In[5]:=

Conway[K][z]

Out[5]=

−z6 + z4−2z2 + 1

In[6]:=

Alexander[K, 2][t]

KnotTheory::credits: The program Alexander[K, r] to compute Alexander ideals was written by Jana Archibald at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[6]=

{1}

In[7]:=

{KnotDet[K], KnotSignature[K]}

Out[7]=

{ 89, 0 }

In[8]:=

Jones[K][q]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[8]=

−q5 + 4q4−7q3 + 11q2−14q + 15−14q−1 + 11q−2−7q−3 + 4q−4−q−5

In[9]:=

HOMFLYPT[K][a, z]

KnotTheory::credits: The HOMFLYPT program was written by Scott Morrison.

Out[9]=

−z6 + 2a2z4 + 2z4a−2−3z4−a4z2 + 3a2z2 + 3z2a−2−z2a−4−6z2 + 2a2 + 2a−2−3

In[10]:=

Kauffman[K][a, z]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Kauffman4Knots`.

Out[10]=

az9 + z9a−1 + 4a2z8 + 4z8a−2 + 8z8 + 6a3z7 + 14az7 + 14z7a−1 + 6z7a−3 + 4a4z6 + 3a2z6 + 3z6a−2 + 4z6a−4−2z6 + a5z5−10a3z5−31az5−31z5a−1−10z5a−3 + z5a−5−7a4z4−17a2z4−17z4a−2−7z4a−4−20z4−a5z3 + 5a3z3 + 21az3 + 21z3a−1 + 5z3a−3−z3a−5 + 3a4z2 + 12a2z2 + 12z2a−2 + 3z2a−4 + 18z2−a3z−5az−5za−1−za−3−2a2−2a−2−3

The above data is available with the Mathematica package KnotTheory`. Your input (in red) is realistic; all else should have the same content as in a real mathematica session, but with different formatting.

(The path below may be different on your system, and possibly also the KnotTheory` date)

In[1]:=

AppendTo[$Path, "C:/drorbn/projects/KAtlas/"]; << KnotTheory`

Loading KnotTheory` version of May 31, 2006, 14:15:20.091. Read more at http://katlas.math.toronto.edu/wiki/KnotTheory.

In[3]:=

K = Knot["10 45"];

In[4]:=

{A = Alexander[K][t], J = Jones[K][q]}

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in PD4Knots`.

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots`.

Out[4]=

{ −t3 + 7t2−21t + 31−21t−1 + 7t−2−t−3, −q5 + 4q4−7q3 + 11q2−14q + 15−14q−1 + 11q−2−7q−3 + 4q−4−q−5 }

In[5]:=

DeleteCases[Select[AllKnots[], (A === Alexander[#][t]) &], K]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in DTCode4KnotsTo11`.

KnotTheory::credits: The GaussCode to PD conversion was written by Siddarth Sankaran at the University of Toronto in the summer of 2005.

Out[5]=

{}

In[6]:=

DeleteCases[ Select[ AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q -> 1/q) === Jones[#][q]) & ], K ]

KnotTheory::loading: Loading precomputed data in Jones4Knots11`.

Out[6]=

{}

n	Jn
2	q15−4q14 + 2q13 + 13q12−24q11 + 51q9−61q8−18q7 + 116q6−98q5−55q4 + 180q3−112q2−94q + 207−94q−1−112q−2 + 180q−3−55q−4−98q−5 + 116q−6−18q−7−61q−8 + 51q−9−24q−11 + 13q−12 + 2q−13−4q−14 + q−15
3	−q30 + 4q29−2q28−8q27 + 23q25 + 6q24−53q23−16q22 + 90q21 + 54q20−152q19−110q18 + 213q17 + 214q16−288q15−341q14 + 333q13 + 518q12−369q11−699q10 + 359q9 + 893q8−323q7−1063q6 + 254q5 + 1197q4−160q3−1285q2 + 55q + 1315 + 55q−1−1285q−2−160q−3 + 1197q−4 + 254q−5−1063q−6−323q−7 + 893q−8 + 359q−9−699q−10−369q−11 + 518q−12 + 333q−13−341q−14−288q−15 + 214q−16 + 213q−17−110q−18−152q−19 + 54q−20 + 90q−21−16q−22−53q−23 + 6q−24 + 23q−25−8q−27−2q−28 + 4q−29−q−30
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